二維彈性撲翼沉浮運(yùn)動(dòng)流動(dòng)特性的數(shù)值研究

錢(qián) 靖，張正科，羅時(shí)鈞，劉 鋒

（1.翼型葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西北工業(yè)大學(xué)，陜西 西安710072；2.加利福尼亞大學(xué)爾文分校機(jī)械與航空航天工程系，爾文，加利福尼亞，CA 92697－3975，美國(guó)）

0 引 言

由于微型飛行器（指尺寸小于20cm，巡航范圍大于10km，巡航時(shí)間大于20min的飛行器）有尺寸小等優(yōu)點(diǎn)，因而在諸如低空軍事偵察、戰(zhàn)場(chǎng)損傷評(píng)估、目標(biāo)搜索、通訊中繼、生化探測(cè)等軍事領(lǐng)域和諸如交通監(jiān)控、邊境巡邏、野生勘察、森林防火等民用領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景，在上世紀(jì)末在國(guó)際上形成研究熱潮。同時(shí)近些年微電子技術(shù)和微型電腦技術(shù)的發(fā)展也使微型飛行器的研制和投入實(shí)際應(yīng)用成為了可能。

鳥(niǎo)類(lèi)、昆蟲(chóng)和魚(yú)類(lèi)的撲翼推進(jìn)方式激發(fā)了人們極大的興趣［1］。模擬鳥(niǎo)類(lèi)、昆蟲(chóng)和魚(yú)類(lèi)的運(yùn)動(dòng)啟發(fā)了飛機(jī)的發(fā)明，但固定翼飛機(jī)只借鑒了鳥(niǎo)類(lèi)滑翔的原理，卻放棄了撲翼驅(qū)動(dòng)的方式。而當(dāng)微型飛行器的尺度在15cm以下時(shí)，如仍采用固定翼的常規(guī)氣動(dòng)布局，則由于雷諾數(shù)太低，達(dá)不到足夠的升阻比，而無(wú)法飛行。于是人們又回過(guò)頭來(lái)考慮撲翼驅(qū)動(dòng)方式，不管是厘米級(jí)還是毫米級(jí)的昆蟲(chóng)，都是采用撲翼的方式而具備了復(fù)雜多變的飛行能力。模擬鳥(niǎo)類(lèi)、昆蟲(chóng)和魚(yú)類(lèi)運(yùn)動(dòng)方式的撲翼微型飛行器有更好的飛行性能，其機(jī)動(dòng)性、靈活性及低能耗都優(yōu)于固定翼和旋轉(zhuǎn)翼微型飛行器。撲翼飛行方式成為微型飛行器首選的一種布局方式。

因而，對(duì)撲翼飛行器、撲翼的空氣動(dòng)力效果的研究，包括實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬研究，也就成為一件很有理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值的工作。Knoller［2］和Betz［3］分別在1909年和1912年注意到撲動(dòng)的翼型會(huì)產(chǎn)生推力。1922年，Katzmayr［4］從實(shí)驗(yàn)觀測(cè)中證實(shí)了此現(xiàn)象－－Knoller－Betz效應(yīng)。此后，對(duì)撲翼氣動(dòng)特性的研究逐漸開(kāi)展起來(lái)。早期的實(shí)驗(yàn)和理論研究可見(jiàn)于文獻(xiàn)［5－7］。如今，用程序或商業(yè)軟件（比如Fluent）可以數(shù)值模擬剛性撲翼的非定常運(yùn)動(dòng)。所以對(duì)剛性撲翼的飛行性能已經(jīng)有了比較清楚的了解。而彈性撲翼與剛性撲翼有很大的差別。鳥(niǎo)類(lèi)在每個(gè)拍翼周期中，可以通過(guò)主動(dòng)地扭轉(zhuǎn)和彎曲翅膀，以改變翼展，從而獲得更大的推力、減小阻力。其翅膀隨流場(chǎng)被動(dòng)的變化還可以防止流動(dòng)的分離，提高升／阻比，從而有利于在起降等非定常運(yùn)動(dòng)情況的飛行［8］。M.S.Triantafyllou，G.S.Triantafyllou和 Yue［9］的研究顯示，魚(yú)體的彈性對(duì)魚(yú)類(lèi)在水中的靈活性起到至關(guān)重要的作用。Heathcote等［10－11］用后緣帶柔性薄板的翼型在水槽中進(jìn)行了沉浮運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)觀察，顯示具有適當(dāng)彈性的薄板能使翼型產(chǎn)生推力。Tang等［12］用SIMPLE方法計(jì)算不可壓N－S方程求解流場(chǎng)，用Euler－Bernoulli梁振動(dòng)微分方程求解薄板振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，并將流體流動(dòng)、結(jié)構(gòu)變形耦合迭代，計(jì)算結(jié)果顯示，做沉浮運(yùn)動(dòng)的翼型因氣動(dòng)載荷產(chǎn)生變形，改變了有效攻角，從而造成升力、阻力產(chǎn)生明顯改變，其位移隨時(shí)間變化規(guī)律與Heathcote和Gursul［11］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

彈性撲翼非定常流場(chǎng)數(shù)值模擬牽扯到結(jié)構(gòu)的彈性變形運(yùn)動(dòng)及與流場(chǎng)解的耦合，因而是一個(gè)非常復(fù)雜的問(wèn)題。彈性薄板的變形非常明顯地增加了計(jì)算量和計(jì)算難度。N－S方程方法、Euler方程方法都要生成復(fù)雜的網(wǎng)格，對(duì)于剛性撲翼，非定常運(yùn)動(dòng)及網(wǎng)格變形已經(jīng)使計(jì)算量變得很大，如果再考慮彈性變形及彈性運(yùn)動(dòng)的收斂，則計(jì)算量將大幅增加。相比之下，勢(shì)流板塊法不需要生成網(wǎng)格，從而極大地提高了計(jì)算效率。在低速情況下，勢(shì)流方法的計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果出 入 不 大。Anderson［13］，Anderson，Streitlien，Barrentt和 Triantafyllou［14］比較了NACA0012翼型水洞實(shí)驗(yàn)與非線性不可壓勢(shì)流法計(jì)算結(jié)果，結(jié)果顯示當(dāng)無(wú)明顯前緣渦脫落時(shí)，計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合很好。而當(dāng)翼型做高頻率小振幅振動(dòng)時(shí)，前緣渦脫落對(duì)氣動(dòng)力的影響會(huì)較?。?5］。因此，本文選用勢(shì)流板塊法來(lái)計(jì)算高頻率小振幅振動(dòng)翼型的非定常氣動(dòng)力，應(yīng)當(dāng)具有足夠的計(jì)算精度，同時(shí)計(jì)算效率遠(yuǎn)高于Euler方程方法和N－S方程方法。另外，對(duì)彈性薄板變形的準(zhǔn)確描述較為困難。薄板的變形由慣性力、氣動(dòng)力和彈性力決定。慣性力是給定的，而氣動(dòng)力和彈性力又與薄板的變形和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相關(guān)。這無(wú)疑增加了薄板變形的計(jì)算難度。求解此氣動(dòng)彈性問(wèn)題的基本思想有兩種，即強(qiáng)耦合法（tight coupling method）和弱耦合法（loose coupling method）。在強(qiáng)耦合法中，按照未收斂的氣動(dòng)力來(lái)計(jì)算變形，再把變形計(jì)入氣動(dòng)力計(jì)算的迭代過(guò)程中，直至變形和氣動(dòng)力都收斂。在弱耦合法中，只有在氣動(dòng)力收斂后才計(jì)算變形。再計(jì)入變形，重新計(jì)算氣動(dòng)力，直至變形收斂。

本文通過(guò)數(shù)值方法準(zhǔn)確描述附加在翼型后緣的彈性薄板在氣動(dòng)力作用下的彈性變形運(yùn)動(dòng)及回過(guò)頭來(lái)與流場(chǎng)產(chǎn)生的流－固耦合過(guò)程以及這種耦合產(chǎn)生的推力效應(yīng)。薄板變形根據(jù)Euler－Bernoulli梁振動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解。流場(chǎng)用非定常勢(shì)流板塊法計(jì)算。并且通過(guò)弱耦合［16］迭代算法，使得在變化的氣動(dòng)載荷下，流場(chǎng)求解和懸臂梁微分方程求解的流－固耦合過(guò)程保持收斂，從而準(zhǔn)確地描述薄板的彈性變形。

1 流場(chǎng)計(jì)算方法

通過(guò)非定常勢(shì)流板塊法［17］計(jì)算翼型的非定常氣動(dòng)載荷。在文獻(xiàn)［17］中，假想每個(gè)時(shí)間步脫落的渦量并不直接變化為自由渦，而是如圖1所示，先分布在與翼型后緣相連的一個(gè)虛擬的直線尾跡板塊上，在下一個(gè)時(shí)間步，尾跡板塊上的全部渦量才會(huì)以自由渦的形式脫落到翼型尾跡中（如圖1所示）。

圖1 勢(shì)流板塊法示意圖Fig.1 Schematic diagram of the potential flow panel method

根據(jù)流動(dòng)的邊界條件，物面上的n個(gè)板塊應(yīng)滿足板塊中點(diǎn)處流體法向速度等于物面法線速度的邊界條件，從而構(gòu)成關(guān)于單位長(zhǎng)度源強(qiáng)和單位長(zhǎng)度渦強(qiáng)的線性方程組。流動(dòng)在后緣處還需滿足一個(gè)Kutta條件，即后緣處上下表面壓力連續(xù)，據(jù)此可由非定常伯努利方程得到一個(gè)后緣上下表面速度平方差與翼型環(huán)量變化率的關(guān)系式，成為一個(gè)附加方程。

根據(jù)Helmholtz渦量定理，在第k時(shí)間步，翼型總環(huán)量與尾跡板塊渦強(qiáng)度之和，等于上一個(gè)時(shí)間步中的翼型總環(huán)量：

其中，下標(biāo)k指時(shí)間步，Γk為第k時(shí)間步翼型總環(huán)量，（γw）k為第k時(shí)間步尾跡板塊的單位長(zhǎng)度渦強(qiáng)度，Δk為尾跡板塊長(zhǎng)度。此外，尾跡板塊長(zhǎng)度Δk及其與來(lái)流方向的夾角Θk與尾跡板塊中點(diǎn)處誘導(dǎo)速度的x，y分量（Uw）k，（Vw）k存在一定的關(guān)系。

解得翼型渦強(qiáng)、源強(qiáng)分布后，可以求出沿每一板塊的流體速度，進(jìn)而根據(jù)非定常伯努利方程求得壓力，積分后可得到翼型的升、阻力。

2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)求解方法

翼型后緣連接的薄板相對(duì)于前部剛性翼型做彈性振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)變形屬于小變形，則薄板的相對(duì)彈性運(yùn)動(dòng)滿足Euler－Bernoulli梁振動(dòng)微分方程，無(wú)量綱梁振動(dòng)微分方程為：

其中，＝I／c3＝／12，＝E／ρfU，＝ρs／ρf，＝b／c（x，t）＝q（x，t）／ρfU，c為翼型的弦長(zhǎng)，ρf為流體密度，U∞為遠(yuǎn)場(chǎng)自由來(lái)流速度，w為撓度，ρs為薄板密度，b為薄板厚度，E為材料楊氏模量，I為薄板截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，q（x，t）代表薄板受到的分布載荷，包括慣性力和流體施加的壓強(qiáng)。

采用二階隱式差分格式［18］，對(duì)振動(dòng)方程（2）進(jìn)行離散，離散方程可以寫(xiě)為：

薄板的邊界條件為：在薄板固定端，撓度和撓度的一階導(dǎo)數(shù)為零；在自由端，由于沒(méi)有集中載荷或力矩，所以自由端撓度的二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)為零。對(duì)邊界條件進(jìn)行離散，與離散化的振動(dòng)方程（3）進(jìn)行聯(lián)立求解，可以得到薄板振動(dòng)方程組。為了驗(yàn)證上述格式及程序，取大小隨時(shí)間正弦變化的均布載荷，數(shù)值計(jì)算薄板自由振動(dòng)頻率，得到與理論解［19］相一致的結(jié)果，說(shuō)明差分方程（3）具有足夠計(jì)算精度，其結(jié)果是可信的。

3 流－固耦合計(jì)算流程

采用弱耦合迭代法［16］（loose coupling method），在氣動(dòng)力收斂后計(jì)算變形，計(jì)入變形后再計(jì)算氣動(dòng)力，如此反復(fù)，直至變形收斂。

每個(gè)時(shí)間步內(nèi)的程序流程為：（1）首先，輸入上一迭代步的壓力分布（第一迭代步采用上一時(shí)間步的壓力分布）和這個(gè)時(shí)間步的慣性力載荷；（2）然后，計(jì)算彈性薄板的變形；（3）接著，根據(jù)薄板的變形，計(jì)算翼型的外形，從而得到流場(chǎng)的新邊界條件；（4）進(jìn)一步，根據(jù)新的邊界條件，求解流場(chǎng)的壓力分布；（5）最后，返回到第一步，再計(jì)算出彈性薄板新的變形，將此迭代步得到的變形和上一迭代步得到的變形進(jìn)行比較，如果兩者相差較多，則繼續(xù)迭代，如果兩者接近，則停止迭代，程序進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間步。

4 計(jì)算結(jié)果與分析

在剛性NACA0012翼型后緣接一段長(zhǎng)為25%弦長(zhǎng)的彈性薄板，并用四階Bezier曲線對(duì)連接處進(jìn)行光滑處理，作為本文算例使用的計(jì)算外形。該翼型沉浮運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：

其中，h＝y(tǒng)為位移＝h／c無(wú)量綱位移，為無(wú)量綱振幅，k＝ωc／U∞為無(wú)量綱角頻率，ω為翼型簡(jiǎn)諧振動(dòng)角頻率。本文在所有的算例中，取ha＝0.018，k＝4.3，薄板無(wú)量綱密度為1500、無(wú)量綱厚度為0.001。

4.1 彈性薄板的振動(dòng)及其對(duì)氣動(dòng)力的影響

取薄板無(wú)量綱楊氏模量＝6×107，8×107，1×108，1.4×108，2.0×108等進(jìn)行了計(jì)算，以薄板后緣的運(yùn)動(dòng)作為指標(biāo)來(lái)考察薄板的運(yùn)動(dòng)。圖2給出了不同楊氏模量下薄板后緣相對(duì)于翼型前緣的位移隨時(shí)間的變化歷程。由圖可知，薄板后緣振動(dòng)幅度隨薄板無(wú)量綱楊氏模量的增加先增加后減小。當(dāng)＝1×108時(shí)，薄板振動(dòng)幅度最大。并且，不同彈性模量薄板振動(dòng)的相位也各不相同，隨著薄板值的增加，薄板振動(dòng)位移達(dá)到最大的時(shí)刻逐漸提前。這種振動(dòng)模式和 Heathcote等［10－11］觀察到的是一致的，和Tang等［12］計(jì)算的相對(duì)厚度為0.00056的結(jié)果也非常接近。

圖2 翼型前緣位移、翼型坐標(biāo)下薄板后緣位移隨時(shí)間的變化Fig.2 Variation of elastic plate trailing edge displacement with time

圖3（a、b）分別給出了四個(gè)不同薄板彈性模量下計(jì)算的翼型阻力、升力系數(shù)隨時(shí)間的變化，可以看出，升力、阻力系數(shù)隨時(shí)間近似正弦變化。這個(gè)變化規(guī)律與Tang等［12］的計(jì)算結(jié)果很接近。

4.2 阻力系數(shù)修正與推進(jìn)效率

勢(shì)流理論沒(méi)有考慮流體的粘性，因此，翼型有效推力（useful thrust）應(yīng)為勢(shì)流理論求得的推力減去粘性阻力。這里將翼型近似看作平板，分別用平板層流和湍流附面層單位長(zhǎng)度表面摩擦阻力系數(shù)理論公式［20］：

對(duì)本文計(jì)算的勢(shì)流阻力系數(shù)進(jìn)行修正。假定原NACA0012翼型的雷諾數(shù)Re為50000，則本文因使翼型加長(zhǎng)了0.25倍，故應(yīng)取雷諾數(shù)為1.25×50000來(lái)計(jì)算摩擦阻力系數(shù)。

圖5（a、b）為分別經(jīng)層流、湍流附面層修正后的翼型平均阻力系數(shù)隨薄板無(wú)量綱楊氏模量的變化。由圖可看出，薄板為剛性時(shí)翼型的平均阻力系數(shù)（點(diǎn)劃線所示）為正，說(shuō)明剛性撲翼不易產(chǎn)生有效推力；對(duì)于彈性薄板，存在一個(gè)阻力為負(fù)值的值區(qū)域，并且總可以找到一個(gè)值使翼型阻力系數(shù)達(dá)到最大負(fù)值。這與Heathcote等［10］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是符合的。

推進(jìn)效率可以定義為翼型產(chǎn)生的推進(jìn)功率與輸入給翼型的總機(jī)械功率之比［21－22］。圖6（a、b）給出了分別由經(jīng)層流和湍流附面層修正后的推力所得的翼型推進(jìn)效率隨薄板無(wú)量綱楊氏模量的變化規(guī)律。從圖中可看出，選取適當(dāng)值的薄板，翼型可以達(dá)到最佳的推進(jìn)效率。

4.3 尾跡脫落渦結(jié)構(gòu)

對(duì)不同楊氏模量＝8×107，9×107，1×108，1.4×108，2.4×108，2.8×108進(jìn)行了翼型尾跡脫落點(diǎn)渦分布的計(jì)算觀察研究。圖7僅給出了典型楊氏模量值＝1×108下翼型尾跡點(diǎn)渦環(huán)量分布結(jié)果。圖中每個(gè)點(diǎn)渦環(huán)量的正負(fù)和大小通過(guò)每個(gè)點(diǎn)的顏色來(lái)表示。計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，所有楊氏模量下，環(huán)量為正（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)），且環(huán)量值較大的點(diǎn)渦周期性地聚集在中心線（y＝0）附近偏下方，而環(huán)量為負(fù)（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)），且環(huán)量值較大的點(diǎn)渦周期性地聚集在中心線（y＝0）附近偏上方；而環(huán)量值較小的點(diǎn)渦則遠(yuǎn)離中心線分布。因此，中心線附近流場(chǎng)的流速明顯大于自由來(lái)流流速。尾跡中點(diǎn)渦的這種環(huán)量分布規(guī)律與Jones，Dohring，Platzer的理論分析和實(shí)驗(yàn)觀察［6］完全一致，也與Heathcote等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［10－11］類(lèi)似。并且＝108時(shí)的尾跡點(diǎn)渦最大環(huán)量值是所有值中最大的，這恰好是圖5（a）中推力系數(shù)最大的值，說(shuō)明翼型尾跡中點(diǎn)渦環(huán)量最大值較大時(shí)，撲翼的平均推力系數(shù)也較大。

圖6 經(jīng)層流和湍流附面層摩阻修正后推進(jìn)效率隨薄板無(wú)量綱楊氏模量的變化Fig.6 Airfoil propulsive efficiency dependency on nondimensional Young's modulus

圖7 翼型尾跡中的脫落點(diǎn)渦（＝108）Fig.7 Vortex distribution in airfoil wake

5 結(jié) 論

本文采用非定常勢(shì)流板塊法和Euler－Bernoulli梁振動(dòng)微分方程數(shù)值模擬后緣帶彈性薄板的翼型在作高頻率小振幅沉浮運(yùn)動(dòng)時(shí)翼型繞流和薄板彈性振動(dòng)之間的流固耦合問(wèn)題及撲動(dòng)運(yùn)動(dòng)的推力效應(yīng)。從計(jì)算結(jié)果可得如下結(jié)論：（1）翼型在做高頻小振幅振動(dòng)時(shí)，非定常勢(shì)流板塊法具有較高的計(jì)算效率；（2）翼型尾部連接不同楊氏模量的彈性薄板，得到的氣動(dòng)力的大小和分布會(huì)有明顯不同，翼型推力會(huì)隨薄板楊氏模量先增加后減小，調(diào)整彈性薄板的剛度，可以使翼型產(chǎn)生最佳的非定常推力；（3）翼型推進(jìn)效率同樣隨彈性薄板的楊氏模量值先增加后減小，可以找到合適的楊氏模量值，使翼型的推進(jìn)效率最佳；（4）彈性薄板的楊氏模量值同樣影響尾跡脫落點(diǎn)渦的強(qiáng)度，翼型推力最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的尾跡脫落點(diǎn)渦的環(huán)量值域較寬。（5）翼型坐標(biāo)下，薄板后緣振動(dòng)幅度隨薄板楊氏模量的增加先增加后減小，并且振動(dòng)相位也會(huì)發(fā)生變化，即隨著薄板楊氏模量值的增加，薄板振動(dòng)位移達(dá)到最大的時(shí)刻逐漸提前。

致謝：本文第一作者感謝蔡晉生教授的耐心指點(diǎn)和劉亞師兄、詹磊師兄、馮春娟師姐和徐嘉師兄的幫助。

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