應(yīng)用門限分位點回歸模型估計VPIN條件下CVaR

葉五一，李玉潔，繆柏其

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院統(tǒng)計與金融系，安徽合肥 230026)

0 引言

當(dāng)金融市場中的指令流基本平衡時，做市商可以從大量的交易中獲取利益，而當(dāng)指令流不平衡時，做市商就面臨著逆向選擇帶來的風(fēng)險.指令流的不平衡往往是由于交易者掌握更多市場信息而產(chǎn)生的.因此，我們可以通過衡量市場中知情交易的概率(probability of informed trading,PIN)來衡量做市商以及投資者所面臨的風(fēng)險.Easley等[1]對PIN進(jìn)行了簡單的介紹，并提出了一種參數(shù)方法來估計PIN的值.隨后，Easley等又基于分筆數(shù)據(jù)的交易量等相關(guān)信息提出了PIN的另一種非參數(shù)估計方法——同步交易量知情交易概率(volume-synchronized probability of informed trading,VPIN)[2]，該方法直接基于交易數(shù)據(jù)估計出PIN的值，無需對模型中假定的參數(shù)進(jìn)行估計，并且VPIN值可根據(jù)市場交易信息不斷地進(jìn)行同步更新.Easley等還基于VPIN對美國市場2010年5月的“閃電崩盤”事件進(jìn)行了分析[3]，在該文中，作者基于相關(guān)系數(shù)方法對VPIN和收益率之間的關(guān)系進(jìn)行了分析，實證結(jié)果表明兩者之間有著比較密切的關(guān)系.VPIN作為金融市場中一種衡量知情交易風(fēng)險的指標(biāo)，可以反映和預(yù)測市場的一些變化，本文中，我們希望通過研究VPIN和日收益率之間的關(guān)系，以揭示VPIN的變化對市場風(fēng)險的影響.

通過何種方法來確定VPIN和日收益率之間的關(guān)系，什么模型可以用來研究VPIN對市場風(fēng)險的影響？最容易想到的是線性相關(guān)系數(shù)，Easley等[3]基于相關(guān)系數(shù)方法分析了VPIN與收益率之間的相關(guān)關(guān)系，雖然線性相關(guān)系數(shù)方法簡單易操作，但同時限制性較強，線性關(guān)系主要描述服從多元正態(tài)分布或橢圓分布的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，而金融數(shù)據(jù)一般都不符合這種特點.秩相關(guān)系數(shù)也是一種常見的方法，但這只能表示兩者之間存在著某種相關(guān)關(guān)系，不能更深入地揭示出兩者之間的相互關(guān)系和影響程度.相關(guān)系數(shù)本質(zhì)上是一元線性回歸問題，本文打算分析VPIN對收益率市場風(fēng)險(value at risk,VaR)的影響，并借助分位點回歸模型進(jìn)行分析.

VaR可以被定義為“在一定的期間內(nèi)，在一定的置信水平(如95%)下，一個金融頭寸所面臨的最大的潛在損失”.計算VaR的方法主要有3種方法：歷史模擬方法、分析方法(方差-協(xié)方差方法)和蒙特卡羅模擬方法.Duffie等[4]給出了關(guān)于VaR估計方法的系統(tǒng)的介紹.傳統(tǒng)的VaR方法一般都假定投資組合收益率的統(tǒng)計分布特征在一定時期內(nèi)基本穩(wěn)定，然后在此基礎(chǔ)上對VaR進(jìn)行估計.然而金融市場的狀況時刻發(fā)生變化，尤其是近期金融危機頻繁發(fā)生，金融形勢有了巨大的變化.金融市場狀況的改變，使得收益率的分布也會產(chǎn)生相應(yīng)的變化，此時傳統(tǒng)VaR理論的應(yīng)用就會受到諸多限制.為了克服這種限制，便有了條件VaR(conditional value at risk,CVaR)的定義以及相應(yīng)的估計方法.

在現(xiàn)實的金融市場中，很多經(jīng)濟變量之間都存在很緊密的相關(guān)關(guān)系，因此，在金融風(fēng)險管理的研究中也應(yīng)該考慮變量之間的相關(guān)關(guān)系，考慮各種風(fēng)險因子對市場風(fēng)險的影響.在當(dāng)前的風(fēng)險度量的研究中，重點都放在了某種金融資產(chǎn)本身風(fēng)險度量的研究上，過度集中在研究單一風(fēng)險的測量模型，而從金融風(fēng)險事件研究中可以看出，各種變量之間是相互作用、相互影響的，要解決變量之間相互影響的問題，可以考慮研究在某種市場條件給定的情況下，某經(jīng)濟變量對市場風(fēng)險的度量.本文將集中討論給定VPIN的條件下CVaR的估計問題.要計算CVaR，一般需要解決條件分布的問題.肖春來等[5]給出了在股票的價格和收益率服從二元正態(tài)分布的假設(shè)下CVaR的一種計算方法.眾多研究指出收益率的分布以及價格的分布并不服從正態(tài)分布，因此該假設(shè)跟實際情況不太符合.上述方法是一種參數(shù)模型方法，具有一定的建模風(fēng)險.葉五一等[6]則基于copula方法給出了CVaR的一種度量方法.VaR本質(zhì)上是某收益率分布的分位點，因此可以借助分位點回歸模型進(jìn)行VaR的度量，分位點回歸模型由Koenker等[7]于1978年提出.葉五一等[8]則提出了分位點回歸的門限模型，并由此模型得到了CVaR的一種估計方法，該模型是一種非線性分位點回歸模型.本文將嘗試基于門限分位點回歸模型分析VPIN與市場風(fēng)險之間的非線性關(guān)系.對于門限分位點回歸模型來說，通過門限值的估計，可以得到幾段不同的分位點回歸模型.在由門限分成的不同區(qū)間內(nèi)，回歸系數(shù)會發(fā)生變化，這樣就可以得到不同的解釋變量大小對因變量分位點的不同影響情況.

1 知情交易概率PIN及其估計值VPIN

知情交易概率(PIN)是度量流動性毒性的一個指標(biāo)，本節(jié)將對PIN作一個簡單的介紹，并給出PIN的估計值VPIN.

1.1 知情交易概率(PIN)

假定在一個交易周期中，有消息事件發(fā)生的概率為α，各個事件之間相互獨立，若有消息事件發(fā)生，則事件為好消息和壞消息的概率分別為1-δ和δ.

進(jìn)一步假定，在一個有消息事件發(fā)生的交易周期中，做市商收到知情交易的訂單的數(shù)量是速率為μ的Poisson過程，不知情訂單的數(shù)量是速率為ε的Poisson過程.而在一個沒有消息事件發(fā)生的交易周期中，做市商收到的訂單數(shù)是速率為ε的Poisson過程.

根據(jù)Easley等[2]的研究結(jié)果，我們直接給出知情交易的概率PIN：

(1)

式中，αμ+2ε為做市商收到的所有訂單的速率，αμ為做市商收到的知情交易訂單的速率.

做市商需要正確地估計PIN來及時調(diào)整最優(yōu)的價格水平，否則，意料之外的PIN的上升可能會帶來很大的損失，增大做市商的風(fēng)險.類似地，可以在實際中考慮PIN對市場風(fēng)險是不是有影響，兩者的相依結(jié)構(gòu)如何，PIN是怎樣影響市場風(fēng)險的等相關(guān)問題.

1.2 知情交易的估計值VPIN

估計PIN的標(biāo)準(zhǔn)方法是用極大似然方法來估計參數(shù)(α,μ,δ,ε)，再由此得出PIN的估計值.這一節(jié)中，我們給出另一種方法，即，基于交易量直接計算出PIN的估計值，而不需要間接地估計上述參數(shù).除了無需估計參數(shù)，這種方法的另一個優(yōu)點是可以根據(jù)新的市場交易信息隨時更新[2].

以某一段時間內(nèi)的所有交易為研究對象，第i筆交易的交易價格、交易量、交易時間分別記為Pi,Vi,Ti.我們首先來構(gòu)建n個交易量桶，從i=1開始，將每筆交易依次放入第一個交易量桶，直至該交易量桶中包含的所有交易的總交易量為一個定值V(V為外生變量).對于最后一個放入該交易量桶的交易，若該交易使得該交易量桶的總交易量大于V，則將多余的交易量放入下一個交易量桶.依次類推，直至獲得n個交易量桶.

同時，由Possion過程的性質(zhì)，可以得出

由上述兩個公式可以推導(dǎo)出

(2)

由此可見，只要我們知道了某個時間段每筆交易的交易量和交易價格，就可以由式(2)計算出這一段時間的VPIN值.

2 門限分位點回歸方法與CVaR估計

分位點回歸模型，由Koenker等[7]于1978年提出，對傳統(tǒng)的分位點估計進(jìn)行了擴展.類似于線性回歸模型，分位點回歸模型假定被解釋變量分位點與解釋變量之間滿足線性關(guān)系.假定Y的分布函數(shù)為F(y)=Pr(Y≤y).那么對于任意τ∈(0,1)，隨機變量Y的τth分位點被定義為

Qτ(Y)=inf{y:F(y)≥τ}.

2.1 分位點回歸模型

假定X為K×1維隨機向量，{x1,…,xn}為其樣本，其中,xi的第j個分量為xi,j(i=1,…,n;j=1,…,K).類似于一般的線性模型，分位點回歸模型可以被假定為

(3)

這里對誤差項ui,τ的分布不作過多假定，只需要滿足條件Q(ui,τ|xi)=0.為了滿足可識別性，也就是無條件分位點也可以由該模型得到，一般假定解釋變量X的第一個分量恒等于1，即xi,1=1.

2.2 參數(shù)βτ的估計

2.3 門限分位點回歸模型

門限自回歸模型(threshold autoregressive model,TAR)假定在每一個被門限分開的區(qū)間內(nèi)，時間序列滿足線性自回歸關(guān)系，具體介紹可以參見文獻(xiàn)[10].下面將借鑒門限的思想，給出門限分位點回歸模型.

分位點回歸模型中假設(shè)條件分位點與解釋變量滿足線性關(guān)系，有時不能很好地反應(yīng)市場的真實情況.根據(jù)門限自回歸模型的思想，引入門限分位點回歸模型，該模型利用門限變量(xi的第j個分量xi,j)將模型分成了幾段線性分位點回歸模型.門限分位點回歸模型被定義為

(4)

(5)

在選擇門限γ和分量j時，我們對不同的γ,j最小化式(5)，使得式(5)達(dá)最小時所對應(yīng)的γ,j就是作為門限和分量的估計.依此類推，可以得到將實數(shù)區(qū)間分成3段或以上的門限分位點回歸模型的參數(shù)估計方法以及相應(yīng)的門限分位點回歸模型.

2.4 CVaR估計

假定Yt是某債券或者投資組合的價格過程，Xt是狀態(tài)過程或者是信息向量，在實際應(yīng)用中，包括股票指數(shù)、債券收益率、流動性指標(biāo)以及其他能夠影響價格過程的因素.本文將研究在條件Xt下債券或者投資組合的VaR——CVaR的計算.

CVaR(p)=F-1(1-p|Xt)

(6)

式中，F(xiàn)-1(·|Xt)為F(·|Xt)的反函數(shù)，也稱為條件分位函數(shù).可見確定CVaR本質(zhì)上就是確定條件分位點的值.

一般計算CVaR的方法是先對條件分布進(jìn)行估計，然后再確定CVaR的值.針對線性分位點模型在描述現(xiàn)實金融市場時的不足，本文將應(yīng)用門限分位點回歸模型對CVaR進(jìn)行估計，得到在一定的VPIN條件下收益率的CVaR值.分位點回歸模型避免了條件分布的估計，直接得到條件分位點的值.在本文的最后部分將得到的CVaR結(jié)果和其他傳統(tǒng)的方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較，并對所得到的CVaR結(jié)果進(jìn)行了事后檢驗.下面首先給出CVaR事后檢驗的方法.

2.5 CVaR的事后檢驗

得到了門限分位點回歸模型中的參數(shù)值后，給定條件，就可以得到具體的CVaR估計值，由于CVaR的值不能過大也不能過小，太大可能會造成銀行資產(chǎn)的機會成本過大，太小又會帶來很大的金融風(fēng)險.因此就需要對CVaR的值進(jìn)行事后檢驗，參照Kupiec提出的對零假設(shè)最合適的似然比檢驗[11]，本文給出了CVaR模型的效果檢驗方法.

可以根據(jù)統(tǒng)計量LR的大小來比較方法的好壞以及判斷在相應(yīng)的置信水平下是否能夠拒絕原假設(shè)H0:p=p*.

3 實證分析

眾所周知，經(jīng)濟領(lǐng)域中的許多變量是相互影響的，例如市場風(fēng)險與各風(fēng)險因子之間存在關(guān)系，這也是金融領(lǐng)域的基本原理.為了研究PIN對收益率的影響，我們將基于交易量估計上證綜指的知情交易概率(VPIN)，并在給定VPIN的條件下，對收益率的CVaR進(jìn)行估計.

本文采用的研究數(shù)據(jù)如下：①研究對象為中國股票市場的上證綜指數(shù)據(jù).②數(shù)據(jù)樣本的時間范圍是2011-01-04～2013-02-28.③數(shù)據(jù)樣本的采樣頻率為1 min.本文將利用上述數(shù)據(jù)進(jìn)行實證研究，分析日收益率和VPIN之間的關(guān)系，并考慮VPIN對市場風(fēng)險是如何影響的.為了研究CVaR估計方法的準(zhǔn)確性，以2012-02-20后的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測效果的檢驗.

本文所選取的是近期的股票市場數(shù)據(jù)，我們也對其他時間段做了類似的分析，得到了基本類似的結(jié)論.限于篇幅，本文沒有具體給出.

3.1 VPIN的估計以及描述性統(tǒng)計量分析

圖1 收益率與VPIN散點圖Fig.1 Scatter plot of VPIN vs return

由圖1可以看出，VPIN和日收益率之間具有一定的相關(guān)性.本文旨在通過門限分位點回歸模型研究二者的非線性結(jié)構(gòu)關(guān)系，雖然圖1沒有顯示出二者之間有較強的線性關(guān)系，但這并不影響我們進(jìn)一步的研究.為了對VPIN有一個大致的了解，在表1中，我們給出了VPIN的描述性統(tǒng)計量分析.由表1可以看出，VPIN數(shù)據(jù)的峰度大于0，但是尖峰性質(zhì)并不明顯.此外，JB統(tǒng)計量較大，說明用正態(tài)分布對VPIN數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合效果將會很差.

3.2 線性分位點回歸模型分析

在本文中，為了研究收益率和VPIN之間的關(guān)系，估計以VPIN為條件的CVaR值，假定其中的一個因素為VPIN值Vt.為了檢驗?zāi)Ｐ偷暮脡模盍硗庖粋€影響因素恒等于1，即xt,1=1.本文考慮如下模型：Yt=α+βVt+ut,τ，于是條件分位點為

Qτ(Yt)=α+βVt.

我們首先對0.05分位點下的線性分位點回歸模型的參數(shù)進(jìn)行了估計，由此可以得到置信水平95%下的CVaR，具體的估計結(jié)果如表2所示.

由表2可以看出，線性分位點回歸模型中的截距和斜率的p-value都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.01，即截距和系數(shù)都是非常顯著的，說明VPIN與市場風(fēng)險之間是有著顯著關(guān)系的.而且，由VaR與分位點之間的關(guān)系可以知道，VaR的值為分位點的相反數(shù).因此，由于斜率系數(shù)為正，VPIN越大，相應(yīng)的CVaR則越小.這說明，如果當(dāng)日的知情交易概率越大，則相應(yīng)的市場風(fēng)險越小，這個一般的結(jié)論是一致的，知情交易概率越大，說明投資者信息更加豐富，投資風(fēng)險也相應(yīng)較小.下面我們將應(yīng)用門限分位點回歸模型對上述問題進(jìn)行分析，以期能得到更好的擬合效果和更好的解釋.

3.3 門限分位點回歸模型分析

下面給出兩段門限分位點回歸模型參數(shù)估計.按照門限自回歸模型的門限估計方法，在門限估計時，對不同的門限分別作參數(shù)估計并得出最小殘差和，將最小殘差和對應(yīng)的門限作為模型中門限的估計，0.05分位點門限分位點回歸模型的最小和的結(jié)果如圖2所示.

由圖2可見，最小和值S1的最小值有一個很顯著的最低點，對應(yīng)的VPIN門限為γ=0.637 4，對應(yīng)的最小殘差和為Smin=0.327 1.得到了門限值的估計以后，就可以分段對線性分位點回歸模型進(jìn)行估計，得到的參數(shù)估計值如表3所示.

由表3可以看出，對于這兩段數(shù)據(jù)，分位點回歸模型參數(shù)的估計都非常顯著，與表2相對比，t統(tǒng)計量更大，因此系數(shù)的顯著性更加明顯.結(jié)合表3的參數(shù)估計，可以給出具體的門限分位點模型為

表1 VPIN描述性統(tǒng)計量Tab.1 Descriptive statistics of VPIN

表2 分位點回歸結(jié)果Tab.2 Result of quantile regression

圖2 不同門限下回歸模型的最小和圖(τ=0.05)Fig.2 Result of Smin at different threshold (τ=0.05)

表3 第Ⅰ,Ⅱ數(shù)據(jù)段分位點回歸結(jié)果Tab.3 Result of quantile regression of data segment Ⅰ and Ⅱ

由CVaR的定義可知，CVaR是上述條件分位點的相反數(shù)，因此置信水平為95%的CVaR為

由CVaR的表達(dá)式可以看出，當(dāng)VPIN較小時(Vt≤0.637 4)，CVaR值較大，因此，市場風(fēng)險較大.由截距項可以看出，前者的截距項要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于后者.當(dāng)VPIN較大時(Vt>0.637 4)，市場風(fēng)險相對較小.由門限分位點回歸模型的斜率項可以看出，兩段的回歸系數(shù)都為正，說明隨著VPIN的增大，市場風(fēng)險CVaR將變小.而且，第二段分位點回歸模型的斜率系數(shù)要大于第一段的斜率系數(shù)，這說明當(dāng)VPIN較大時(Vt>0.637 4)，CVaR受VPIN的影響更大.

為了檢驗?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)健性，我們也對0.01門限分位點回歸模型進(jìn)行了分析，最小和結(jié)果如圖3所示，由圖3可以看出，最優(yōu)的門限也是0.637 4，說明本文提出的門限分位點回歸模型具有一定的穩(wěn)健性.我們曾對2005-01～2006-03的數(shù)據(jù)進(jìn)行了實證分析，最優(yōu)門限值為0.643 5，與上述結(jié)果也相差不大.我們也曾類似地分析了分成更多段的門限分位點回歸模型，但是其結(jié)果都不如上述兩段模型理想，因此可以認(rèn)為上述兩段的門限分位點回歸模型能夠更好地描述金融市場中VPIN與收益率之間的關(guān)系.

圖3 不同門限下回歸模型的最小和圖(τ=0.01)Fig.3 Result of Smin at different threshold (τ=0.01)

我們的實證研究表明，知情交易概率越高，市場風(fēng)險越小.可以從理論上來解釋實證結(jié)果的合理性.我們認(rèn)為，知情交易并不僅僅代表內(nèi)幕操控，內(nèi)幕操控會給市場帶來很多不穩(wěn)定因素，使得股票價格越發(fā)偏離其內(nèi)在價值，增加市場風(fēng)險.知情交易還包括交易者對股票內(nèi)在價值信息的掌握和宏觀政策的解讀，這一類的知情交易者會根據(jù)自身掌握的信息進(jìn)行理性的分析判斷，使得股票的市場價格越發(fā)能夠體現(xiàn)出其內(nèi)在價格，市場變得更為有效.當(dāng)市場上這類知情交易者變多時，市場上的盲目“跟風(fēng)者”變少，內(nèi)幕操控者利用信息優(yōu)勢進(jìn)行的操控行為將變得難以實施，市場風(fēng)險減小.近年來，我國金融服務(wù)行業(yè)得到了迅速的發(fā)展，各類券商研究所為市場提供了充分的信息來源，上市公司的信息披露也越發(fā)透明，使得市場上知情交易者數(shù)量顯著增加，市場變得更加有效，市場風(fēng)險會變小.

3.4 CVaR的事后檢驗

下面對估計得到的置信水平為95%的CVaR進(jìn)行事后預(yù)測效果檢驗，具體的方法包括無條件VaR(歷史模擬方法和分析方法)以及文獻(xiàn)[6]提出的基于copula的CVaR估計方法等，采用了接下來的250個數(shù)據(jù)(2012-02-20～2013-02-28)進(jìn)行檢驗，檢驗結(jié)果如表4所示.

由LR相應(yīng)的p-value可以看出，4種方法的p-value值都大于0.05，因此在95%的置信水平下都不能拒絕原假設(shè).但是通過LR統(tǒng)計量以及p-value可以對4種方法的預(yù)測效果進(jìn)行比較和排序.由LR統(tǒng)計量的表達(dá)式可以得知，LR該值越小，則模型的預(yù)測效果就越好，因此，可以看出本文給出的CVaR和基于copula方法的預(yù)測效果要比無條件的VaR結(jié)果好，這是因為接下來每天的VaR值都會通過當(dāng)天的VPIN值進(jìn)行調(diào)整，相當(dāng)于一個動態(tài)VaR的一種估計，其預(yù)測效果顯然較好，這相應(yīng)的也是CVaR的優(yōu)勢所在.而且還可以看出，本文提出的CVaR估計方法的預(yù)測效果要優(yōu)于基于copula的CVaR估計方法的.

表4 CVaR的事后檢驗結(jié)果Tab.4 Results of back-test methods

4 結(jié)論

在當(dāng)今的金融市場中，很多經(jīng)濟變量之間都存在很大的相依關(guān)系，在某種條件下的條件風(fēng)險，可以描述風(fēng)險和某些變量之間的關(guān)系以及各種風(fēng)險之間的關(guān)系，本文用CVaR作為條件風(fēng)險的度量.PIN在一定程度上可以衡量交易者對市場的知情情況，可以看出投資者對市場信息的把握，本文以VPIN作為條件，給出了上證指數(shù)在VPIN條件下的CVaR度量方法.本文基于門限分位點回歸模型對收益率分位點與VPIN之間的非線性關(guān)系進(jìn)行了實證分析，通過實證分析發(fā)現(xiàn)，兩段門限分位點回歸模型能夠更好地描述實際的上證指數(shù)數(shù)據(jù)，并且在VaR的事后預(yù)測檢驗中發(fā)現(xiàn)，由該門限模型得到的CVaR結(jié)果能更好地對未來的金融市場風(fēng)險進(jìn)行預(yù)測.

本文基于門限分位點回歸模型得到了CVaR的估計的一種方法，其中的解釋變量本文選擇了VPIN指標(biāo)，門限分位點回歸模型得到的CVaR結(jié)果和VPIN指標(biāo)存在著一定的分段線性的關(guān)系，而且可以得知，VPIN越大，相應(yīng)的市場風(fēng)險越小.此外，門限分位點回歸模型中解釋變量也可以選擇其他變量，就可以得到其他條件下的CVaR，該模型還可以用來分析幾個不同的解釋變量共同作用下的CVaR問題.本文的分析也還存在一定的不足，沒有給出門限選擇的統(tǒng)計假設(shè)檢驗，而且關(guān)于知情交易概率的估計除了VPIN以外還存在很多其他的方法，本文只考慮了VPIN,但如果比較不同PIN條件下CVaR的預(yù)測效果，應(yīng)該能夠更好地對市場風(fēng)險進(jìn)行度量.今后將從這些方面開展進(jìn)一步的研究.

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