矢量場環(huán)量強(qiáng)度方向特性的一種證明過程

徐慧婷，焦重慶

(華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，北京102206)

0 引言

旋度是“電磁場”課程中一個非常重要的基本概念［1］。由于定義比較抽象且數(shù)學(xué)描述復(fù)雜，旋度這一知識點(diǎn)屬于“電磁場”課程中的難點(diǎn)內(nèi)容之一。通常，《電磁場》教材引入旋度的邏輯順序為:矢量場的環(huán)量(閉合曲線積分)—環(huán)量強(qiáng)度(或環(huán)量面密度)—環(huán)量強(qiáng)度的方向特性—旋度—斯托克斯定理。其中，比較關(guān)鍵的就是環(huán)量強(qiáng)度的方向特性:環(huán)量強(qiáng)度可以表示成某一待定矢量(即后來的旋度)與環(huán)路法向單位矢量的點(diǎn)積。環(huán)量強(qiáng)度與旋度的關(guān)系類似于方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系。

在環(huán)量強(qiáng)度的方向特性上，《電磁場》教材上主要有兩種論述方式:①直接陳述，不加以證明;②以斯托克斯定理為基礎(chǔ)。

具體來說，方式①并沒有證明方向特性，而是以方向特性為已知來引出旋度并求解旋度的表達(dá)式:在直角坐標(biāo)系下，分別考慮與三個坐標(biāo)軸相垂直的三個微小矩形回路，依據(jù)環(huán)量強(qiáng)度的定義分別求出上述三個特殊矩形回路下的環(huán)量強(qiáng)度。這三個環(huán)量強(qiáng)度可以分別看成旋度在三個坐標(biāo)方向的三個分量，或者說，將這三個分量組合成的矢量便是旋度［2-5］。方式②以“高等數(shù)學(xué)”課程中已證明的斯托克斯定理為基礎(chǔ)(該定理的證明不需要借助旋度的概念)，通過該定理將環(huán)量強(qiáng)度定義式中的環(huán)路積分轉(zhuǎn)換成面積分，進(jìn)而可直接得出環(huán)量強(qiáng)度的表達(dá)式和方向特性［6-7］。

從理解上來說，方式②是一種不錯的選擇，只不過它與電磁場教材中更偏好的“環(huán)量—環(huán)量強(qiáng)度—旋度—斯托克斯定理”邏輯順序，即把斯托克斯定理當(dāng)作旋度的后續(xù)導(dǎo)出內(nèi)容的邏輯順序相背而已。

筆者認(rèn)為，從環(huán)量強(qiáng)度的定義式中難以直接看出環(huán)量強(qiáng)度具有上述方向特性。因此，如果仍要在形式上堅持從旋度到斯托克斯定理的邏輯順序，就有必要給出一種關(guān)于環(huán)量強(qiáng)度方向特性的解釋或證明過程，能從環(huán)量強(qiáng)度的定義出發(fā)導(dǎo)出任意法向方向下環(huán)量強(qiáng)度的表達(dá)式。一旦得出了該表達(dá)式，方向特性也就不言而喻。這類似于從標(biāo)量場方向?qū)?shù)的定義式出發(fā)，導(dǎo)出任意方向的方向?qū)?shù)，從而發(fā)現(xiàn)方向?qū)?shù)的方向特性并進(jìn)而引出梯度的概念。

本文直接從環(huán)量強(qiáng)度的定義式出發(fā)，針對任意給定的法向方向，通過構(gòu)造正方形回路詳細(xì)推導(dǎo)了環(huán)量強(qiáng)度的表達(dá)式，從而得出環(huán)量強(qiáng)度的方向特性和旋度的概念。本文可當(dāng)作一道綜合性較強(qiáng)的矢量分析和場論習(xí)題。

1 幾何模型e

如圖1所示，ABCD四點(diǎn)連成一個正方形。點(diǎn)P為正方形的中心點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2，P3及P4分別為正方向的四條邊的中心點(diǎn)。en為一單位矢量，其方向滿足與正方形所在的平面垂直，并與有向閉合路徑ABCDA成右手螺旋關(guān)系。et1為點(diǎn)P到點(diǎn)P1的連線方向的單位矢量，e12為點(diǎn)P到點(diǎn)P2的連線方向的單位矢量。此外，我們假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z)，正方形的邊長為a。

按照環(huán)量強(qiáng)度的定義，矢量場F在點(diǎn)P處沿法向方向en的環(huán)量強(qiáng)度可表示成

圖1 環(huán)量強(qiáng)度推導(dǎo)示意圖

式中，Γ為矢量場F沿閉合路徑ABCDA的環(huán)量。

由于環(huán)量強(qiáng)度是在閉合路徑不斷向點(diǎn)P收縮的情況下環(huán)量對路徑包圍面積的比值的極限值，因此在后續(xù)的推導(dǎo)中，可以假設(shè)邊長a是一個很小的量，從而可以認(rèn)為各條邊上的矢量場值分別近似與其中心點(diǎn)處的矢量場值相等。進(jìn)而，式(1)中的環(huán)量Γ可變形成

式中，“*”代表矢量的點(diǎn)積運(yùn)算(下同)。

2 矢量函數(shù)的一階近似展開

下面，我們通過一階泰勒展開方法獲得矢量場F在點(diǎn)P1，P2，P3及P4處的近似值。

矢量場F在點(diǎn)P1處的值的分量表達(dá)式為

假設(shè) et1=cosαt1ex+cosβt1ey+cosγt1ez

由此可見，點(diǎn)P1的坐標(biāo)可以寫成

從而F(P1)的x分量可通過多元函數(shù)的一階泰勒展開為

同理，可將F(P1)的y和z分量分別展開為

將式(4)-(6)代入式(3)中，便得到了F(P1)相對于F(P)的展開式:

同理，可得矢量場F在點(diǎn)P2，P3及P4處的值分別為

3 環(huán)量強(qiáng)度的計算公式

正方形ABCD的四條邊矢量可以分別寫成

將式(7)-(11)代入式(2)整理后得到

運(yùn)用矢量恒等式B(A*C)－C(A*B)=A×(B×C)，可將上式中大括號內(nèi)的內(nèi)容變形成

其中，還用到了數(shù)學(xué)關(guān)系et2×et1=－en和矢量恒等式A×B=-B×A。

將式(13)代入式(12)后可得

運(yùn)用恒等式A*(B×C)=B*(C×A)，可以將上式等號右邊的三個混合積分別變成

將上式代入式(14)化簡后可得

可以將上式括號內(nèi)的部分定義成矢量場F的旋度，并記成

我們從上式不難得出旋度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式:

將式(16)代入到式(1)中，得出如下環(huán)量強(qiáng)度與旋度的關(guān)系:

上式表明，矢量場在空間一點(diǎn)處沿某一法向方向的環(huán)量強(qiáng)度實(shí)際上是矢量場在該點(diǎn)處的旋度在該法向方向上的分量，也就是所謂的環(huán)量強(qiáng)度的方向特性。

4 結(jié)語

本文直接從矢量場環(huán)量強(qiáng)度的定義出發(fā)，選用對稱性好的正方形回路，給出了任意法向方向下環(huán)量強(qiáng)度表達(dá)式的推導(dǎo)過程?；谶@一表達(dá)式，可以清晰地看出環(huán)量強(qiáng)度的方向特性，為環(huán)量強(qiáng)度—旋度關(guān)系的講解和旋度概念的引入提供了一條較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)途徑。該推導(dǎo)過程運(yùn)用到了矢量場的一階近似展開及混合積公式等矢量恒等式，是一道不錯的綜合性矢量分析和場論練習(xí)題，可作為討論課的教學(xué)素材。

［1］ 黃輝，張小青.“電磁場”課程的三度和旋度研究型教學(xué)例析［J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報，2011，33(3):99-102

［1］ 王澤忠等著.工程電磁場［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2011

［3］ 倪光正.工程電磁場原理［M］.北京:高等教育出版社，2009

［4］ 古恩(Guru.B.S.)等著.電磁場與電磁波(英文版)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2002

［5］ 楊儒貴.電磁場與波［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，1989

［6］ 雷銀照.電磁場［M］.北京:高等教育出版社，2008

［7］ 謝樹藝.矢量分析與場論［M］.北京:高等教育出版社，1978