基于自正則的K-S方法的均值變點(diǎn)檢驗(yàn)
——對我國上證綜指的實(shí)證分析

羅麗莎，潘婉彬，繆柏其

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院統(tǒng)計(jì)與金融系，安徽合肥 230026)

0 引言

在過去的二十多年間，中國資本市場從無到有，從小到大，得到了迅速的發(fā)展，在很多方面走過了一些成熟市場幾十年甚至是上百年的道路.資本市場促進(jìn)了中國經(jīng)濟(jì)和企業(yè)的發(fā)展，很好地發(fā)揮了市場融資和資源配置的功能.同時(shí)，中國資本市場是伴隨著經(jīng)濟(jì)體制改革逐步發(fā)展起來的“新興加轉(zhuǎn)軌”市場.由于建立初期的整體環(huán)境和市場本身制度設(shè)計(jì)上的局限，中國資本市場積累了一些深層次問題，阻礙了市場的進(jìn)一步發(fā)展.為了深化改革，監(jiān)管當(dāng)局推出了一系列旨在完善市場基本制度和恢復(fù)市場功能的改革措施.這些措施推動(dòng)中國資本市場發(fā)生了深刻的變化.未來中國資本市場的發(fā)展將面臨新的機(jī)遇和挑戰(zhàn).在這樣的背景下，研究中國資本市場的歷史，更好地把握資本市場的發(fā)展規(guī)律，將有利于制定相應(yīng)的發(fā)展戰(zhàn)略和措施，推動(dòng)中國資本市場的進(jìn)一步發(fā)展.

金融時(shí)間序列是經(jīng)濟(jì)與金融領(lǐng)域中最重要的數(shù)據(jù)類型,對這類數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測和控制是整個(gè)經(jīng)濟(jì)和金融活動(dòng)的重要工作.比較常見的金融時(shí)間序列包括債券、匯率、股票價(jià)格和金融期貨價(jià)格等等.在時(shí)間序列的建模中，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定是非常重要的前提條件.然而，經(jīng)濟(jì)和金融數(shù)據(jù)中普遍存在著具有非平穩(wěn)性的序列,如測度金融市場波動(dòng)的股指價(jià)格序列會(huì)在某個(gè)時(shí)刻發(fā)生突然變化等.所以在實(shí)證分析中，我們需要通過檢驗(yàn)金融時(shí)間序列是否存在變點(diǎn)來評價(jià)其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.

變點(diǎn)是指模型或時(shí)間序列在某一未知時(shí)刻突然出現(xiàn)了變化,該時(shí)刻即所謂的變點(diǎn).常見的變點(diǎn)有均值變點(diǎn)、概率變點(diǎn)及模型變點(diǎn).從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度研究均值變點(diǎn),目的在于根據(jù)數(shù)據(jù)判斷和檢驗(yàn)變點(diǎn)是否存在，如果存在，檢測其位置、個(gè)數(shù)及其躍度，從而能大體把握模型或者序列的結(jié)構(gòu)，對研究具有分段結(jié)構(gòu)特征的時(shí)序有很重大的意義.因此統(tǒng)計(jì)變點(diǎn)的檢測在金融數(shù)據(jù)處理中有廣泛的應(yīng)用前景.

對獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列的變點(diǎn)問題，很多學(xué)者，如Brodsky等[1]，提出了解決方法，但是用到時(shí)間序列的變點(diǎn)檢測上就未必合適了.由于時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間存在相依性，我們需要對原始統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行一些必要的修正和改進(jìn).

在檢驗(yàn)時(shí)間序列的均值變點(diǎn)時(shí)，常用的有Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗(yàn)，“滑窗”檢驗(yàn)等方法.傳統(tǒng)的K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量要求找到長程方差(long-run variance)的相合估計(jì)量，即譜密度函數(shù)在0處的取值，這樣才能確保極限分布在原假設(shè)下不會(huì)受到“冗余”參數(shù)的影響.而“滑窗法”中的長程方差估計(jì)量則要求選擇一個(gè)合適的帶寬參數(shù).對有限樣本而言，估計(jì)的功效往往對窗寬參數(shù)的敏感性比較強(qiáng)，而在實(shí)踐中，選取合適的窗寬參數(shù)本來就比較難.有很多文獻(xiàn)指出，窗寬的選擇不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致非單調(diào)功效問題(即當(dāng)備擇假設(shè)離原假設(shè)越來越遠(yuǎn)時(shí)，功效函數(shù)有可能會(huì)出現(xiàn)遞減).而對一個(gè)好的檢驗(yàn)來說，當(dāng)備擇假設(shè)越偏離原假設(shè)，功效函數(shù)應(yīng)該呈單調(diào)遞增的趨勢.這也使得“滑窗”檢驗(yàn)變得不那么容易把握.

對于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量而言，功效函數(shù)的非單調(diào)問題確實(shí)是一個(gè)很棘手的問題.理論和實(shí)證研究都表明，選擇數(shù)據(jù)依賴型的窗寬參數(shù)就會(huì)導(dǎo)致非單調(diào)功效，這個(gè)參數(shù)是在原假設(shè)下設(shè)定的，而在備擇假設(shè)下，它是嚴(yán)格有偏的.因此很多的學(xué)者都想研究出它的解決方法，Altissimo等[2]，Juhl等[3]提出了解決方法，但是并不見效.他們在避免了選擇一個(gè)窗寬參數(shù)的同時(shí)，又牽涉了另外一個(gè)窗寬參數(shù)的選擇.正如Perron等[4]所說：在存在結(jié)構(gòu)變點(diǎn)的背景下，沒有任何可靠的方法來選擇這個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù).所以，功效函數(shù)的非單調(diào)性問題仍未能完美解決.

Lobato[5]和Shao[6]中提到的自正則化(self-normalization,SN)因子是一種非常新穎的思想.他們在平穩(wěn)時(shí)序的批量參數(shù)的置信區(qū)間估計(jì)問題中，引入了自正則因子，從而避免了直接估計(jì)漸近方差所引入的窗寬參數(shù).現(xiàn)有的很多方法都依賴于光滑參數(shù)的選取，而他們的方法對參數(shù)有著良好的穩(wěn)健性.這一優(yōu)點(diǎn)無疑增大了自正則因子在檢驗(yàn)中的應(yīng)用空間.

1 理論框架介紹

假設(shè)想要檢測一個(gè)單變量時(shí)間序列{X1,…,Xn}的均值變點(diǎn)，原假設(shè)和備擇假設(shè)分別可以寫成：

其中,1

首先，基于累積和過程，定義如下統(tǒng)計(jì)量：

定理1.1在關(guān)于Xt的適當(dāng)矩條件及弱相依條件下，

(1)

具體證明過程見文獻(xiàn)[8].

由上述定理得知，當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，Tn(└nr┘)弱收斂于σ{B(r)-rB(1)}.這里，Kolmogorov-Smirnov統(tǒng)計(jì)量的定義為

(2)

由定理1.1推廣，很容易得到此結(jié)論.

文獻(xiàn)[9]提出了更適用的SN方法.

而U1的極限分布見文獻(xiàn)[9].

定義正則化過程：

定義檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

由定理1.1我們可以推導(dǎo)出Gn的極限分布

其中,

值得注意的是，新構(gòu)造的自正則因子與k有關(guān)，而在原來的Dn對所有的k而言都是一樣的.

可以看到，Vn(k*)的數(shù)量級(jí)與

Δn∶=E(Xk*+1)-E(Xk*)

或者

來檢測變點(diǎn).

2 實(shí)證及結(jié)果分析

中國資本市場與一般成熟市場自我演進(jìn)的發(fā)展模式不同，它是伴隨著經(jīng)濟(jì)體制改革逐步發(fā)展起來的“新興加轉(zhuǎn)軌”市場，呈現(xiàn)出比一般成熟市場更特殊、更多元的復(fù)雜性.中國的金融市場受到各種重大改革事件和各種外來沖擊的影響，而這些重大事件對整個(gè)金融市場以及投資者行為的影響是非常重要的，比如2007年的大牛市和2008年的金融危機(jī).2007年中國股市大牛市于2005年緩緩啟動(dòng)，然后開始快速飆升，并于2007年達(dá)到頂點(diǎn)(2007年10月的6 124點(diǎn))，期間大盤在兩年多的時(shí)間里上漲了足足6倍.2008年的金融危機(jī)則浮現(xiàn)于2007年下半年，自美國次級(jí)房屋信貸危機(jī)爆發(fā)后，投資者開始對按揭證券的價(jià)值失去信心，引發(fā)流動(dòng)性危機(jī)，導(dǎo)致金融危機(jī)的爆發(fā).到2008年，這場金融危機(jī)進(jìn)一步加劇，并導(dǎo)致多家相當(dāng)大型的金融機(jī)構(gòu)倒閉或被政府接管.隨著金融危機(jī)的進(jìn)一步發(fā)展，又演化成全球性的實(shí)體經(jīng)濟(jì)危機(jī).中國股市作為國際金融市場的重要參與者，其受到的影響不容忽視.

那么是否能根據(jù)基于自正則的K-S檢驗(yàn)方法從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度找到這些大事件的一些跡象呢？為了對照，我們也采用了傳統(tǒng)的K-S方法來檢驗(yàn).

我們采用上證綜指2001-01～2012-01的月底收盤價(jià)數(shù)據(jù)來進(jìn)行實(shí)證分析.由于收盤價(jià)格數(shù)據(jù)是一維的，基于SN的K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和變點(diǎn)位置的估計(jì)量分別可以簡化為

傳統(tǒng)的K-S檢驗(yàn)對應(yīng)的變點(diǎn)位置的估計(jì)量(核函數(shù)和ln的選取參見文獻(xiàn)[3])則為

首先，我們尋找時(shí)間序列的3個(gè)均值變點(diǎn)(先找第一個(gè)，然后左右兩邊各找一個(gè)).表1給出了傳統(tǒng)的和基于SN的K-S檢驗(yàn)兩種方法的變點(diǎn)位置和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值.

表1 兩種方法得到的變點(diǎn)位置及統(tǒng)計(jì)量值Tab.1 Change point positions and statistics of two approaches

圖1 上證綜指月度收盤價(jià)分別與基于SN的和傳統(tǒng)的K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Gn1曲線圖Fig.1 Monthly closing price of Shanghai composite stock index and Gn1 statistics of SN based K-S test and K-S test

至于兩種方法的優(yōu)劣，我們也可以結(jié)合圖1來辨別.從圖1可以看到，基于SN的K-S檢驗(yàn)在2006-03-30處找到了第一個(gè)變點(diǎn)；而傳統(tǒng)的K-S檢驗(yàn)的變點(diǎn)位置是2006-11-30.2006-03～2006-04恰好是2007年大牛市初顯苗頭的階段，在短短一個(gè)月的時(shí)間里，上證綜指由1 300點(diǎn)以下上升至1 400點(diǎn)以上.而2006-11大盤已經(jīng)在迅猛上升階段了.這說明基于自正則的K-S檢驗(yàn)方法對上證指數(shù)均值變點(diǎn)的檢驗(yàn)更有效.

接下來我們以2006-03-30(2006-11-30)為分界點(diǎn)，將整個(gè)數(shù)據(jù)一分為二，然后再用這兩種方法分別來找數(shù)據(jù)的另外兩個(gè)均值變點(diǎn).得到的結(jié)果如圖2所示.

圖2(a)中左邊的均值變點(diǎn)出現(xiàn)在2002-10-31，右邊的均值變點(diǎn)出現(xiàn)在2008-07-31；而圖2(b)中左邊的均值變動(dòng)出現(xiàn)在2001-09-28，右邊的均值變動(dòng)出現(xiàn)在2008-05-31.接下來我們分別對變點(diǎn)發(fā)生位置對應(yīng)的時(shí)代背景進(jìn)行分析.

圖2 上證綜指月度收盤價(jià)分別與基于SN的和傳統(tǒng)的K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Gn2曲線圖Fig.2 Monthly closing price of Shanghai composite stock index and Gn2 statistics of SN based K-S test and K-S test

本文研究的數(shù)據(jù)樣本從2001年1月開始.2001年中國股市經(jīng)歷由牛到熊的轉(zhuǎn)變，在國有股減持的背景下，市場一再下挫.2002年1月跌破1 339點(diǎn).為了穩(wěn)定市場，監(jiān)管當(dāng)局在2002年下半年出臺(tái)了停止在國內(nèi)證券市場減持國有股、上市公司增發(fā)“門檻”提高、QFII制度等一系列措施.

為應(yīng)對2008年金融危機(jī)導(dǎo)致的經(jīng)濟(jì)萎縮，失業(yè)增加等負(fù)面影響，我國分別出臺(tái)了相應(yīng)的貨幣政策和財(cái)政政策.我國從2008年7月份起進(jìn)行了貨幣政策的調(diào)整，包括2008年9～11月連續(xù)4次下調(diào)基準(zhǔn)利率，3次下調(diào)存款準(zhǔn)備金率等，目的是為了增加資金的流動(dòng)性；財(cái)政政策方面則主要是減少稅收，擴(kuò)大政府支出(4萬億元投資)；減少企業(yè)負(fù)擔(dān)，加強(qiáng)公共財(cái)政的社會(huì)保障/醫(yī)療等方面的支出等，保持社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展環(huán)境的穩(wěn)定.

可以看到，結(jié)合經(jīng)濟(jì)背景，基于自正則的K-S檢驗(yàn)得到的變點(diǎn)位置與政策實(shí)施時(shí)點(diǎn)更加相吻合的.基于自正則的K-S檢驗(yàn)，對上證綜指的均值變點(diǎn)的檢驗(yàn)效果要好于傳統(tǒng)的K-S檢驗(yàn)，這種結(jié)論可能是由傳統(tǒng)的K-S檢驗(yàn)需要對長程方差進(jìn)行估計(jì)導(dǎo)致的.

3 結(jié)論

本文將基于自正則的K-S方法應(yīng)用于檢測我國上證綜指收盤價(jià)時(shí)間序列的均值變點(diǎn).與傳統(tǒng)的K-S檢驗(yàn)以及“滑窗”檢驗(yàn)不同的是，基于自正則的K-S檢驗(yàn)方法不要求對長程方差的估計(jì)是相合的，也避免了窗寬參數(shù)的選取，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布不受冗余參數(shù)的影響，而且其功效也是單調(diào)的.通過對我國上證綜指收盤價(jià)的均值檢測，我們發(fā)現(xiàn)該方法對上證綜指均值變點(diǎn)的檢測效果要好于傳統(tǒng)的K-S檢驗(yàn).

自正則的K-S方法雖然相對于傳統(tǒng)的K-S檢

驗(yàn)它存在一定的功效損失，但是作為補(bǔ)償，基于自正則的K-S檢驗(yàn)對樣本容量的限制也更寬松.它可以用于小樣本容量數(shù)據(jù)的變點(diǎn)檢驗(yàn)，這是前者所不能及的.基于自正則的K-S檢驗(yàn)方法對時(shí)間序列變點(diǎn)的檢測提供了新的前景.因此，下一步的工作可將基于自正則的K-S方法應(yīng)用于檢驗(yàn)頻率較低的金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)如上市公司季度財(cái)務(wù)指標(biāo)的變點(diǎn)等.

References)

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