懸鏈線形斷面渠道正常水深的簡(jiǎn)化算法

滕 凱

（齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾161006）

TENG Kai

（Qiqihar City Water Authority，Qiqihar 161006，China）

隨著現(xiàn)代化施工機(jī)械連續(xù)施工作業(yè)技術(shù)的發(fā)展，具有受力條件好、水流條件優(yōu)越的懸鏈線形斷面渠道將越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于水利水電供排水工程。由于懸鏈線形斷面渠道正常水深計(jì)算涉及高次方程求解問(wèn)題，常規(guī)的試算法、圖表解法［1-3］、迭代法［4-5］或是計(jì)算過(guò)程繁復(fù)、依賴(lài)圖表，或是求解成果精度不高，不便應(yīng)用；而由計(jì)算機(jī)編程求解又不便實(shí)際工作，因此，尋求一種更加簡(jiǎn)單實(shí)用的簡(jiǎn)化計(jì)算方法具有一定的實(shí)際意義，但到目前為止，尚沒(méi)有比較理想的有關(guān)懸鏈線形斷面渠道正常水深計(jì)算方法的研究成果。為有效簡(jiǎn)化該種斷面正常水深的求解計(jì)算方法，本文在對(duì)該斷面正常水深計(jì)算公式變形整理的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入無(wú)量綱水深參數(shù)，采用優(yōu)化擬合的方法，經(jīng)逐次擬合逼近，獲得了計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷、求解精度高、使用范圍廣的簡(jiǎn)化近似計(jì)算式，可在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。

1 正常水深的基本計(jì)算方程

根據(jù)水力學(xué)原理［6］，正常水深的基本計(jì)算方程為：

式中 Q為渠道通過(guò)流量（m3/s）；X為濕周（m）；A為過(guò)水?dāng)嗝婷娣e（m2）；n為渠道糙率系數(shù)；i為渠道設(shè)計(jì)坡降。

懸鏈線形斷面渠道如圖1所示。

圖1 懸鏈線形渠道過(guò)水?dāng)嗝?/p>

斷面的曲線方程為：

設(shè)水面寬度為B，則其過(guò)水?dāng)嗝嫠σ貫椋?/p>

式中 a為懸鏈線形斷面形狀參數(shù)。

由式（3）可得：

將式（4）～（7）分別代入式（1），并設(shè)

式中 x為無(wú)量綱收縮水深；h0為渠道正常水深（m）；β 為渠道寬深比系數(shù)；k為無(wú)量綱中間變量參數(shù)。

經(jīng)對(duì)式（1）方程組變形整理，即可獲得計(jì)算懸鏈線形斷面渠道正常水深的基本公式：

由式（9）可見(jiàn)，在理論上x(chóng) 的值域范圍為（0，∞）。而在實(shí)際工程中，根據(jù)文獻(xiàn)［7］的研究結(jié)果，懸鏈線形斷面的最優(yōu)斷面形式為B/a=3.21223，將其代入式（6），可求得x=1.5921，因此，在實(shí)際工程中，x的值域范圍不會(huì)超出［0.06，29.0］，相應(yīng)的寬深比系數(shù)β 的值域范圍為［0.282，11.49］，相應(yīng)k的值域范圍為［0.0209，23.8211］。

2 正常水深簡(jiǎn)化公式及精度分析

2.1 簡(jiǎn)化公式的建立

式（9）為超越方程求解問(wèn)題，無(wú)法通過(guò)解析法獲解。據(jù)此，本文采用擬合替代形式提出簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

依據(jù)上述值域范圍，利用式（9）完成k～x關(guān)系曲線繪制（曲線圖略），并假定函數(shù)x=f（k）可以擬合k～x關(guān)系曲線并替代式（9），經(jīng)數(shù)值替代分析及優(yōu)化擬合計(jì)算，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)［8］，即

式中 x′為第i（i=1，2，3，…，n）擬合替代值；n為擬合計(jì)算的數(shù)組數(shù)。

經(jīng)逐次逼近擬合［9］，即可獲得式（9）的最優(yōu)擬合替代函數(shù)式：

由式（10）求出x后，即可用式（11）求得正常水深h0為:

2.2 簡(jiǎn)化公式的精度分析

為比較式（10）與式（9）的擬合精度，在給定的工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)（即0.06≤x≤29.0），選取不同的xi代入式（9）即可計(jì)算出與之相對(duì)應(yīng)的ki，再將ki代入式（10），求得與之相對(duì)應(yīng)的xi′（xi′為近似計(jì)算值），并由式（12）進(jìn)行擬合相對(duì)誤差計(jì)算。

式中 zi為擬合相對(duì)誤差（%）；i為擬合計(jì)算的第i個(gè)數(shù)據(jù)比較（i=1，2，3，…，n）。

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

由表1精度比較可見(jiàn)，在工程實(shí)用范圍內(nèi)，即0.06≤x≤29.0，0.0209≤k≤23.8211情況下，式（10）的最大擬合替代相對(duì)誤差僅為0.257%，且有79%的擬合點(diǎn)的相對(duì)誤差小于0.2%，可見(jiàn)，式（10）具有較好的擬合替代精度，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求，且該公式在表達(dá)形式上較文獻(xiàn)［5］更直觀，具體比較見(jiàn)表2。

3 應(yīng)用舉例

選文獻(xiàn)［4］算例：已知某輸水渠道的橫斷面形狀為懸鏈線形，設(shè)計(jì)過(guò)流量3.0m3/s，渠底設(shè)計(jì)縱坡降i=1/1500，渠床糙率系數(shù)n=0.04，曲線方程的特征值a=0.76256m，試計(jì)算該渠道的正常水深h值。

表1 式（10）與式（9）擬合精度比較

表2 懸鏈線形斷面渠道正常水深計(jì)算公式形式比較

根據(jù)已知參數(shù)可求得：

將k=1.3631，a=0.76256m代入式（10）～（11）即可求得正常水深h0=1.3089m。

通過(guò)微機(jī)編程可得，該渠道正常水深的精確解為h0=1.3089m，本文公式計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差為0。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)目前尚沒(méi)有懸鏈線形斷面渠道正常水深簡(jiǎn)化計(jì)算方法的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基本方程超越函數(shù)的優(yōu)化擬合替代，獲得了可直接完成正常水深計(jì)算的近似公式，與傳統(tǒng)計(jì)算方法比較，具有以下特點(diǎn)：

（1）公式的表達(dá)形式簡(jiǎn)單直觀，便于記憶，計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)捷，避免了傳統(tǒng)方法繁復(fù)的試算及迭代計(jì)算，擺脫了有關(guān)計(jì)算圖表的束縛，實(shí)際工作僅借助計(jì)算器即可方便快捷地完成解算，適于廣大基層工程技術(shù)人員實(shí)際推廣應(yīng)用。

（2）通過(guò)精度比較及算例計(jì)算分析表明，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，本文公式具有較好的計(jì)算精度，最大擬合相對(duì)誤差僅為0.257%，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求。

［1］華東水利學(xué)院.水工設(shè)計(jì)手冊(cè)［K］.北京：水利電力出版社，1986.

［2］武漢水利電力學(xué)院水力學(xué)教研室.水力計(jì)算手冊(cè)［K］.北京：水利電力出版社，1983.

［3］成都科學(xué)技術(shù)大學(xué)水力學(xué)教研室.水力學(xué)（第二版）［M］.北京：人民教育出版社，1983.

［4］季國(guó)文.拋物線及懸鏈線形斷面明渠的水力設(shè)計(jì)［J］.水利水電科技進(jìn)展，1997，17（2）：43-45.

［5］黃開(kāi)路，張曉蓮，柳鳳明.懸鏈線形斷面明渠的水力計(jì)算探討［J］.黑龍江水專(zhuān)學(xué)報(bào)，2006，33（3）：41-42.

［6］成都科學(xué)技術(shù)大學(xué)水力學(xué)教研室.水力學(xué)［M］.北京：人民教育出版社，1980.

［7］呂宏興，馮家濤.明渠水力最佳斷面比較［J］.人民長(zhǎng)江，1994（11）：42-45.

［8］王慧文.偏最小二乘回歸法及其應(yīng)用［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1999.

［9］閻鳳文.測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法［M］.北京：原子能出版社，1988.