極坐標(biāo)在定積分運(yùn)算中的一點(diǎn)探討

王璐

【中圖分類號(hào)】O13

一、定義和述語(yǔ)

在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫極點(diǎn)，引一條射線OX，叫做極軸，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向）.對(duì)于平面內(nèi)任何一點(diǎn)M，用r表示線段OM的長(zhǎng)度，璞硎敬覱X到OM的角度，r叫做點(diǎn)M的極徑，杞兇齙鉓的極角，有序數(shù)對(duì)（r， ）就叫點(diǎn)M的極坐標(biāo)，這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系.

正如所有的二維坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系也有兩個(gè)坐標(biāo)軸：r（半徑坐標(biāo)）和瑁ń親輟⒓腔蚍轎喚牽 .r坐標(biāo)表示與極點(diǎn)的距離，枳甌硎景茨媸閉敕較蚓嗬 0°射線（極軸）的角度. 比如，極坐標(biāo)中的（3，60°）表示了一個(gè)距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度、和極軸夾角為60°的點(diǎn).

在第二個(gè)例子中，被積函數(shù)是偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)容易得到，兩種解法是正確的.而在第一個(gè)例子中，經(jīng)過(guò)一次積分運(yùn)算后，除了常數(shù)的被積函數(shù)變成了奇函數(shù)，這部分正好是我們符號(hào)出現(xiàn)問(wèn)題的部分，雖然cos（2穡）=cos ，但在定積分運(yùn)算中，其實(shí)積分變量還是差一個(gè)負(fù)號(hào)的，特別是經(jīng)過(guò)一次積分運(yùn)算后變成了奇函數(shù)， 而且有sin（2穡）≠sin .所以我們?cè)谧龇e分運(yùn)算時(shí)，一定要考慮被積函數(shù)的奇偶性以及多重積分時(shí)每次積分后函數(shù)奇偶性的變換情況，并嚴(yán)格按照極坐標(biāo)的定義來(lái)計(jì)算.