基于Weibull-ARIMA的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列分析

郭 譜， 徐延召， 周 誠(chéng)， 何 然

(1.華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430074；2.中鐵隧道集團(tuán)有限公司， 河南 洛陽(yáng) 471009)

盾構(gòu)法施工具有機(jī)械化程度高，地層擾動(dòng)小，掘進(jìn)速度快，對(duì)環(huán)境影響低等特點(diǎn)，在隧道工程中得到了廣泛應(yīng)用[1]。但國(guó)內(nèi)外工程實(shí)踐表明，盾構(gòu)施工不可避免的會(huì)引起土體擾動(dòng)，而導(dǎo)致不同程度的地表隆沉以及地層水平位移的發(fā)生[2]。盾構(gòu)施工過(guò)程中產(chǎn)生不允許的土層變形位移和過(guò)大的地表沉降差異，進(jìn)而對(duì)淺埋構(gòu)筑物、道路路基和路面、已建地鐵、高架、立交及各類地下管線等市政設(shè)施造成的次生災(zāi)害的規(guī)律、預(yù)測(cè)、控制和防治已成為盾構(gòu)隧道現(xiàn)代化建設(shè)中的一個(gè)亟待解決的重要課題[3]。

盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列分析的目的，就是建立盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間過(guò)程模型，并辨識(shí)該模型結(jié)構(gòu)及其蘊(yùn)含的盾構(gòu)-環(huán)境系統(tǒng)時(shí)間效應(yīng)特征參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間過(guò)程的預(yù)測(cè)。目前建立時(shí)間過(guò)程模型主要有兩種方法[4～6]:一種是基于土體本構(gòu)關(guān)系的數(shù)值分析方法，另一種是基于實(shí)測(cè)資料的時(shí)間序列分析方法。前者采用Biot固結(jié)理論的有限元分析方法，由于土體本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性(粘彈塑性、損傷結(jié)構(gòu)性等)，計(jì)算代價(jià)較大，主要用于重要地段，且該方法所采用的本構(gòu)模型與工程實(shí)際存在差距，因而預(yù)測(cè)結(jié)果難以令人滿意；后者是較為實(shí)用的方法，得到了廣泛運(yùn)用，但存在預(yù)測(cè)模型性狀和實(shí)際土體變形性狀脫節(jié)的問(wèn)題，表現(xiàn)為完全是一種數(shù)學(xué)擬合，而缺乏對(duì)實(shí)際問(wèn)題本身機(jī)理的分析。這種方法在擬合沉降量的變化趨勢(shì)與實(shí)際趨勢(shì)上基本能保持一致,可以對(duì)地表沉降趨勢(shì)作出定性的判斷,但對(duì)于精度要求較高、需要進(jìn)行長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)的沉降而言，擬合值會(huì)隨著預(yù)報(bào)次數(shù)的增加而呈現(xiàn)線性變化趨勢(shì),從而與實(shí)測(cè)值之間存在著一定差異[7～9]。

鑒于此，本文以武漢地鐵二號(hào)線一期某盾構(gòu)隧道工程為背景，針對(duì)單線盾構(gòu)隧道施工過(guò)程中單個(gè)地表變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的豎向位移，在綜合比較時(shí)間序列確定性分析和隨機(jī)分析兩種方法優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了基于Weibull-ARIMA的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間過(guò)程模型，既實(shí)現(xiàn)快速挖掘盾構(gòu)施工的地表變形趨勢(shì)特征，具備良好的工程解釋能力，又能夠反映變形時(shí)序過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性，綜合反映出各種隨機(jī)因素對(duì)變形時(shí)序的影響，從而為類似工程提供有益參考。

1 盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列特征

由于天氣、施工等的影響以及在不同變形階段需進(jìn)行不同的監(jiān)測(cè)頻率等原因，盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列在時(shí)域和空間域上是不等間距的，監(jiān)測(cè)起止時(shí)間內(nèi)獲取的樣本數(shù)量通常在20～50個(gè)之間，當(dāng)盾構(gòu)掘進(jìn)速度很快時(shí)，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)樣本會(huì)更少，屬于典型的小樣本短時(shí)間序列。

隨著數(shù)據(jù)樣本的增加，盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列在整體上呈現(xiàn)出一種下降趨勢(shì)，從細(xì)節(jié)上看其趨勢(shì)本身也會(huì)發(fā)生變化，是一種典型的非平穩(wěn)時(shí)間序列。盾構(gòu)施工地表變形的時(shí)間序列大致可以劃分為變形初始階段、發(fā)展階段和衰減階段，隨時(shí)間變化的全過(guò)程趨勢(shì)性特征呈“S”型[10]，如圖1所示。

圖1 盾構(gòu)隧道地表變形一般規(guī)律

另外，盾構(gòu)施工過(guò)程中，盾構(gòu)施工參數(shù)的改變與巖土環(huán)境變形并不是同步的，盾構(gòu)施工變形存在滯后效應(yīng)，即盾構(gòu)變形時(shí)間序列中具有一定相關(guān)性，這種自相關(guān)性是盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列的一個(gè)重要的特征，表征了產(chǎn)生該時(shí)間序列的系統(tǒng)底層機(jī)制的動(dòng)態(tài)特征和“記憶”性。

2 盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列分析

從上面的分析可以看出，利用插值方法處理后的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列，是一條典型的非平穩(wěn)等間距時(shí)間序列，并具有趨勢(shì)性和自相關(guān)性特征。根據(jù)Cramer分解定理，可以分別利用確定性時(shí)序分析和隨機(jī)性時(shí)序分析研究建立盾構(gòu)施工地表變形的時(shí)間過(guò)程模型。

2.1 基于Weibull生長(zhǎng)曲線模型的確定性分析

盾構(gòu)施工引起地表的累計(jì)變形量與時(shí)間的關(guān)系在形態(tài)上呈現(xiàn)為大致的“S”型生長(zhǎng)曲線，因此在不考慮隨機(jī)因素影響下，盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列可以利用“S”型生長(zhǎng)曲線進(jìn)行確定性分析。針對(duì)盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列，通過(guò)比較各種“S”型生長(zhǎng)曲線在不同時(shí)間段內(nèi)的特征，本文選取Weibull生長(zhǎng)曲線作為盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列的確定性分析模型，對(duì)于盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列樣本，其Weibull曲線擬合方程為：

f(t)=a-(a-b)exp[-(ct)d]

(1)

其中，a為盾構(gòu)地表變形最終值，b為盾構(gòu)地表變形初始值，c為盾構(gòu)地表變形曲線比例參數(shù)，d為盾構(gòu)地表變形曲線形狀參數(shù)。

Weibull生長(zhǎng)曲線模型作為一種簡(jiǎn)單有效的趨勢(shì)擬合算法，在解決盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列非平穩(wěn)時(shí)序趨勢(shì)項(xiàng)提取問(wèn)題時(shí)具有較強(qiáng)的適應(yīng)和變化能力，參數(shù)所體現(xiàn)的工程物理意義更加明顯。但是Weibull曲線模型的確定性分析只能提取強(qiáng)勁的確定性信息，對(duì)隨機(jī)性信息浪費(fèi)嚴(yán)重，導(dǎo)致模型的擬合、預(yù)測(cè)及控制精度不夠等。

2.2 基于ARIMA模型的隨機(jī)性分析

ARIMA模型的實(shí)質(zhì)就是差分運(yùn)算與ARMA模型的組合，即盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列可利用d階差分提取趨勢(shì)性信息后，再利用ARMA模型進(jìn)行隨機(jī)分析，對(duì)于盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列樣本{xi}，建立具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為求和自回歸移動(dòng)平均(Auto Regressive Integrated Moving Average)模型，簡(jiǎn)記為ARIMA(p,d,q)模型：

(2)

由此可見，ARIMA模型的優(yōu)勢(shì)在于其時(shí)變動(dòng)態(tài)特性，以及對(duì)隨機(jī)因素的綜合考慮，但模型的階數(shù)、參數(shù)容易受到時(shí)序數(shù)據(jù)樣本量及樣本時(shí)距大小的干擾，對(duì)于利用插值方法處理后的不等間距小樣本盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列，容易出現(xiàn)模型降階、升階等失真，甚至無(wú)法建立模型；而且ARIMA模型的階數(shù)、參數(shù)不能直觀刻畫變形曲線的特征，不具備良好的工程解釋的能力。

3 Weibull-ARIMA時(shí)間過(guò)程模型

3.1 Weibull-ARIMA模型總體思路

綜上所述，研究建立盾構(gòu)施工地表變形的時(shí)間過(guò)程模型，確定性時(shí)序分析和隨機(jī)性時(shí)序分析有各自的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也存在一定的缺陷和不足。本文考慮結(jié)合兩種方法的優(yōu)勢(shì)，提出基于Weibull-ARIMA的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間過(guò)程模型，這一耦合模型的總體思路是：先利用Weibull生長(zhǎng)曲線進(jìn)行盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列的非線性擬合，提取盾構(gòu)施工地表變形的趨勢(shì)信息；再運(yùn)用ARIMA模型分析Weibull生長(zhǎng)曲線的擬合殘差，提取盾構(gòu)施工過(guò)程中在隨機(jī)因素作用下的地表變形響應(yīng)細(xì)節(jié)信息。通過(guò)Weibull-ARIMA耦合模型的結(jié)構(gòu)與參數(shù)分析，能夠有效提取變形趨勢(shì)部分和變形細(xì)節(jié)部分，過(guò)濾變形噪聲部分，既有效的防止了僅利用變形趨勢(shì)部分建模造成的欠擬合，也不會(huì)出現(xiàn)局限于變形噪聲部分造成的過(guò)擬合，如圖2所示。

圖2 盾構(gòu)施工地表時(shí)間序列不同模型下的分析結(jié)果

3.2 建模算法步驟與流程

圖3 基于Weibull-ARIMA的盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列分析流程

基于Weibull-ARIMA的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間過(guò)程建模如圖3所示，包括：

(1)利用三次樣條插值函數(shù)對(duì)盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)處理，得到等間距、滿足分析樣本量要求的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列。

(2)對(duì)預(yù)處理后的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列進(jìn)行Weibull生長(zhǎng)曲線建模，運(yùn)用非線性參數(shù)估計(jì)方法確定模型參數(shù)a,b,c,d。

(3)對(duì)Weibull生長(zhǎng)曲線擬合后的殘差序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，滿足平穩(wěn)性檢驗(yàn)的，轉(zhuǎn)向步驟(5)。

(4)對(duì)非平穩(wěn)擬合殘差序列，選擇合適的階數(shù)d進(jìn)行差分運(yùn)算，直至差分后序列滿足平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

(5)對(duì)差分后的擬合殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，滿足白噪聲檢驗(yàn)則轉(zhuǎn)向步驟10。

(6)對(duì)差分后的擬合殘差序列，根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)函數(shù)ACF和樣本偏自相關(guān)系數(shù)函數(shù)PACF的性質(zhì)，確定ARMA模型的自相關(guān)階數(shù)和移動(dòng)平均階數(shù)q。

(7)對(duì)ARMA(p,q)模型中p+q個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

(8)檢驗(yàn)ARMA(p,q)模型的有效性，如果模型不能通過(guò)檢驗(yàn)，轉(zhuǎn)向步驟(6)，重新選擇模型再擬合。

(9)如果模型通過(guò)檢驗(yàn)，轉(zhuǎn)向步驟(6)，充分考慮各種可能，建立多個(gè)擬合模型，從所有通過(guò)檢驗(yàn)的擬合模型中選擇最優(yōu)模型。

(10)利用擬合的Weibull-ARIMA模型，預(yù)測(cè)盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列的未來(lái)走勢(shì)。

4 工程實(shí)例分析

4.1 工程及監(jiān)測(cè)概況

武漢地鐵二號(hào)線一期工程某盾構(gòu)隧道左右雙線各采用一臺(tái)刀盤外徑為Φ6.52 m的德國(guó)海瑞克泥水盾構(gòu)機(jī)掘進(jìn)施工。施工前沿縱向在有條件的位置布設(shè)地表監(jiān)測(cè)橫斷面，每斷面8～15個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，橫向監(jiān)測(cè)范圍為隧道中線H+2D；同時(shí)沿武漢越江地鐵盾構(gòu)隧道左右雙線縱向拱頂位置每5～10 m布設(shè)一個(gè)地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)，并在盾構(gòu)進(jìn)出洞及重要敏感地段適當(dāng)加密布設(shè)，地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)的布設(shè)平面圖、剖面圖如圖4所示。

4.2 地表變形時(shí)間序列樣本及其預(yù)處理

本文系統(tǒng)收集整理了本工程盾構(gòu)隧道右線軸線拱頂43個(gè)地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)全過(guò)程的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，以盾構(gòu)刀盤到達(dá)前50 m至盾尾通過(guò)后150 m范圍作為監(jiān)測(cè)時(shí)間序列研究靶區(qū)，根據(jù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的連續(xù)性、完整性、可靠性程度，選取其中10個(gè)地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三次樣條函數(shù)插值處理后的變形時(shí)間序列樣本作為研究建模對(duì)象，如圖5所示。

圖4 武漢越江地鐵盾構(gòu)隧道左右雙線地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置

圖5 武漢越江地鐵盾構(gòu)隧道地表監(jiān)測(cè)時(shí)間序列樣本

4.3 模型擬合結(jié)果及比較分析

針對(duì)上述武漢地鐵越江盾構(gòu)隧道右線軸線的10個(gè)地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)變形時(shí)間序列，本文運(yùn)用Matlab程序語(yǔ)言，分別利用Levenberg-Marquarat算法和Gauss-Newton迭代算法估計(jì)模型參數(shù)，建立了Weibull-ARIMA耦合模型，計(jì)算出模型中的Weibull生長(zhǎng)曲線參數(shù)a，b，c，d以及ARIMA模型結(jié)構(gòu)(階數(shù))和參數(shù)，具體如表1所示。

表1 武漢地鐵越江盾構(gòu)隧道地表變形時(shí)間序列分析結(jié)果

分析結(jié)果表明，基于Weibull-ARIMA的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間過(guò)程模型的所有參數(shù)和擬合最終殘差，都通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)，驗(yàn)證了該模型的合理性和有效性。為有效比較和評(píng)估同一盾構(gòu)施工地表時(shí)間序列樣本不同時(shí)間模型下的擬合精度和效果，本文選取不同時(shí)間模型的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析。圖6～8分別給出了每個(gè)盾構(gòu)施工地表時(shí)間序列樣本三種時(shí)間模型下的殘差平方和RSS、均方根誤差RMSE、模型效率EF計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?，每個(gè)樣本的殘差平方和RSS、均方根誤差RMSE最小的時(shí)間模型都是Weibull-ARIMA模型，說(shuō)明在不同測(cè)點(diǎn)、不同樣本量的條件下，Weibull-ARIMA模型的擬合精度最好；而模型效率EF越接近1，說(shuō)明模型擬合的效率越高，每個(gè)樣本的模型效率EF最接近于1的時(shí)間模型也是Weibull-ARIMA模型?？傮w而言，Weibull-ARIMA耦合模型表現(xiàn)出優(yōu)良的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間建模性能，特別是在擬合精度和建模效率上，均明顯優(yōu)于單純的Weibull模型或者ARIMA模型。

圖6 三種時(shí)間模型下的殘差平方和RSS

圖7 三種時(shí)間模型下的均方根誤差RMSE

圖8 三種時(shí)間模型下的模型效率EF

4.4 模型參數(shù)特征分析

(1)盾構(gòu)施工地表最終變形參數(shù)a。該參數(shù)決定盾構(gòu)地表穩(wěn)定變形值的大小，既是時(shí)間過(guò)程模型參數(shù)，也反映出地表變形的空間分布。

(2)盾構(gòu)施工地表初始變形參數(shù)b。該參數(shù)與樣本點(diǎn)開始監(jiān)測(cè)的時(shí)間有關(guān)，當(dāng)時(shí)表明該樣本點(diǎn)首次監(jiān)測(cè)的地表變形值為零，否則不然。

(3)盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列的比例參數(shù)。該參數(shù)決定盾構(gòu)地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)從開始變形到穩(wěn)定的時(shí)間長(zhǎng)短。固定參數(shù)，隨著參數(shù)增加倍，盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列始終保持“S”形狀，但盾構(gòu)地表變形速率曲線將沿軸放寬倍，相應(yīng)的盾構(gòu)地表變形速率縮小為原來(lái)的。選取參數(shù)值近似相同的地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)DK14+792和DK14+516，由于c值不同，造成DK14+792比DK14+516的變形速率峰值小很多，如圖9所示。

圖9 參數(shù)c對(duì)耦合模型擬合結(jié)果的影響

(4)盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列的形狀參數(shù)。該參數(shù)決定盾構(gòu)地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)沿時(shí)間軸的變化路徑。固定參數(shù)，當(dāng)時(shí)，曲線呈“凸”型，用于擬合盾構(gòu)工后地表變形時(shí)間序列，當(dāng)時(shí)，盾構(gòu)地表變形曲線為“S”型，隨著參數(shù)的增加，盾構(gòu)地表變形速率峰值對(duì)應(yīng)的時(shí)間收斂于定常值，但變形速率曲線的尖峰越陡峭。表1計(jì)算結(jié)果中所有樣本均滿足，驗(yàn)證了盾構(gòu)施工引起的地表變形為“S”型。選取參數(shù)值近似相同的地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)DK14+787和DK14+552，由于d值不同，DK14+787比DK14+552的變形速率峰值大，但變形速率峰值出現(xiàn)的時(shí)間非常接近，如圖10所示。

圖10 參數(shù)d對(duì)耦合模型擬合結(jié)果的影響

(5)隨機(jī)ARMA模型參數(shù)。該參數(shù)決定盾構(gòu)地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)變形隨機(jī)響應(yīng)細(xì)節(jié)信息的比重。在不考慮隨機(jī)ARMA模型的擬合誤差情況下，盾構(gòu)地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)變形隨機(jī)響應(yīng)細(xì)節(jié)信息可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)等比數(shù)列，公比就是ARMA模型參數(shù)。因此ARMA模型越大，說(shuō)明變形隨機(jī)響應(yīng)細(xì)節(jié)信息所占原始時(shí)間序列的比重越大，隨機(jī)因素表現(xiàn)強(qiáng)烈，而且衰減速度慢，反之則否。選取地表監(jiān)測(cè)點(diǎn)DK14+762和DK14+552，如圖11所示， DK14+762比DK14+552的隨機(jī)AR(1)模型序列振幅大，且衰減較小。

圖11 ARIMA模型參數(shù)對(duì)耦合模型擬合結(jié)果的影響

5 結(jié) 語(yǔ)

盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間序列具有非等間距、小樣本、趨勢(shì)性和自相關(guān)性等關(guān)鍵特征，在綜合比較盾構(gòu)地表變形時(shí)間序列的確定性分析和隨機(jī)分析方法優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，本文提出了基于Weibull-ARIMA的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間過(guò)程模型，系統(tǒng)給出了基于Weibull-ARIMA的盾構(gòu)施工地表變形時(shí)間過(guò)程模型的建模流程和算法。

武漢地鐵二號(hào)線一期越江盾構(gòu)隧道地表變形實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明：利用Weibull-ARIMA時(shí)間過(guò)程模型可以有效的提取盾構(gòu)施工引起的地表變形的時(shí)間分布規(guī)律，具有比Weibull生長(zhǎng)曲線模型和ARIMA模型更強(qiáng)的擬合能力和精度，方法簡(jiǎn)單易操作，具有較強(qiáng)的工程實(shí)用性，并結(jié)合工程實(shí)際分析了Weibull-ARIMA時(shí)間過(guò)程模型參數(shù)的合理性、工程意義和變化規(guī)律。

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