基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的非同步水下測(cè)距影響因素研究

曹清剛，石米娜

(1. 大連測(cè)控技術(shù)研究所，遼寧 大連 116000；2. 大連海洋大學(xué)，遼寧 大連 116023)

0 引 言

水聲測(cè)距是水下測(cè)量中的一個(gè)必要組成部分。測(cè)距精度對(duì)測(cè)量結(jié)果有重要影響?，F(xiàn)有設(shè)備多采用時(shí)間同步觸發(fā)方式，檢測(cè)時(shí)間差計(jì)算距離。在無(wú)時(shí)間同步前提下不能很精確的測(cè)量發(fā)射聲源距離。本文采用線性調(diào)頻信號(hào)通過(guò)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FrFt）[1–3]處理信號(hào)，利用可獲取的輔助信息實(shí)現(xiàn)測(cè)距，并進(jìn)一步研究了使用此種方法測(cè)距時(shí)的主要影響因素。

1 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換理論

時(shí)間x（t）的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和逆變換定義為[1]：

式中：p為FrFt的階數(shù)，可為任意實(shí)數(shù)；Fp為FrFt的算子符號(hào)；為變換核，其表達(dá)式如下：

F為調(diào)頻寬度，T為信號(hào)脈寬。

此時(shí)“最佳”FrFt階數(shù)p0為

FrFt可以認(rèn)為是一種廣義的傅里葉變換。傅里葉變換是線性變換，是FrFt的一個(gè)特例。即若將FrFt的變換算子逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)間軸到u軸的任意角度時(shí)就是傅里葉變換。當(dāng)處理的信號(hào)為L(zhǎng)FM信號(hào)時(shí)，其原理如圖1所示。

圖 1 FrFt變換原理示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the principle of FrFt transformation

2 聲傳播理論模型

在距離為較近時(shí)，聲線在水中傳播時(shí)彎曲不大，可以認(rèn)為聲線直線傳播[4]。利用射線聲學(xué)理論，建立淺海近程聲傳播模型如圖2所示。

圖 2 海洋近程聲線傳播圖Fig. 2 2 Marine short-range ray travel map

在所獲得信號(hào)距離分辨率較高的前提下，試驗(yàn)中可將海面、海底的反射信號(hào)區(qū)分開(kāi)來(lái)。若經(jīng)過(guò)海底、海面信號(hào)與直達(dá)聲信號(hào)的聲程差為s，在已知接收水聽(tīng)器與海面距離z，發(fā)射換能器與海面距離h和海深H的前提下，設(shè)聲速c已知（一般取c=1 500 m/s）可通過(guò)式（5）或式（6）得到發(fā)射換能器與接收水聽(tīng)器的距離x，及未經(jīng)過(guò)反射直接到達(dá)聲線的聲程。式（5）是當(dāng)s為聲線經(jīng)過(guò)海面反射與直達(dá)聲的聲程差時(shí)，獲得直達(dá)聲距離的反演式。式（6）是當(dāng)s為聲線經(jīng)過(guò)海底反射與直達(dá)聲的聲程差時(shí)，獲得直達(dá)聲距離的反演公式

3 計(jì)算機(jī)仿真與可行性分析

在式（5）和式（6）的所有變量中，s為通過(guò)信號(hào)處理后獲得的量，s=c*t；c為聲速，t為最早到達(dá)的信號(hào)時(shí)刻與第2個(gè)或第3個(gè)到達(dá)時(shí)刻的時(shí)間差。這里使用第2個(gè)還是第3個(gè)取決于實(shí)際情況，即是使用海面反射還是使用海底反射來(lái)反演直達(dá)聲程。這里采用線性調(diào)頻信號(hào)（LFM）并使用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理。

通過(guò)FrFt處理可以提高距離分辨率ds=c/B，其中c為聲速，B為L(zhǎng)FM信號(hào)帶寬；當(dāng)c=1 500 m/s時(shí)，B=20 000 Hz時(shí)，LFM信號(hào)為20 000～40 000 Hz線性調(diào)頻信號(hào)，脈寬為0.01 s，則ds=0.075 m。

通過(guò)仿真可以得到，使用FrFt可以提高距離分辨率，其距離分辨率與信號(hào)帶寬有關(guān)如表1所示。

當(dāng)時(shí)間差為0.000 05 s時(shí)，距離為0.075 m，當(dāng)時(shí)間差為0.000 5 s時(shí)，距離為0.75 m。所以當(dāng)ds=0.075 m及B=20 000 Hz時(shí)，可以分開(kāi)距離大于0.01 m的反射信號(hào)，如圖3~圖6所示。

綜上所述，若需要下一個(gè)脈沖不受前一個(gè)脈沖的影響，這里應(yīng)去發(fā)射間隔大于0.15 s。

當(dāng)接收深度為20 m時(shí)，直達(dá)聲聲程和經(jīng)海面反射距離差隨水平距離和深度變化見(jiàn)圖7和圖8。經(jīng)海底、海面反射距離/時(shí)間差隨水平距離和深度變化見(jiàn)圖9～圖11。經(jīng)海面海底反射的時(shí)間差隨水平距離和發(fā)射深度的變化規(guī)律見(jiàn)圖12。

海深變化對(duì)反演結(jié)果的影響見(jiàn)圖13，海底所使用深度影響到所反演的直達(dá)聲程。在其他均為理想值的條件下，當(dāng)海底不確定度為1 m時(shí)，使用公式反演的直達(dá)聲程不確定度為3 m。所以若想達(dá)到3 m的不確定度，海深的精度不能超過(guò)0.5 m。

表 1 FrFt中帶寬與距離分辨率關(guān)系表Tab. 1 FrFt bandwidth and range resolution table

圖 3 時(shí)間差值為0.000 05 s時(shí)的混跌信號(hào)Fig. 3 Mixed drop signal with a time difference of 0.000 05 s

圖 4 時(shí)間差值為0.000 05 s時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后的信號(hào)Fig. 4 The signal after fractional Fourier transform when the time difference is 0.000 05s.

圖 5 時(shí)間差值為0.000 5 s時(shí)的混跌信號(hào)Fig. 5 Mixed drop signal with a time difference of 0.00 05 s

圖 6 時(shí)間差值為0.000 5 s時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后的信號(hào)Fig. 6 The signal after fractional Fourier transform when the time difference is 0.0005 s

圖 7 直達(dá)聲程隨水平距離和發(fā)射深度變化規(guī)律圖Fig. 7 The change rule of direct distance of sound with horizontal distance and emission depth

圖 8 經(jīng)海面反射的距離差隨水平距離和發(fā)射深度變化規(guī)律圖Fig. 8 Variation rule of distance difference with horizontal distance and emission depth reflected by sea surface

圖 9 經(jīng)海底反射的距離差隨水平距離和發(fā)射深度變化規(guī)律圖Fig. 9 Variation rule of distance difference with horizontal distance and launching depth reflected by sea bottom

圖 10 經(jīng)海面反射的時(shí)間差隨水平距離和發(fā)射深度變化規(guī)律圖Fig. 10 The time difference of horizontal reflection and the depth of horizontal transmission

圖 11 經(jīng)海底反射的時(shí)間差隨水平距離和發(fā)射深度變化規(guī)律圖Fig. 11 The time difference of seafloor reflection with horizontal distance and emission depth

圖 12 經(jīng)海面海底反射的時(shí)間差隨水平距離和發(fā)射深度變化規(guī)律Fig. 12 The time difference of sea bottom reflection with horizontal distance and emission depth

4 誤差分析驗(yàn)證與仿真預(yù)測(cè)

由式（6）可知，式中的H，h，z，s等變量沒(méi)有相互依存的關(guān)系。其通過(guò)海底反射與直達(dá)到達(dá)間距離差反演的誤差分析考慮各個(gè)分量誤差的累加如式（7）～式（21）所示。通過(guò)海面反射與直達(dá)到達(dá)間距離差反演的誤差分析如式（11）、式（12）所示。

圖 13 海深變化對(duì)反演結(jié)果的影響Fig. 13 Changes of deep impact on the inversion results of the sea

其中：

假設(shè)聲速c=1 500 m/s；發(fā)射深度：h=1 m ～75 m，dh=0.1 m；接收深度z=20 m，dz=0.1 m；水平距離：mh=1 ～100 m；帶寬：B=5 000 Hz；距離分辨率：ds=c/B=0.3 m；海深H=75 m，dH=0.2 m(或0.5 m)；通過(guò)Matlab軟件仿真可以得到當(dāng)參數(shù)不同時(shí)的距離反演誤差，如圖14所示。

圖 14 通過(guò)海底海面反演誤差隨發(fā)射深度和水平距離變化圖Fig. 14 The variation of error with depth of emission and horizontal distance is retrieved from the bottom and sea surface

當(dāng)使用海面反演時(shí)

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

在2014年12月，在大連錨地做了一次驗(yàn)證性試驗(yàn)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)：一船拋錨，一船隨海流漂泊，漂泊船只每間隔1 min發(fā)射間隔為1 s的10個(gè)LFM信號(hào)。發(fā)射信號(hào)形式為1.5 ～5 kHz，脈寬30 ms的LFM信號(hào)。拋錨船只接收信號(hào)。接收深度10 ~12 m，通過(guò)反演可以擬合得到接收為10.65 m發(fā)射深度25 m，海深H45 m，分別有海底、海面反演海底海面與直達(dá)聲聲程差，這里取聲速c=1 500 m/s，如圖15所示，所使用海深如圖16所示。

圖 15 海上實(shí)驗(yàn)實(shí)際獲得信號(hào)的時(shí)域圖和經(jīng)FrFt變換圖Fig. 15 Real time signal obtained from marine experiment and FrFt transformation map

圖 16 反演時(shí)所用海深簡(jiǎn)圖（精度0.1 m）Fig. 16 Sea depth map used for inversion (precision 0.1m)

計(jì)算公式為：

其中：x為反射與接收間距離，m；c為聲速，m/s；t為時(shí)間差，s；z為接收水聽(tīng)器距離海面深度，m；h為發(fā)射換能器距離海面深度，m。

通過(guò)圖17和圖18可以得到由于現(xiàn)有數(shù)據(jù)的距離分辨率較低ds=1/5 000*1 500=0.3 m，距離大于200 m，使得測(cè)距精度較低，所以這里的實(shí)際數(shù)據(jù)的處理只是對(duì)該方法進(jìn)行可行性驗(yàn)證。當(dāng)獲得更精確的反演條件，增大LFM信號(hào)帶寬及距離分辨率提高后，可使得定位精度獲得提高。

6 結(jié) 語(yǔ)

使用LFM信號(hào)，通過(guò)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可有效提高測(cè)距精度。在已知海深的前提下可精確測(cè)量發(fā)射源位置。測(cè)量精度與已知海深精度和發(fā)射信號(hào)頻率帶寬積有關(guān)。

圖 17 通過(guò)海底發(fā)射反演值與真實(shí)值對(duì)比及誤差Fig. 17 Comparison and error between inversion value and real value of submarine launching

圖 18 通過(guò)海面發(fā)射反演值與真實(shí)值對(duì)比及誤差Fig. 18 Comparison and error between the inversion value and the real value of the sea surface launch

1）使用海底反射信號(hào)與直達(dá)聲信號(hào)差值反演直達(dá)距離時(shí)，受到海深的影響較大，當(dāng)獲得海深的精度較高時(shí)，其定位精度較高。且隨發(fā)射深度增加，誤差變大，距離變遠(yuǎn)，誤差增大。

2）使用海面反射信號(hào)與直達(dá)聲信號(hào)差值反演直達(dá)距離時(shí)，隨發(fā)射深度減小，誤差變大；距離變遠(yuǎn)，誤差增大。由于海面起伏較大，所以其發(fā)射距離海面深度變化大，只有當(dāng)海面較平穩(wěn)時(shí)使用此種定位較好。