淺談文科生數(shù)學的形象化教學策略

徐小鋒

摘 要：高中數(shù)學對學生來說，有些內(nèi)容容易理解，有些內(nèi)容比較形式化. 學生本身對數(shù)學的認知水平是不盡相同的，在高二文理分科之后尤為明顯. 文科生因為其自身特點，決定了教師教學應該有不同于理科生的教學方法，以形象化教學策略為主. 本文簡要闡述文科生數(shù)學教學的形象化策略是怎樣進行的.

關鍵詞：形象化；圖形化；教學；特殊化；多元

《普通高中數(shù)學課程標準》明確指出：“在數(shù)學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識. 數(shù)學的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的，因此，高中數(shù)學課程應該返璞歸真，把數(shù)學的學術形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的教育形態(tài).”

正因為高中數(shù)學中存在較多的抽象概念，因此高中數(shù)學教學對文科生而言，有些過于形式化了. 華東師范大學張奠宙教授曾說：“好的教師在于將抽象的數(shù)學知識用通俗易懂的語言進行描述，能夠通過各種形象的教學手段對學生進行講解.” 因此，筆者認為，對文科生進行數(shù)學教學，應參照張教授對中學數(shù)學教育的建議，采用以形式化教學為主的策略.

筆者任教高中數(shù)學多年，對舊版本教材中數(shù)學教學的印象是“一個知識點、三方面注意”，因為數(shù)學教學是較為抽象的，因此氣氛沉悶，文科生在這樣的數(shù)學課上效率也變得低下. 筆者通過自身多年教授文科生的經(jīng)歷，淺談形象化教學的策略.

[?] 特殊化處理方式

例1 （高三導數(shù)復習）設函數(shù)y=f（x），x∈R的導函數(shù)為f ′（x），且f（x）=f（-x），f ′（x）

分析：教師對此類問題的分析，往往按照“構造函數(shù)”進行處理，考慮到ef（2），f（3），e2f（-1），觀察此三個數(shù)，易發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)可以變?yōu)閑1f（2），e0f（3），e2f（1），于是在腦海中構造函數(shù)進行教學.

解1：通過觀察可知，構造函數(shù)g（x）=e3-x·f（x），導數(shù)g′（x）=e3-x·[f ′（x）-f（x）]（注意：對文科生而言，此處e3-x可以采用導數(shù)的除法法則求之，從而避開復合函數(shù)求導），由于f ′（x）

辨析：教師采用的方法比較系統(tǒng)、嚴密，對于理科生而言較為合適，對于理性思維較弱的大多數(shù)文科生而言，這樣的方法即使其聽懂了，也難以在類似的題目中進行演繹，因此比較合適文科生的解決方法是采用特殊化處理方式.

解2：考慮到f（x）=f（-x），f ′（x）

說明：高中數(shù)學中常常有這樣的問題，有時用特殊化的方法輕松地解決了問題的瓶頸，這正是合情推理和演繹推理在解決客觀題和填空題中的運用，值得教師向文科生推廣，培養(yǎng)其處理抽象問題時運用特殊法的能力.

練習：數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an，其中λ∈R，n=1，2，….給出下列命題：

①?λ∈R，對于任意i∈N*，ai>0；

②?λ∈R，對于任意i≥2（i∈N*），aiai+1<0；

③?λ∈R，m∈N*，當i>m（i∈N*）時，總有ai<0.

其中正確的命題是________. （寫出所有正確命題的序號）（答案：①③）

[?] 圖形化處理方式

蘇教版必修3并未明確指出基本事件的概念（參見第118頁），只提到基本事件有如下特點：

（1）基本事件都是兩兩互斥的；

（2）任一事件，均可以表示成各種基本事件的和.

從這里，可以清楚地認識到基本事件只是一類隨機事件，但是各個基本事件出現(xiàn)的可能性并不一定相同. 但是，無論是教師還是學生，常常將基本事件不假思索地認為是等可能的，這是一種誤區(qū). 筆者將其圖形化，很清晰地展示了考綱和教材所要求的基本事件是怎樣的一種基本事件！

（1）基本事件有等可能與不等可能之分，但我們平時教學中往往并不審視這些方法總數(shù)是否是等可能的，因此將這樣的想法帶進概率教學中是有極大的危害的！

（2）一個問題的基本事件有多少類，其實是問方法總數(shù)有多少種，此時若問題的題意不明確，不同的角度便能得到不同的方法總數(shù)，也許是等可能的基本事件，也許是不等可能的基本事件.

（3）教材和考綱所要學生解決的是以等可能為背景出現(xiàn)的基本事件構建的概率問題，因此必須將概率問題轉(zhuǎn)化為等可能背景求解.

我們用蘇教版必修3概率一章中的“探究”就可以清楚解釋這一現(xiàn)象：投擲兩個骰子，為什么不用點數(shù)和來選擇班級號碼？眾所周知，各個和出現(xiàn)是非等可能的，是不公平的. 來看一個具體問題：

例2 在長度為6的線段AB上任取兩點（端點除外） ，將線段AB分成三條線段，若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構成三角形的概率.

解1：從結果去考慮，三條線段所有可能結果為（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）三種，因此這三條線段可以構成三角形的概率為.

辨析：其實解答1只有3類基本事件，但是若按此求得，那是錯誤的！因為，這三類基本事件并非等可能出現(xiàn)，故不是高中生所能解決的等可能性的問題，更不能套用古典概型公式求解！為此，需要轉(zhuǎn)化角度來解決.

解2：不妨設三條線段長度從左至右分別為x，y，6-x-y（x，y∈N*），則所有結果構成的集合為：

Ω={（x，y） 0

眾所周知，高中生解決的概率問題，基本事件必須是等可能出現(xiàn)的，因此只能轉(zhuǎn)化為解法2來解決與基本事件相關的概率試題！因此，用上述兩幅圖，清晰地向文科生展示了如何理解基本事件的重要性.

[?] 多元化處理方式

例3 （恒成立問題）對于任意的正整數(shù)n，數(shù)列an=n2+λn是遞增數(shù)列恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.

學生A：因為an=n2+λn是遞增數(shù)列，其解析式為二次函數(shù)，故只需對稱軸x=-≤1，解得λ≥-2.

教師：反應非?？欤∮袩o其他方法？

學生B：我認為a2=n2+λn為遞增數(shù)列，只需對an求導，得導數(shù)式2n+λ≥0. 解得λ≥-2n，所以λ≥-2.

教師：很不錯，利用了導數(shù)知識，綜合應用能力比較強.那還有其他方法嗎？

學生C：考查an+1和an的差，an+1-an=2n+1+λ，只需差大于零時對n∈N+恒成立，所以λ>-3.

教師：這給我們提供了一個新思路，第三種解法與前兩種解法的結論矛盾，誰對誰錯？大家可以互相討論.

經(jīng)過一番討論，有兩位學生發(fā)表他們對上述三種解答的反思.

學生D：第三種解法肯定是正確的.

教師：那么學生A和B的解法錯在哪里呢？

學生E（反思）：前兩種方法忽略了函數(shù)的定義域，這個函數(shù)的定義域為正整數(shù)集，畫出圖形，此圖形是離散的，因此并不需要函數(shù)在[1，+∞）上嚴格單調(diào)遞增，對稱軸可以向右移到x=處，此時a1=a2，故只需-<，得λ>-3.

教師（反思）：講得太好了！雖然學生A和B的解法使數(shù)列an=n2+λn成為遞增數(shù)列，但卻忽視了數(shù)列是特殊函數(shù)的前提，因此他們的解并非是本題的充要條件. 可以通過函數(shù)f（x）=x2+λx的圖象對其進行進一步分析，數(shù)列an=n2+λn上的點是離散的.

讓文科生積極在課堂教學中進行基本問題的參與，努力將課堂解題的平臺還給學生，以多元化的教學方式進行滲透，有助于文科生數(shù)學學習的提高.

總之，文科生數(shù)學教學要適合文科生的數(shù)學認知水平和抽象思維的發(fā)展程度，就高中生而言，盡可能地以形象化處理的策略為主，如本文中所描述的三種教學方式，鑒于筆者教學經(jīng)驗有限，以本文拋磚引玉，為文科生數(shù)學學習奉獻更多的形象化教學策略.