探求函數(shù)與圖形形狀結(jié)合問(wèn)題的一般方法

吳文軍

坐標(biāo)系背景下的函數(shù)與圖形形狀結(jié)合問(wèn)題往往是學(xué)生最頭疼的問(wèn)題，也是教師教學(xué)中最困惑的問(wèn)題.許多教師缺少對(duì)此類(lèi)問(wèn)題一般方法的分析、概括和提煉.很多時(shí)候單靠大量的練習(xí)來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，就好比“摸著石頭過(guò)河”，缺乏思想方法的指導(dǎo).學(xué)生怕，老師累.數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的是在數(shù)學(xué)思想方法上給學(xué)生以點(diǎn)撥、指導(dǎo)和訓(xùn)練.本文以中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)課“函數(shù)與圖形形狀結(jié)合問(wèn)題的解決”的幾個(gè)片段為例，擬探究這類(lèi)問(wèn)題的一般方法，供讀者商榷.

片段一：模式的概括

例如圖1，拋物線y=-x2向上移動(dòng)，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC為等腰直角三角形，求移動(dòng)后的拋物線的解析式.變式1：△ABC為等邊三角形，求移動(dòng)后的拋物線的解析式.

設(shè)計(jì)意圖：利用簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的函數(shù)、圖形為題材，讓學(xué)生感覺(jué)熟悉又有親切感，但綜合在一起，難度驟然加大.通過(guò)變式，讓學(xué)生覺(jué)得圖形的形狀、位置雖然變了，但題目的模式并未發(fā)生變化，體會(huì)到找到解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法才是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，進(jìn)而體會(huì)到解題方法的重要性.

上課開(kāi)始時(shí)老師展示例題，并讓學(xué)生先嘗試性地做幾分鐘.46名同學(xué)中僅有7名同學(xué)做對(duì)，其中有5名學(xué)生是用特殊值湊出來(lái)的.然后老師變式：（如變式1）將△ABC變?yōu)榈冗吶切?師：題目簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單，但又覺(jué)得難，原因在于方法的缺失.師：先把題中的條件按數(shù)學(xué)形式分分類(lèi).經(jīng)學(xué)生七嘴八舌，老師點(diǎn)撥、概括，題中條件可分為函數(shù)類(lèi)條件（y=-x2等）和圖形形狀類(lèi)條件（等腰直角三角形、等邊三角形）.師：對(duì)此類(lèi)問(wèn)題能否用一個(gè)簡(jiǎn)單的模式進(jìn)行概括？經(jīng)老師引導(dǎo)，學(xué)生熱烈的討論，大家形成一個(gè)共識(shí)，用下列模式：函數(shù)—圖形形狀.

片段二：“題眼”的提煉

師：剛才我們只是對(duì)題型進(jìn)行了分析與討論，解題的方法和思路還不清楚.生：老師，我覺(jué)得剛才這個(gè)模式中，在函數(shù)和圖形之間肯定有一種聯(lián)系的要點(diǎn)或方法.師：有道理，在函數(shù)和圖形間需要一條紐帶，學(xué)生表示認(rèn)可.師：那么聯(lián)結(jié)這條紐帶的最主要因素是什么？學(xué)生討論激烈.生：這條紐帶應(yīng)該是點(diǎn)的坐標(biāo).因?yàn)轭}中△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)既是三角形的頂點(diǎn)，又是函數(shù)圖像上的點(diǎn).老師加以肯定，并分析點(diǎn)的坐標(biāo)就如這個(gè)模式的眼睛，這條通道的窗口.然后對(duì)模式又做了一次修改補(bǔ)充.

片段三：點(diǎn)的表示法的探求

師：如何打開(kāi)這個(gè)突破口呢？生：把點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái).師：能否直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)？生：不能！師：怎么辦？學(xué)生又一次激烈的討論.生：用未知數(shù)把點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái).師：對(duì).今天我們解這類(lèi)問(wèn)題的最關(guān)鍵之處就是怎樣表示這些點(diǎn)的坐標(biāo).師：如果單考慮函數(shù)條件，如圖1，拋開(kāi)△ABC為等腰直角三角形這一條件，A，B，C的坐標(biāo)可以怎樣表示？生：可設(shè)A的坐標(biāo)為（0，m），拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+m，B，C又是拋物線與x軸的交點(diǎn)，通過(guò)代入A的坐標(biāo)（0，m）得0=-x2+m， x=±m(xù)，所以B，C的坐標(biāo)分別可表示為（-m，0），（m，0）.師：接下來(lái)你能求出m的值嗎？生：可以求的，因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，且AO⊥BC，所以O(shè)A=OB=OC，可得m=±m(xù)，解出來(lái)m1=1或0，0舍去，所以m=1.師：做得很好，完全正確.反之是否可行呢？即：?jiǎn)慰紤]幾何條件，拋開(kāi)A，B，C都是y=-x2上的點(diǎn)這一條件，A，B，C的點(diǎn)又怎么表示？生：設(shè)A的坐標(biāo)為（0，m），因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，且AO⊥BC，所以O(shè)A=OB=OC，所以B的坐標(biāo)為（-m，0），C的坐標(biāo)為（m，0）.師：怎么求？生：因?yàn)橐苿?dòng)后的拋物線的解析式為y=-x2+m，把B（-m，0）代入解析式得0=-m2+m，解之得m1=1，m2=0（舍去）.師：剛才大家能順利解題是因?yàn)檎业搅私忸}的突破口，抓住了“怎樣表示點(diǎn)的坐標(biāo)”這一關(guān)鍵.接下來(lái)我們把剛才兩種解法進(jìn)行對(duì)比，對(duì)點(diǎn)的表示方法作進(jìn)一步的概括，對(duì)解題模式再作提煉.經(jīng)過(guò)師生互動(dòng)和深入討論，對(duì)點(diǎn)的表示法概括出兩點(diǎn)：（1）數(shù)設(shè)形代法.數(shù)設(shè)：通過(guò)函數(shù)、坐標(biāo)系等代數(shù)條件，表示出點(diǎn)的坐標(biāo).如：A，B，C分別為拋物線的頂點(diǎn)、與兩軸的交點(diǎn)，由此A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別可表示為A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.形代：然后把點(diǎn)的坐標(biāo)代入反映形的關(guān)系式中.如：OA=OB=OC，得m=±m(xù).（2）形設(shè)數(shù)代法.形設(shè)：通過(guò)形的關(guān)系式表示出點(diǎn)的坐標(biāo).如可由關(guān)系式OA=OB=OC反映△ABC是等腰直角三角形的形狀，進(jìn)而設(shè)出A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.數(shù)代：再把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入反映數(shù)的關(guān)系式.如拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+m，得0=-（±m(xù)）2+m.最后又把解題模式進(jìn)行了完善.

課中又安排了一些適應(yīng)性的練習(xí).如例1的變式1、變式2、練習(xí)題等.變式1：解法一（數(shù)設(shè)形代法）：設(shè)A的坐標(biāo)為A（0，m），則拋物線的解析式為y=-x2+m，B，C的坐標(biāo)分別為B（-m，0），C（m，0），又因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，且AO⊥BC，所以AO=3BO=3CO，得m=±3m，

實(shí)踐表明，用這種方法來(lái)指導(dǎo)學(xué)生解函數(shù)與圖形形狀結(jié)合問(wèn)題，學(xué)生的思路就會(huì)清晰許多.就好比找到“題眼”，總覺(jué)得有點(diǎn)可抓，有口可破，有路可走，學(xué)生的畏難情緒就會(huì)大大減少.老師在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，就好比抓到“衣領(lǐng)”，有提領(lǐng)而頓、百毛皆順之感.在數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，老師若對(duì)各類(lèi)題型能在數(shù)學(xué)思想與方法上不斷地創(chuàng)新、提煉，并給予學(xué)生有效的指導(dǎo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率將會(huì)大幅度調(diào)高，達(dá)到“做一題，通一類(lèi)，會(huì)一片”的效果，能體驗(yàn)到“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的解題意境，數(shù)學(xué)的魅力也將會(huì)得到更充分的彰顯.