基于模式函數(shù)和變分法的螺旋槳最佳環(huán)量計算方法

韓用波，周偉新，董鄭慶，馮 君，董世湯

(1. 中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082；2. 中船重工（上海）節(jié)能技術(shù)發(fā)展有限公司，上海 200011)

0 引 言

螺旋槳能夠?qū)?0%左右的機械動力轉(zhuǎn)化為推進力，成為當(dāng)前各類船舶上應(yīng)用最為廣泛的推進器形式。對于民船螺旋槳，特別是散貨船、油船和集裝箱船等三大主流船型，推進效率是這類船舶螺旋槳設(shè)計時最優(yōu)先考慮的指標(biāo)。在螺旋槳主參數(shù)確定后，螺旋槳的效率主要由其徑向環(huán)量分布決定。開展螺旋槳最佳徑向環(huán)量的研究可以從機理上給出提高推進器效率的方向。因此以效率為目標(biāo)的螺旋槳最佳環(huán)量計算一直是螺旋槳設(shè)計研究的一個重要內(nèi)容。

螺旋槳最佳環(huán)量的計算方法是伴隨著升力線理論的發(fā)展而提出的。早期，Betz發(fā)展螺旋槳升力線理論時，根據(jù)在效率較高處增加環(huán)量，在效率較低處減小環(huán)量的思想，Betz得出了敞水條件下最佳環(huán)量分布條件。Lerbs[1]首次提出了求解最佳環(huán)量分布的變分法，建立了優(yōu)化方程式，限于當(dāng)時的計算條件，未能在計算機上實現(xiàn)。但Lerbs提出的求解最佳環(huán)量分布的變分法思想，逐漸成為求解敞開螺旋槳、導(dǎo)管槳、對轉(zhuǎn)槳等各類組合推進槳葉最佳環(huán)量的主流方法，一直沿用至今。近年來，國外關(guān)于螺旋槳最佳環(huán)量計算方面的研究工作，主要集中在麻省理工學(xué)院Kerwin教授及其學(xué)生身上[2 – 4]。國內(nèi)蘇玉民[5]、曹慶明[6]、孫文愈[7]等也采用變分法開展了船用推進器最佳環(huán)量計算的研究工作。

采用傳統(tǒng)變分法進行最佳環(huán)量分布數(shù)值求解時，需要對升力線模型進行離散，將連續(xù)的環(huán)量分布離散為在渦格內(nèi)均布的常量，連續(xù)的自由渦片離散為從渦格邊界泄出的集中渦。根據(jù)Kerwin[8]的研究成果，在使用離散化升力線模型時，在葉梢和葉根2個自由端存在1/2階的奇性，因此需要對2個端部的網(wǎng)格劃分和控制點布置進行特殊處理。本文給出一種求解螺旋槳最佳環(huán)量的改良方法，將徑向環(huán)量分布用正弦級數(shù)表達出來，通過求解正弦級數(shù)模式函數(shù)的各項系數(shù)，從而得到螺旋槳最佳環(huán)量分布形式。

1 基本理論

1.1 正弦級數(shù)模式函數(shù)表達螺旋槳徑向環(huán)量分布

1.2 螺旋槳誘導(dǎo)速度的計算

誘導(dǎo)因子仍按Lerbs的定義不變，則誘導(dǎo)速度的計算式如下：

由式（1）可得：

可以將式（4）寫成如下形式：

其中：

1.3 功率系數(shù)和推力系數(shù)的計算

將式（1）中的環(huán)量分布改寫成如下形式：

功率系數(shù)

令

改寫

又令

則功率系數(shù)計算式可與成以下形式：

同理，推力系數(shù)可以寫成如下形式：

其中：

1.4 變分法求解最佳環(huán)量

求解最佳環(huán)量分布的條件是：推力系數(shù)須滿足指定值而功率系數(shù)為最小，或功率系數(shù)滿足指定值而推力系數(shù)最大，這一問題可轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)求條件極值的問題。以指定推力系數(shù)求的極小值為例，引入Lagrange乘子，并構(gòu)建輔助函數(shù)，則求極值條件的方程式為：

其中：

聯(lián)立式（16）~式（18）可得：

整理后可寫成：

但是，這一輪的過程是建立在某一給定的水動力螺距角分布的基礎(chǔ)上的，故需有迭代過程。在第一輪求解時可以先用進角分布代替水動力螺距角作為初值。在求出表達環(huán)量分布的正弦級數(shù)各項系數(shù)后，重新計算誘導(dǎo)速度和水動力螺距角分布，用新的水動力螺距角分布再重新計算得出新的最佳環(huán)量分布，一直迭代到和誘導(dǎo)速度收斂。至此方求出表達最佳環(huán)量的正弦級數(shù)各項系數(shù)的最終值后，代入式（1）最佳環(huán)量分布得解。

2 算例驗證

編制求解螺旋槳最佳環(huán)量程序，選取Coney[6]在1989年博士論文中給出的2個案例進行計算和對比。

考核案例1：均勻來流條件下螺旋槳最佳環(huán)量分布計算比較。

5葉螺旋槳，轂徑比0.2，不考慮槳轂和粘性影響，不考慮尾渦變形和收縮，敞水工況，Ct=0.512，計算 J=0.1，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，1.2 和 1.4 時的最佳環(huán)量分布。計算對比結(jié)果見圖1（a）。

考核案例2：周向平均的軸向伴流分布條件下螺旋槳最佳環(huán)量分布計算比較。

5葉螺旋槳，轂徑比0.2，不考慮槳轂和粘性影響，不考慮尾渦變形和收縮，Ct=0.307，J=1.377，計算周向平均的軸向伴流下螺旋槳最佳環(huán)量分布。計算對比結(jié)果見圖1（b）。關(guān)于本案例中具體的伴流分布可參見文獻[9]。

從圖2可以看出，敞水和伴流條件下的最佳環(huán)量計算結(jié)果均和Coney的計算吻合良好，表明本文基于正弦級數(shù)和變分法的螺旋槳最佳環(huán)量分布計算方法是可行和正確的。

為對本文所述方法的數(shù)值穩(wěn)定性進行考核，針對案例2，在升力線模型離散時采用不同網(wǎng)格數(shù)量和網(wǎng)格劃分方式進行最佳環(huán)量的計算，對比結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯?，計算結(jié)果并未因網(wǎng)格數(shù)量和劃分方式的不同而發(fā)生較大跳動，該方法的數(shù)值穩(wěn)定性良好。

圖 1 與 Coney 計算的最佳環(huán)量分布結(jié)果比較Fig. 1 Comparisons of the optimum circulation distribution calculated in this paper and by coney

圖 2 不同網(wǎng)格數(shù)量和網(wǎng)格劃分方式下最佳環(huán)量計算結(jié)果比較Fig. 2 Comparisons of optimal circulation calculation results under different number of mesh grids and mesh methods

3 結(jié) 語

本文介紹一種基于正弦級數(shù)模式函數(shù)和變分法的螺旋槳最佳環(huán)量計算改良方法，并編寫相應(yīng)的計算程序。算例驗證表明，計算結(jié)果并未因為網(wǎng)格數(shù)量和劃分方式的不同而發(fā)生較大跳動，該方法的數(shù)值穩(wěn)定性良好，計算結(jié)果正確。本文的最佳環(huán)量改良計算方法有效和可行，可用于螺旋槳的效率優(yōu)化及工程設(shè)計。