帶有非線性擾動(dòng)的不確定時(shí)滯系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制

俞華軍

（中海油氣（泰州）石化有限公司 江蘇 泰州 225321）

帶有非線性擾動(dòng)的不確定時(shí)滯系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制

俞華軍

（中海油氣（泰州）石化有限公司 江蘇 泰州 225321）

針對(duì)一類具有非線性擾動(dòng)不確定時(shí)滯系統(tǒng)，研究了使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滾動(dòng)時(shí)域性能指標(biāo)在線最小化的魯棒預(yù)測控制器設(shè)計(jì)問題?；陬A(yù)測控制滾動(dòng)優(yōu)化原理，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性不等式方法，將無窮時(shí)域“min-max”優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。優(yōu)化問題的可行性保證了算法的魯棒穩(wěn)定性。最后通過仿真驗(yàn)證所提方法的有效性。

魯棒預(yù)測控制；非線性；不確定性；線性矩陣不等式（LMIs）；時(shí)滯

為了控制系統(tǒng)達(dá)到良好的跟蹤性能，在每一采樣時(shí)刻，通過滾動(dòng)優(yōu)化的方式實(shí)時(shí)處理控制量和狀態(tài)量的約束問題，這就是預(yù)測控制的原理。工業(yè)過程控制中的模型、內(nèi)部和外部擾動(dòng)且不可避免。然而，MPC是一種基于對(duì)目標(biāo)函數(shù)在有限時(shí)域內(nèi)進(jìn)行在線優(yōu)化的算法，因此當(dāng)控制系統(tǒng)存在模型不確定性，出現(xiàn)內(nèi)部和外部擾動(dòng)時(shí)，MPC的控制系統(tǒng)的溫度性難得到保證［1］。

魯棒預(yù)測控制是采用預(yù)測控制滾動(dòng)優(yōu)化思想處理模型的，使受控系統(tǒng)在滿足可行性條件下達(dá)到漸近穩(wěn)定的方法［2］。它能夠有效處理模型不確定和擾動(dòng)問題，彌補(bǔ)了經(jīng)典預(yù)測控制設(shè)計(jì)沒有考慮模型不確定性和擾動(dòng)的不足［3］。目前，關(guān)于不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制進(jìn)行了大量的研究工作并取得了許多研究成果。文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制進(jìn)一步研究，該文獻(xiàn)具有一定的保守性，主要由于是魯棒預(yù)測控制在整個(gè)預(yù)測時(shí)域采用相同的狀態(tài)反饋律，在考慮問題是不夠全面，有一定局限性。在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［6］是在狀態(tài)和輸入不確定時(shí)滯系統(tǒng)中用魯棒預(yù)測控制滾動(dòng)優(yōu)化思想，將無窮時(shí)域優(yōu)化問題通過近似求解，從而得到一種設(shè)計(jì)魯棒預(yù)測控制器的可行方法。在實(shí)際工業(yè)過程控制中，各種時(shí)滯和擾動(dòng)問題是普遍存在的，它們往往是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。在上述文獻(xiàn)中，都沒有考慮非線性干擾對(duì)系統(tǒng)的影響。為此，本文在前人研究工作基礎(chǔ)上，提出了一種適合于帶有非線性擾動(dòng)的不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制方法，通過在每個(gè)采樣周期在線求解無窮時(shí)域 “min-max”優(yōu)化問題，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性不等式方法，給出了狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件。在此基礎(chǔ)上，分析閉環(huán)時(shí)滯系統(tǒng)的 漸近穩(wěn)定性。最后通過仿真驗(yàn)證了所提出方法的可行性。

1　問題描述

考慮以下一類具有狀態(tài)時(shí)滯及非線性干擾的不確定時(shí)滯系統(tǒng)

其中x（t）∈Rn，u（t）∈Rm分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸入向量，τ∈R+為未知有界時(shí)滯，滿足 τ≤τ*，τ*為已知常數(shù)，φ（t）為可微的初值函數(shù)向量，A，Ad，B是適當(dāng)維度的常矩陣，Δ（A），ΔAd（t）表示參數(shù)不確定性矩陣，并具有以下形式：

其中M，Ea，Ed為適當(dāng)維度的常矩陣，F(xiàn)（t）∈Ri×j為未知的實(shí)值有界函數(shù)，且滿足F（t）TF（t）≤I，f（x，x（t），x（t-τ））為有界非線性擾動(dòng)，且滿足有界條件：

其中β0≥0，β1≥0為常數(shù)。對(duì)任意常數(shù)，。

對(duì)于系統(tǒng)（1），采用與文獻(xiàn)［7］相類似的指標(biāo)：

魯棒預(yù)測控制融合對(duì)不確定性的處理方法和魯棒控制滾動(dòng)優(yōu)化思想，在每一采樣時(shí)刻實(shí)施控制作用。采用狀態(tài)反饋控制結(jié)構(gòu)如下：

在t∈［kT，（k+1）T］周期內(nèi)實(shí)施狀態(tài)反饋控制，通過以下閉環(huán)系統(tǒng)得到（k+1）T時(shí)刻的可測狀態(tài)：

文中的主要是針對(duì)帶有擾動(dòng)不確定時(shí)滯系統(tǒng)（1），設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋魯棒預(yù)測控制器，通過在每一采樣時(shí)刻，求解優(yōu)化問題（4），確定出一個(gè)狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)在滿足可行性條件下達(dá)到漸近穩(wěn)定。

引理1設(shè)D、F、E為具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，且有F（x）F（t）T≤I，則對(duì)任意標(biāo)量ε＞0，以下不等式成立：DFE+ETFTDT≤εDDT+ε-1EET。

引理2假設(shè)矩陣Y，D，E具有適當(dāng)?shù)木S數(shù)，且Y是對(duì)稱矩陣，則Y+DFE+ETFTDT＜0，對(duì)所有滿足F（t）F（t）T≤I的矩陣F（t），當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε＞0，使得Y+εDDT+ε-1EET＜0。

2　魯棒預(yù)測控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)一個(gè)帶有擾動(dòng)不確定時(shí)滯系統(tǒng)（1），為了求解優(yōu)化問題（4），選取以下Lyapunov函數(shù)：

其中P1＞0，P2＞0，R1＞0，Z＞0在每一采樣時(shí)刻kT，假設(shè)V（x （t））滿足以下條件：

為保證性能指標(biāo)（4）為有限值，假設(shè) x（∞，kT）=0，那么V（x（∞，kT））=0。將式（8）從0到T積分，得：

并當(dāng)T→∞時(shí)，由假設(shè)條件知xT（kT+T，kT）P1x（kT+T，kT）→0

由此可得：

顯然，V（x（kT））就是Jk的上確界。

定理 1對(duì)于具有擾動(dòng)的不確定時(shí)滯系統(tǒng)（1）和性能指標(biāo)（4），采用狀態(tài)反饋控制律K=YX-1，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件是存在變量W0＞0，ε1、ε2＞0，及γ，X，X1，W0，W1，W2，W3，M1，M2，M3，Y滿足以下形式的LMI優(yōu)化問題：

*代表相應(yīng)的對(duì)稱塊矩陣

證明為了簡化作如下定義：

而二次型函數(shù)積分項(xiàng)式（9）的第一部分可轉(zhuǎn)化為：

假設(shè)存在矩陣變量M1，滿足tr（VT1W1-1V1）＜tr（M1），則根據(jù)Schur補(bǔ)定理得式（12）成立，其中P2=W1-1。同理可得二次型函數(shù)積分項(xiàng)式（9）的第二部分可轉(zhuǎn)化為

假設(shè)存在矩陣變量M2，滿足tr（VT2W2-1V2）＜tr（M2）由Schu補(bǔ)定理得式（13）成立，其中R1=W2-1。同理假設(shè)存在M3，滿足t （VT3W3-1V3）＜tr（M3）由Schur補(bǔ)定理得式（14）成立，其中z=W-13。從而可通過最小化γ+tr（M1）+tr（M2）+tr（M3）來保證式（9）給出的性能指標(biāo)上界最小化。對(duì)式（7）求導(dǎo)并代入式（4），

并由式（3）和引理1，可將性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)時(shí)Π＜0，保證了V（x（kT））的單調(diào)遞減性。由引理2知上式成立等價(jià)于存在一個(gè)常數(shù)ε2＞0，使得

根據(jù)補(bǔ)定理，式 （17）可等價(jià)于線性矩陣不等式（18）：

3　仿真實(shí)例

考慮不確定時(shí)滯系統(tǒng)（1），采用如下參數(shù)形式：

圖1和圖2分別為時(shí)滯無關(guān)魯棒控制算法的狀態(tài)響應(yīng)曲線和控制作用曲線，圖3和圖4分別為基于狀態(tài)反饋算法的狀態(tài)響應(yīng)曲線和控制作用曲線。從仿真結(jié)果可以看到，魯棒控制算法處理非線性擾動(dòng)時(shí)狀態(tài)和控制作用都具有震蕩和超調(diào)，而算法對(duì)非線性干擾有較好的抑制作用，明顯優(yōu)越于魯棒控制算法，由圖3和圖4知，當(dāng)時(shí)滯參數(shù)變化時(shí)，仍然具有較快的收斂速度。

圖1　系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線圖

4　結(jié)　論

文中采用線性矩陣不等式方法，提出了具有非線性擾動(dòng)不確定時(shí)滯系統(tǒng)算法。基于預(yù)測控制的滾動(dòng)優(yōu)化原理，通過在每個(gè)采樣時(shí)刻在線求解相應(yīng)的具有線性矩陣不等式約束的非線性規(guī)劃問題，保證性能指標(biāo)在線最小化。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。仿真實(shí)例驗(yàn)證了此方法的有效性。

圖2　控制輸入曲線圖

圖3　系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖4　控制輸入曲線

［1］Chisci L，Rossiter J A，Zappa G.Systems with persistent disturbances：predictive control with restricted constraints［J］. Automatica，2001，37（7）：1019-1028.

［2］Ding B C，Xi Y G，Li S Y.A synthesis approach of on-line constrained robust model predictive control［J］.Automatica，2004，40（1）：163-167.

［3］Ding B，Huang B.Constrained robust model predictive control for time-delay systems with poly topic description［J］. International Journal of Control，2007，80（4）：509-22.

［4］陳秋霞，俞立.不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)的輸出反饋魯棒預(yù)測控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，3（24）：401-406.

［5］Han C Y，Liu X H，Zang H S.Robust model predictive control for continuous uncertain systems with state delays［J］. Control Theory&Applications，2008，6（2）：189-194.

［6］劉曉華，王利杰.帶有狀態(tài)和輸入時(shí)滯的不確定廣義系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2010，4（27）：527-532.

［7］Wang Z D，Huang B，Unbehauen H.Robust reliable control for a class of uncertain nonlinear state-delayed systems［J］. Automatica，1999，35（12）：955-963.

Robust predictive control of uncertain time-delay systems with nonlinear disturbance

YU Hua-jun
（CNOOC（Taizhou）Petrochemical Co.，LTD，Taizhou 225321，China）

The design problem of robust state feedback model predictive controllers is considered which guarantees that the closed-loop system is asymptotically stable and an on-line receding horizon guaranteed cost is minimized for a class of uncertain time-delay systems with nonlinear disturbance.Based on predictive control principle of receding optimization，the infinite time domain"min-max"optimization problems are converted into convex programming problems by means of Lyapunov stable theory and linear matrix inequalities（LMIs）technique；and the sufficient conditions for the robust stability of the system are given.The feasibility of the above optimization problem guarantees the robust stability of the system.Finally，the simulation results illustrate the effectiveness of the proposed methods.

robust predictive control；nonlinear；uncertainty；Linear matrix inequalities（LMIs）；time-delay

TN495

A

1674－6236（2016）06-0190-04

2015-03-30稿件編號(hào)：201503447

俞華軍（1983—），男，浙江紹興人，碩士，助理工程師。研究方向：預(yù)測控制、非線性控制、汽輪機(jī)控制。