基于分數(shù)階微積分的自抗擾控制

關(guān)學忠，白云龍，2，孫立剛，佟 宇

（1.東北石油大學 黑龍江 大慶　163319；2.中環(huán)天儀股份有限公司 天津　300111）

基于分數(shù)階微積分的自抗擾控制

關(guān)學忠1，白云龍1，2，孫立剛1，佟 宇1

（1.東北石油大學 黑龍江 大慶163319；2.中環(huán)天儀股份有限公司 天津300111）

隨著分數(shù)階理論研究的不斷發(fā)展，分數(shù)階 控制器方法不僅可以改善系統(tǒng)動態(tài)響應特性，而且可以獲得優(yōu)越于傳統(tǒng)PID控制器方法。分數(shù)階微積分控制器增加了積分階次 和微分階次 ，提高了設(shè)計控制器的靈活度。本文在分數(shù)階理論基礎(chǔ)上引入了自抗擾控制器，設(shè)計出新型的分數(shù)階自抗擾控制器，充分結(jié)合分數(shù)階控制器高精度控制和自抗擾控制器抗干擾能力強等優(yōu)勢。通過仿真分析的得出分數(shù)階自抗擾控制器的控制效果優(yōu)越于其單獨的控制效果。

分數(shù)階；自抗擾控制器；參數(shù)整定；魯棒性

“分數(shù)階”的概念早在三百多年前就被提出來了，它是伴隨著經(jīng)典整數(shù)階理論應用共同發(fā)展而產(chǎn)的，分數(shù)階微積分與的理論研究有著同樣的悠久歷史。德國數(shù)學家與在研究討論1/2階的導數(shù)時，最早提出了分數(shù)階的概念。I.Podlubny教授于1999年提出了分數(shù)階 PID控制器 （Fractional order PID controller），其一般格式簡記為 PIλDμ，增加了積分階次 λ，微分階次μ，比整數(shù)階 PID控制器多了兩個可調(diào)參數(shù)，增加了設(shè)計控制器的靈活度［1］。通過增加積分階次和微分階次來增加分數(shù)階PIλDμ控制器設(shè)計的多樣性，繼承傳統(tǒng)PID控制的優(yōu)點并具有更靈活的結(jié)構(gòu)和更強的魯棒性［2］。

自抗擾控制技術(shù)由韓京清教授在近幾十年提出，以改善經(jīng)典PID控制為開端，分析研究大量數(shù)據(jù)運用計算機技術(shù)進行仿真，在控制中引入非線性結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)對動態(tài)系統(tǒng)實時估計反饋補償，擁有較強的抗干擾性和穩(wěn)定性［3］。自抗擾控制器（Active disturbance rejection controler，簡稱ADRC）主要由：過渡安排過程（TD）、擴張狀態(tài)觀測器（ESO）、非線性狀態(tài)誤差反饋控制律（NLSEF）、擾動估計補償部分組成。它不依賴于被控對象準確固定的數(shù)學模型，可以對未知的被控對象模型進行控制，擺脫了對象模型的依賴，有較好的適應能力和自動估計補償未知外部干擾的能力，依靠過程誤差來消除誤差。它的控制理念是把復雜的控制問題變得簡單化，不再以時變或時不變來劃分被控制對象，改變原有嚴格意義上的非線性控制和線性控制等區(qū)別，主要采用非線性反饋抑制補償方法，直接檢測系統(tǒng)內(nèi)外的總擾動，對控制系統(tǒng)被控變量進行實時反饋補償［4］，處理內(nèi)外總干擾，抑制干擾對系統(tǒng)產(chǎn)生的不良影響，增強系統(tǒng)穩(wěn)定性，與其它方法相比，能夠有效的抑制系統(tǒng)內(nèi)外干擾產(chǎn)生的誤差。

1　分數(shù)階系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論

1.1分數(shù)階控制器分類

目前，在分數(shù)階基礎(chǔ)理論上發(fā)展總結(jié)出的控制器主要有4種類型，他們分別是：1）TID控制器；2）非整數(shù)階魯棒控制器（CRONE）；3）分數(shù)階PIλDμ控制器；4）分數(shù)階超前滯后補償器［5］。

1）TID控制器

TID（tilt-integral-deriva）控制器由B.J.Lurie在1994年提出，TID控制器在傳統(tǒng)的PID控制器結(jié)構(gòu)上做了調(diào)整，把傳統(tǒng)PID控制器結(jié)構(gòu)中比例kp用S-γn進行替換，改善控制器性能和控制效果，使系統(tǒng)控制效果更趨近于理論期望值。在常規(guī)PID控制基礎(chǔ)上進行改善，進而減小實際誤差，TID為了更好的輸出系統(tǒng)動態(tài)響應，展現(xiàn)出控制器更強的抗干擾性能，讓實際的閉環(huán)控制響應輸出與期望的閉環(huán)控制響應輸出的偏差更小，盡可能的趨近于零，使系統(tǒng)輸出量達到理論最優(yōu)。

2）CRONE控制器

在上個世紀末，Oustaloup提出CRONE控制器的概念，在法語中CRONE是“分數(shù)階魯棒控制器”的意思。在工業(yè)控制發(fā)展中，它的使用已經(jīng)較為成熟，使用方便具有明確的物理意義。CRONE系統(tǒng)特征方程為：1+（τs）α=0，在系統(tǒng)中可使用Matlab中toolbox工具進行仿真。

3）分數(shù)階PIλDμ控制器

教授最早提出了分數(shù)階PID控制，簡記為PIλDμ。

一般形式為：

其中，Kp，Ki，Kd為比例、積分、微分增益。

當λ=1，μ=1時，就是整數(shù)階PID控制器；當Kd=0，λ=1時，即為傳統(tǒng)PI控制器；當 Ki=0，μ=1時，即為傳統(tǒng)PD控制器；當λ=0時，即為PDμ；當μ=0時，即為PIλ控制器。

4）分數(shù)階超前滯后補償器

分數(shù)階PIλDμ超前滯后補償器屬于經(jīng)典控制理論超前滯后校正的范疇思路，經(jīng)典分數(shù)階超前滯后校正器可以表示為：

1.2分數(shù)階PIλDμ控制器

分數(shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖結(jié)構(gòu)為：

圖1　分數(shù)階PIλDλ控制器結(jié)構(gòu)圖

分數(shù)階控制單位負反饋結(jié)構(gòu)，G（s）為分數(shù)階被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，C（s）為分數(shù)階 PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)，E（s）=R （s）-Y（s）是分數(shù)階控制器的輸入。R（s）為系統(tǒng)輸入，E（s）為系統(tǒng)誤差輸入，U（s）為控制器輸出，Y（s）是系統(tǒng)輸出。

圖2　分數(shù)階控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

控制器G（s）傳遞函數(shù)為：

對公式（3）進行變換后可得到其他表達式為：

其中，λ＞0，μ＞0。

在時域時控制系統(tǒng)輸出：

離散傳遞函數(shù)可表示為：

分數(shù)階控制器的G（s）傳遞函數(shù)為：

分數(shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)閉環(huán)的特征多項式為：

圖3　控制系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域示意圖

2　分數(shù)階自抗擾控制器

分數(shù)階自抗擾控制器的設(shè)計是對自抗擾控制器魯棒性能的提升，同時改進自抗擾技術(shù)的非線性誤差反饋環(huán)節(jié)，引入分數(shù)階積分環(huán)節(jié)的作用，分數(shù)階積分sλ使系統(tǒng)的幅頻響應曲線的斜率不再是-20 dB/dec，而是變?yōu)?20 dB/dec，改善整數(shù)積分環(huán)節(jié)導致閉環(huán)響應速度緩慢，調(diào)節(jié)時間長，容易產(chǎn)生振蕩，積分飽和引起的控制量飽和等負面影響，同時也消除擴張狀態(tài)觀測器“總和干擾”估計誤差，使得穩(wěn)態(tài)誤差盡可能的降低，減小系統(tǒng)內(nèi)因為積分飽和導致的控制量的不良影響，增強了控制器的響應特性，改善后的控制器能夠得到更好的控制效果［7］，擴張狀態(tài)觀測器實現(xiàn)了對被控對象擾動誤差的估計補償，同時增強了分數(shù)階微積分控制器的抗干擾能力。所設(shè)計的分數(shù)階自抗擾控制器結(jié)構(gòu)如圖4所示。

ESO的基本結(jié)構(gòu)在任意擾動空間狀態(tài)為：

可以根據(jù)其線性化結(jié)構(gòu)設(shè)計成為非線性結(jié)構(gòu)：

圖4　分數(shù)階自抗擾控制結(jié)構(gòu)圖

其中，z1，z2，z3為觀測器的狀態(tài) β01，β02，β03是大于零的待設(shè)計觀測器增益系數(shù)，bo則是對象控制量增益b的估計。

ESO使用在fal非線函段（c，1）和（-1，-c）范圍內(nèi)，依據(jù)所具有的反饋的作用，反饋形式可寫成：

觀測器誤差狀態(tài)可表達為：

對各個誤差求其比較的基準點，系統(tǒng)各個穩(wěn)態(tài)誤差可以表示為：

對分數(shù)階微積分采用Oustaloup數(shù)字計算實現(xiàn)方法，利用尋優(yōu)確定濾波器參數(shù)，實現(xiàn)一段頻率段內(nèi)微分算子的sa近似，應用改善后的最優(yōu)Oustaloup最優(yōu)算法尋優(yōu)確定濾波器參數(shù)來提高近似精度。

在頻率段內(nèi)ωb＜ω＜ωh用泰勒展開，并提取一階推導可得：

3　仿真研究

對分數(shù)階自抗擾控制器的性能分析，以伺服電動機控制為研究對象，分析比較相同環(huán)境下，被控對象在不同控制器單獨作用和組合應用的控制效果，分析他們的基本性能值并與期望設(shè)定值作比較分析［8］。

發(fā)動機被控制對象函數(shù)為：

為了應用在新建立的控制器上做出對比，進行簡化參數(shù)的運算，設(shè)定發(fā)動機控制運行慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)為0.1 s。

對FOPID參數(shù)使用同樣方式進行優(yōu)化得到：

為了公平比較，分析這幾類控制器的動態(tài)響應，對部分基本參數(shù)進行同一設(shè)定，設(shè)定FOPIDADRC中的ESO與單獨作用時基本參數(shù)相同。

ADRC中非線性誤差反饋器：b01=35，b02=175

分數(shù)階自抗擾控制器參數(shù)：

Kp=9.845，Ki=-7.175，Kd=5.846，λ=0.796，μ=0.473。分別比對PID，F(xiàn)OPID，F(xiàn)OPIDADRC，ADRC這幾種控制器分析比較。

表1　時域響應性能指標對比

分析表1，F(xiàn)OPID控制器的超調(diào)量最大，但其峰值時間最短，上升時間也最短；FOPIDADRC與ADRC和PID控制器相比超調(diào)量稍大，但上升時間和調(diào)節(jié)時間明顯縮短；FOPIDADRC與FOPID控制器相比，增加了自抗擾擾控制器的過渡過程，因此其超調(diào)量明顯的降低，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，F(xiàn)OPIDADRC的各項指標綜合比較性能較好。

穩(wěn)定性是控制器控制的基本要素，在輸入信號為階躍信號的條件下，對這幾類控制器的抑制外部干擾以及穩(wěn)定性進行分析。在不同控制器輸出均達到穩(wěn)定后，在0.6 s加入持續(xù)時間為0.2 s，幅值為-2的矩形外部干擾信號。從圖5中可觀測控制器的動態(tài)響應，分數(shù)階的抗干擾抑制外部擾動的效果不如分數(shù)階自抗擾控制器，在分數(shù)階自抗擾控制器中中由于分數(shù)階系統(tǒng)引入了擴張狀態(tài)觀測器，能夠?qū)ο到y(tǒng)進行實時估計誤差補償，抑制干擾性能得到了充分體體現(xiàn)。這種新型的結(jié)合控制器，吸取了自身優(yōu)點的長處，彌補了其自身的不足，二者共同作用提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增強了抗干擾性，減少了響應時間。

圖5　分數(shù)階自抗擾控仿真分析

4　結(jié)　論

本文主要在分數(shù)階微積分理論基礎(chǔ)上引入了自抗擾控制技術(shù)，將分數(shù)階微積分控制器微積分階次調(diào)節(jié)參數(shù)范圍廣控制器設(shè)計靈活度高，以及自抗擾控制器抗干擾能力強等優(yōu)點結(jié)合在一起，設(shè)計出新型分數(shù)階自抗擾控制器，在分數(shù)階控制器中嵌入自抗擾的擴張狀態(tài)觀測器。通過仿真比較在同一被控對象下，分數(shù)階自抗擾控制器具有比傳統(tǒng)PID控制、分數(shù)階控制和自抗擾控制單一控制器作用下更好的控制效果，表現(xiàn)出響應速度快，穩(wěn)定性好，抗干擾能力強。仿真結(jié)果分析可總結(jié)出，分數(shù)階自抗擾控制器達到了所設(shè)計結(jié)合的目的。

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Active disturbance rejection control based on fractional order calculus

GUAN Xue-zhong1，BAI Yun-long1，2，SUN Li-gang1，TONG Yu1
（1.Northeast Petroleum University，Daqing 163319，China；2.Zhonghuan TIG Co.，LTD，Tianjin 300111，China）

With the continuous development of the fractional-order theory，fractional-order controller method can not only improve the dynamic response characteristics，but also can obtained superior to the conventional PID controller method. Fractional calculus controller increases the integral and differential，improve the the flexibility of the controller.In this paper，based on the fractional-order theory added ADRC，design fractional-order active disturbance rejection controller，combine fractional order controllers precision control with ADRC disturbance rejection ability.Through simulation analysis fractionalorder active disturbance rejection controller results superior to their individual control.

fractional-order；active disturbance rejection；parameter tuning；robust ability

TN0

A

1674－6236（2016）06-0111-04

2015-05-14稿件編號：201505126

關(guān)學忠（1962—），男，吉林蛟河人，博士，教授。研究方向：智能控制，模糊控制，嵌入式系統(tǒng)。