解析幾何解答題失分原因之剖析

洪昌強(qiáng)　胡小莉

摘 要：高考中解析幾何解答題學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的局面，究其原因是：（1）選擇參數(shù)隨意；（2）建立等式隨意；（3）消參數(shù)隨意；（4）等式變形隨意.

關(guān)鍵詞：交點(diǎn)；等式；變形；參數(shù)；原因；隨意

[?] 題目呈現(xiàn)

（浙江高考2009年文科第22題第2問(wèn)）已知拋物線C：x2=y上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（t>0），過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N. 若MN是C的切線，求t的最小值.

分析 根據(jù)已知條件知Q，M，N都是直線與曲線的公共點(diǎn)，絕大多數(shù)的學(xué)生按題目條件給出的三點(diǎn)Q，M，N的先后順序，通過(guò)三次求解方程組，分別求得Q，M，N的坐標(biāo). 思路1雖然自然合理，但從以上推理過(guò)程看出運(yùn)算量較大，且各點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式比較繁雜，這樣在計(jì)算上犯錯(cuò)的機(jī)會(huì)增大.

分析 與思路1比較，雖然Q點(diǎn)坐標(biāo)不需要求，解方程組的次數(shù)少了一次，但表達(dá)PQ與QN的直線斜率沒(méi)有思路1簡(jiǎn)便，這樣對(duì)求M，N點(diǎn)坐標(biāo)及求過(guò)N點(diǎn)的切線方程仍然麻煩.

分析 這是一道解析幾何綜合題，主要涉及直線與直線、直線與拋物線的交點(diǎn)處理. 思路1、思路2、思路3分別選擇了以直線PQ的斜率k和Q，N的橫坐標(biāo)為參數(shù). 思路4設(shè)出了P，Q，N三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與前三種思路相比，雖然多設(shè)了一個(gè)參數(shù)，需要建立二個(gè)關(guān)于t，x0，x1的關(guān)系式，但只要發(fā)揮“垂直”與“三點(diǎn)共線”的重要特征，這兩個(gè)等式還是容易建立. 這樣省略了解直線與拋物線聯(lián)立方程組，運(yùn)算量大減，并且各點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式都比較簡(jiǎn)潔. 思路4是本題最優(yōu)思路.

由以上解法討論知，本題各種解題思路主要區(qū)別在于對(duì)Q，N，M三點(diǎn)坐標(biāo)的處理方式不一樣，及建立等式方法不相同.筆者對(duì)本校高三年級(jí)1098名學(xué)生中隨機(jī)抽取140人，對(duì)本題進(jìn)行了一次測(cè)試，測(cè)試時(shí)間為15分鐘，并將各種解題思路的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，見(jiàn)表1、表2：

[?] 原因剖析

對(duì)140份測(cè)試卷的正確答案人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，有18人得出t的最小值為，其中滿分的僅有4人. 是什么原因?qū)е逻@樣的“壞”結(jié)果？學(xué)生的解題思維過(guò)程中哪些方面存在著問(wèn)題？產(chǎn)生這些問(wèn)題的根源又是什么？值得深思.

1. 思維定式導(dǎo)致選擇參數(shù)隨意

直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的坐標(biāo)常用處理方法：一種是通過(guò)解方程組直接求出公共點(diǎn)坐標(biāo)，此法有時(shí)會(huì)做許多“無(wú)用功”. 另一種方法是“設(shè)而不求”，此法“設(shè)參”是解題起點(diǎn)，也是解題最重要的一步，這一步?jīng)]做好，就會(huì)影響整個(gè)解題的大局. 從表1、表2知，大部分學(xué)生采用思路1. 事實(shí)上，思路4明顯要比前三種思路簡(jiǎn)潔，為什么大部分學(xué)生都想不到，其原因何在？其一，人教A版教科書(shū)中所有例題，凡是涉及直線與圓曲線交點(diǎn)問(wèn)題都是通過(guò)解方程組方法求出交點(diǎn)，并在第二章圓錐曲線與方程的小結(jié)中強(qiáng)調(diào)“直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解”. 平時(shí)教學(xué)中，教師十分強(qiáng)調(diào)通過(guò)解方程組求交點(diǎn)，并且布置一定量的題目進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)生通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，形成了一種思維定式. 其二，筆者與選用思路1的學(xué)生座談時(shí)，了解到他們的解題思路就是按題目的已知條件先后順序進(jìn)行求解，并沒(méi)有對(duì)題目的各條件從整體上把握. 在這樣的解題思維下，設(shè)直線PQ方程是必須的， 設(shè)直線PQ的斜率為參變量成為“自然”. 其三， 平時(shí)使用設(shè)參數(shù)解題，一些學(xué)生對(duì)引進(jìn)參數(shù)的作用缺乏透徹的理解，只是模仿照搬. 分析表明，大多數(shù)學(xué)生受思維定式的影響，只會(huì)按照固有的思路套用模式解題，不會(huì)自己分析推理解決問(wèn)題.從表1知，有88.6%的人采用了思路1，與實(shí)際相吻合.

2. 缺少對(duì)幾何特征的挖掘，導(dǎo)致建立等式隨意

解析幾何問(wèn)題離不開(kāi)圖，圖形的幾何特征是解題思維的重要信息，解題者根據(jù)圖形中反映出來(lái)的幾何特征，從中提煉出有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)設(shè)未知量建立方程，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題. 而如何建立所需要的“好”方程，是處理好有關(guān)幾何問(wèn)題的關(guān)鍵. 本題涉及四個(gè)點(diǎn)P，Q，N，M，因?yàn)镼是直線PQ與拋物線的交點(diǎn)，M是與PQ互相垂直的直線QM與拋物線的交點(diǎn)，N是拋物線在M點(diǎn)處切線和直線PQ以及x軸的公共點(diǎn). 由此知道本題當(dāng)P點(diǎn)確定后，Q，N，M也隨之確定，即Q，N，M的坐標(biāo)與t存在著一定依存關(guān)系. 其關(guān)系式如何建立呢？“QN⊥PQ”和“MN是C的切線”是本題最突出的幾何特征，如何將它們用數(shù)量關(guān)系加以表達(dá)呢？QN⊥PQ其數(shù)學(xué)含義可理解為kPQkQN=-1，更進(jìn)一步理解為（x0+x1）（x1+t）= -1或（x0+x1）=-1或（x0+x1）= -1. “MN是C的切線”其數(shù)學(xué)含義可理解為：拋物線在N點(diǎn)的切線過(guò)M點(diǎn)，或過(guò)N點(diǎn)的拋物線切線與x軸交點(diǎn)在直線PQ上，或M，N兩點(diǎn)連線斜率等于函數(shù)y=x2在N點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).更深入一步，可將“Q，P，M三點(diǎn)共線”等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩斜率相等，或一點(diǎn)坐標(biāo)滿足由另兩點(diǎn)所成的直線方程，可將“QP，NM，x軸三線共點(diǎn)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)滿足另一直線方程. 從表1、表2知，有18人使用“三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)”，只有5人使用了思路4，這5人中僅有一人由QM⊥QN列出方程組（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x1+t）=

，并且得到了正確的答案. 另有4人建立的方程組為（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x0+x1）

=-1，或（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x0+x1）

=-1，這樣不僅增加了運(yùn)算量，而且增大了消參數(shù)的難度，此法無(wú)一人得到正確結(jié)論.從中看出，同一個(gè)條件對(duì)其數(shù)學(xué)含義的理解不一樣，處理方式也不同，所產(chǎn)生的解題效果也不一樣. 分析表明，大多數(shù)學(xué)生對(duì)條件“QN⊥PQ”和“MN是C的切線”只停留在表層而淺顯的理解，在列等式時(shí)只顧眼前一點(diǎn)方便，沒(méi)有“長(zhǎng)遠(yuǎn)”眼光，缺少全局觀念，解決問(wèn)題的視覺(jué)比較局限.

3. 整體思想意識(shí)薄弱，導(dǎo)致消參數(shù)隨意

思路4由于引進(jìn)了兩個(gè)參數(shù)x0和x1，需要建兩個(gè)等式. 由QM⊥QN可以得到以下三種方案：

方案1：（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x1+t）=

，

方案2：（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x0+x1）

=-1，

方案3：（x0+x1）（x1+t）=-1，

（x0+x1）

=-1.

求t的最值時(shí)需要消去x0和x1的一個(gè). 消去哪個(gè)？怎么消？由于學(xué)生在初中解二元方程組時(shí)經(jīng)常運(yùn)用代入消元法，對(duì)此法學(xué)生比較熟練. 若直接采取代入消元法消參，以上各方案運(yùn)算量都較大. 以上三種方案的方程組結(jié)構(gòu)表面形式雖然不同，但從整體思想去考慮，不難得到三種方案的方程組都等價(jià)于（x0+x1）（x1+t）=-1，

2x1t=x0（x1+t），至此若由2x1t=x0（t+x1），得x1=，再代入（x0+x1）（x1+t）=-1，得6x0t3+t2（4-2x）+x-4x0t=0，此式結(jié)構(gòu)較繁雜，按這種思路做的5人中只有一人結(jié)論正確.

若繼續(xù)從整體思想去考慮，由（x0+x1）（x1+t）=-1得x0（x1+t）+x1（x1+t）=-1，通過(guò)整體代入消去x0，得x+3x1t+1=0. 此式簡(jiǎn)潔，容易聯(lián)想到判別式，可惜會(huì)此解法的僅有一人.

解析幾何不僅會(huì)列出等式，而且要列出“好式”，同時(shí)會(huì)有“好法”處理方程. 思路4中最優(yōu)解法，充分發(fā)揮了曲線的幾何特征作用，快捷而簡(jiǎn)便地建立方程組. 在消參數(shù)時(shí)，又抓住了式子的結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用了整體思想，做到對(duì)癥下藥，事半功倍.

4. 邏輯思維不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致等式變形隨意

用思路1、思路2做的學(xué)生中，有81人寫(xiě)出-

. 由此可見(jiàn)，當(dāng)今的高中學(xué)生，對(duì)含多個(gè)字母的代數(shù)式運(yùn)算變形能力比較薄弱. 從學(xué)生答題情況了解到，本題按題意能寫(xiě)出k2+tk+1-2t2=0，或x（2t2-1）+x0（4t-6t3）-4t2=0，或x+3x1t+1=0共有38人，其中24人使用判別式求t的取值范圍，僅有一人想到先驗(yàn)證等號(hào)成立條件，再下結(jié)論t的最小值為；有11人按求根公式將t表達(dá)成關(guān)于k的關(guān)系式；有3人利用函數(shù)思想將x+3x1t+1=0轉(zhuǎn)化為t=-

x1+

，然后利用不等式公式求t的最值， 其中有2人驗(yàn)證了等號(hào)成立的條件，表明學(xué)生對(duì)判別式的理解比較膚淺，運(yùn)用也不習(xí)慣. 學(xué)生在解答過(guò)程中產(chǎn)生這些現(xiàn)象主要原因包括：第一，初中對(duì)判別式要求比較低，主要是對(duì)一元二次方程實(shí)根的存在性的判定，而且方程式往往是一般式或較“接近”一般式，未知數(shù)通常情況下是采用字母x，設(shè)問(wèn)比較直截了當(dāng)，而此題所涉及的方程式?jīng)]有明顯表明是一元二次方程，而且式子含有多個(gè)字母，需要學(xué)生自己去觀察發(fā)現(xiàn)，并確定未知數(shù)是哪一個(gè). 對(duì)于一些在新情景下知識(shí)遷移能力薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，就很難聯(lián)想到利用判別式進(jìn)行處理. 第二，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和不等式公式時(shí)，高中教師過(guò)分強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)和不等式公式在求最值（極值）時(shí)的作用，相應(yīng)判別式的作用被忽視.第三，暴露出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，因?yàn)槔门袆e式得到的t≥僅說(shuō)明二次方程實(shí)根存在， 并不能保證t=時(shí)滿足條件的k（或x0，x1）就一定存在. 所以，必須驗(yàn)證當(dāng)t=時(shí)，P，Q，N存在后，才能得出t的最小值為. 以上分析表明，影響高考解析幾何解答題得分率低的因素是多方面的，而運(yùn)算推理能力不足，是導(dǎo)致學(xué)生解題時(shí)出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的重要原因之一.

[?] 建議

如何做到解析幾何解答題少失分或不失分？首先，要求學(xué)生審題時(shí)舍得花時(shí)間，能全方位、多角度地考慮各種解題方法的利弊，在選擇參數(shù)和列方程時(shí)應(yīng)增強(qiáng)解方程的“憂患”意識(shí)，引進(jìn)“誰(shuí)為參數(shù)？設(shè)幾個(gè)？”都要做到心中有“未知數(shù)”；其次，重視數(shù)形結(jié)合，挖掘其幾何特征，找準(zhǔn)曲線上的關(guān)鍵“點(diǎn)”，并用聯(lián)系的眼光審視條件與條件、條件與結(jié)論之間的關(guān)系，準(zhǔn)確選擇參數(shù)，建立“高效”的方程；第三，解析幾何用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，解題過(guò)程中存在一定的運(yùn)算量和繁雜的運(yùn)算在所難免，要想考試在運(yùn)算時(shí)少出差錯(cuò)，平時(shí)就要養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，在運(yùn)算過(guò)程中多思考有無(wú)更好的算法，在算出結(jié)果下結(jié)論之前先檢查有無(wú)錯(cuò)算或漏算. 俗話說(shuō)，“習(xí)慣成自然”，總之，解題的每個(gè)環(huán)節(jié)都要做到“深思熟慮”，克服隨意性.