一種求解擴(kuò)展Bessel方程的邊值問題的新方法
——相似結(jié)構(gòu)法

廖智健，李順初

（1.北京大學(xué)元培學(xué)院，北京100871；2.西華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，四川成都610039）

0 引言

利用分離變量法去求解數(shù)學(xué)物理方程時(shí)，常常會(huì)遇到如下擴(kuò)展的Bessel方程的邊值問題［1－2］：

式中，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，a，b均為已知的實(shí)常數(shù)，且

文獻(xiàn)［3－4］研究了標(biāo)準(zhǔn)型的Bessel方程的邊值問題的解的相似結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)［5］研究了二階常系數(shù)線性微分方程的邊值問題的解的相似結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)［6－8］找出了相似結(jié)構(gòu)的應(yīng)用實(shí)例，文獻(xiàn)［9－11］初步探討了解的相似結(jié)構(gòu)的適用范圍，文獻(xiàn)［12－15］進(jìn)一步地指出了特殊的Bessel方程的邊值問題解的相似結(jié)構(gòu)在石油工程中的應(yīng)用.從過去的研究中不難看出，邊值問題（1）是相關(guān)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)并具有較好的實(shí)用價(jià)值.本文通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，引入引解函數(shù)，證實(shí)邊值問題（1）的解具有相似結(jié)構(gòu)，并提出了求解該類邊值問題的一個(gè)新方法——相似構(gòu)造法.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1.1［1］若對(duì)邊值問題（1）中定解方程作變量替換：

則可化為如下標(biāo)準(zhǔn)的Bessel方程：

式中，

引理1.2 邊值問題（1）中定解方程的通解為

式中，C1，C2為任意常數(shù)；Jυ（·），Yυ（·）分別為υ階的第一、第二類Bessel函數(shù).

證明 因?yàn)锽essel方程（3）的通解［1，16］為

由變量替換式（2）知

引理1.3 若令

則有

證明 根據(jù)Bessel函數(shù)的微分性質(zhì)

可以得到

同理可證式（8）～（10）成立.

引理1.4 若令

則有

這里，φi，j（x，ξ）（i，j＝0，1）為邊值問題（1）的引解函數(shù).

證明 根據(jù)定義式（11）及引理1.3可直接證得.

2 主要定理及其證明

先討論邊值問題（1）的右邊界條件特殊的一種情形，它將是（1）的解的相似結(jié)構(gòu)中的相似核函數(shù).

定理2.1 若邊值問題

（參數(shù)的限制與式（1）中相同）有唯一解，則其解為

證明 根據(jù)引理1.2知，式（15）中定解方程的通解為式（5），則

再由式（15）中的右邊界條件［Gy＋Hy′］x＝b＝0知

由于邊值問題（15）有唯一解，因而關(guān)于C1，C2的線性方程組（17）、（18）的系數(shù)行列式Δ≠0，且經(jīng)計(jì)算化簡(jiǎn)和應(yīng)用式（12）、式（14），得

求解線性方程組（17）、（18），得

將由式（20）、式（21）確定的C1，C2代入式（5）中，即得邊值問題（15）的解：

再應(yīng)用式（19）、式（11）、式（13），即得式（16）.

定理2.2 若邊值問題（1）有唯一解，則其解為

證明 根據(jù)引理1.2知，式（1）中定解方程的通解為式（5），則由式（1）中的左邊界條件

知

再由式（1）中的右邊界條件［Gy＋Hy′］x＝b＝0，得到式（18）.

由邊值問題（1）有唯一解知，關(guān)于C1，C2的線性方程組（18）、（23）的系數(shù)行列式Δ＊≠0，且經(jīng)計(jì)算化簡(jiǎn)和應(yīng)用式（12）、式（14），得

求解線性方程組（18）、（23），得

將由式（25）、式（26）確定的C1，C2代入式（5）中，即得邊值問題（1）的解：

再應(yīng)用式（11）、式（13）、式（24），并經(jīng)整理后，即得式（22）.

由定理2.1和定理2.2，經(jīng)觀察或簡(jiǎn)易地運(yùn)算，易得如下在實(shí)際應(yīng)用中的幾個(gè)有用的推論.

推論2.1 在邊值問題（1）或（15）中，若右邊界條件為y（b）＝0（即H＝0，G≠0），則相應(yīng)的相似核函數(shù)

推論2.2 在邊值問題（1）或（15）中，若右邊界條件為y′（b）＝0（即G＝0，H≠0），則相應(yīng)的相似核函數(shù)

推論2.3 邊值問題（1）的解式（22）的結(jié)構(gòu)中的第一個(gè)連分式有如下性質(zhì)：

此式反映了解在左邊界處的本質(zhì)性的特征，在實(shí)際應(yīng)用中起著十分重要的作用.

3 結(jié)論

（Ⅰ）由定理2.2知，解式（22）具有式相似性（稱為解的相似結(jié)構(gòu)式），即具有連分式乘積的形式并包含有一個(gè)相似核函數(shù)Φ（x），具有數(shù)的表現(xiàn)特征；且相似結(jié)構(gòu)式中的系數(shù)僅與左邊界條件有關(guān)，而與右邊界條件及定解方程無關(guān).

（Ⅱ）由定理2.1知，相似核函數(shù)Φ（x）是左邊界為第二類邊界條件下的解.相對(duì)于邊值問題（1）來說，Φ（x）與左邊界條件中的系數(shù)無關(guān)，僅與右邊界條件及定解方程有關(guān)，是易于求得的.它表現(xiàn)為是相應(yīng)邊值問題的一種基礎(chǔ)解.

（Ⅲ）由引理1.4及定理2.1知，只需由式（11）生成φ（x，ξ）（＝φ0，0（x，ξ）），即可求得相似核函數(shù)Φ（x）（它由φ（x，ξ）及關(guān)于第一、第二個(gè)變量分別求導(dǎo)后代入相應(yīng)的值和右邊界條件的系數(shù)而生成），而不必去求解邊值問題（15）.

（Ⅳ）以上特征表明：只要先由φ（x，ξ）生成相似核函數(shù)Φ（x），再由相似結(jié)構(gòu)式（22）進(jìn)行組裝，即可得到邊值問題（1）的解.依此步驟獲得邊值問題的方法稱為相似構(gòu)造法.這無疑是解決微分方程的復(fù)雜邊值問題的一個(gè)新思想和新方法.該方法有利于進(jìn)一步地分析解的內(nèi)在規(guī)律、解決相應(yīng)的應(yīng)用問題、方便編制相應(yīng)的分析軟件，它是微分方程理論的創(chuàng)新發(fā)展.

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