環(huán)F2+uF2上線性碼關(guān)于Rosenbloom-Tsfasman距離的MacWilliams恒等式

芮義鶴，朱士信

(1.浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江杭州 310018；2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009)

0 引言

1 基本概念

環(huán)F2+uF2是指剩余類環(huán)F2[u]/(u2)，其元素分別記為{0,1,u,1+u}.將u視為環(huán)Z4上的元素2，1+u視為環(huán)Z4上的元素3，則其乘法與環(huán)Z4上的乘法一致.為方便，記R=F2+uF2.環(huán)R上的元素運(yùn)算如下所示：

*01u1+u00000101u1+uu0u0u1+u01+uu1

稱Rn的一個R子模C是碼長為n的環(huán)R上線性碼，本文中的碼均為環(huán)R上碼，C中的元素稱為碼字.

設(shè)a=(a0,a1,…,an-1)∈Rn，定義a的ρ重量為

?x,y∈Rn，定義x,y的ρ距離為

ρ(x,y)=wN(x-y).

稱wr(C)=|{x∈C|wN(x)=r}|，0≤r≤n，為碼C的ρ重量譜，定義相應(yīng)的ρ重量計(jì)數(shù)器為

設(shè)a=(a0,a1,…,an-1),b=(b0,b1,…,bn-1)∈Rn，定義a,b的內(nèi)積為

環(huán)R上線性碼C的對偶碼定義為

C⊥={u∈Rn|〈u,v〉=0,?v∈C}.

顯然C⊥也是環(huán)R上長為n的線性碼.

設(shè)ψ:Rn→R[x]/(xn)，即

則映射ψ是環(huán)R上碼C到ψ(C)的R模同構(gòu).p(x)∈R[x]的ρ重量定義為degp(x)+1，即

ρ(p(x))=degp(x)+1.

設(shè)p(x)=p0+p1x+…+pn-1xn-1∈R[x]/(xn)，p(x)的第k個系數(shù)記ck(p(x))=pk，其中,0≤k≤n-1.于是定義p(x),q(x)的內(nèi)積為

〈p(x),q(x)〉=cn-1(p(x)q(x)).

a(a∈R)的Hamming重量定義為

設(shè)Y=(y1,y2,…,yn)，定義碼C的完全ρ重量計(jì)數(shù)器為

2 主要結(jié)論

定義2.2設(shè)Y=(y1,y2,…,yn)，定義環(huán)R上碼C的Lee完全ρ重量計(jì)數(shù)器為

證明當(dāng)H={0}時，

□

引理2.2設(shè)C是環(huán)R上的一個線性碼，p(x),q(x)∈R[x]/(xn)，則

證明①若q(x)∈C⊥，則

②若q(x)?C⊥，則存在p(x)∈C使得〈p(x),q(x)〉≠0.

設(shè)τq:C→R,p(x)|→〈p(x),q(x)〉，易知該變換為群同態(tài)，而且Im(τq)≠{0}是R的一個子群.所以C/ker(τq)?Im(τq).

由引理2.1,

□

引理2.3設(shè)θ是R中固定的元素，p(x)=p0+p1x+…+pn-1xn-1∈R[x]/(xn)，則有

(1+y)2-wL(pn-1-i)(1-y)wL(pn-1-i).

② 〈p(x),axi〉=cn-1(p(x)(axi))=pn-1-ia,

由①得

□

引理2.4設(shè)

f:R[x]/(xn)→C[y1,y2,…,yn],

則

其中,

證明設(shè)p(x)=p0+p1x+…+pn-1xn-1,q(x)=q0+q1x+…+qn-1xn-1,

由引理2.2得

所以，

□

定理2.1設(shè)C是環(huán)R上線性碼，則碼C的對偶碼C⊥的Lee完全ρ重量計(jì)數(shù)器為

其中,p(x)=p0+p1x+…+pn-1xn-1,q(x)=q0+q1x+…+qn-1xn-1.

證明在引理2.4中取

則有

由引理2.3,

所以,

再由引理2.4可得

□

3 結(jié)論

References)

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