基于聲線法的特殊體育館模型中聲場均勻性分析

宋恒玲

(石家莊鐵道大學(xué)，河北石家莊 510640)

0 引 言

體育館除了作為單項(xiàng)的體育館(或稱為專用館)外，也逐漸發(fā)展成了具有綜合性功能的大型空間場館。除了承擔(dān)體育訓(xùn)練和競賽的基本功能外，還要滿足各類文娛演出及演講、會議等需求。體育館功能的擴(kuò)展，必然對其室內(nèi)聲環(huán)境提出了更高、更綜合的要求。在建筑形態(tài)方面，體育館也由單一的幾何形體轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)雜的幾何形體，設(shè)計(jì)中對曲線與曲面的運(yùn)用也逐漸成熟[1]。

作為一種新的多用途大廳，對體育館音質(zhì)的研究有著現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義[2-3]。根據(jù)《體育館聲學(xué)設(shè)計(jì)及測量規(guī)程》(JGJ/T131—2000)[4]，對于體育館建筑聲學(xué)設(shè)計(jì)，要求大廳應(yīng)具有合適的混響時(shí)間和語言清晰度，聲場均勻分布，沒有回聲、顫動回聲、聲聚焦等聲缺陷。由于體育館空間較大，對所研究頻率范圍的聲學(xué)問題符合幾何聲學(xué)特點(diǎn)，所以可以通過聲線在廳堂中的傳播來研究體育館室內(nèi)聲場特性，如聲聚焦、顫動回聲和聲擴(kuò)散等。

特殊體育館模型最早被用于研究電磁混響室中電磁波的混沌現(xiàn)象[5-6]，模型由四個矩形和兩個方向不同的柱面邊界構(gòu)成。混沌系統(tǒng)有兩種形成機(jī)理：擴(kuò)散機(jī)理(比如Sinai模型中相鄰路徑與擴(kuò)散體邊界元的碰撞產(chǎn)生分離)和去聚焦機(jī)理(相鄰路徑與聚焦邊界單元碰撞后產(chǎn)生聚焦，經(jīng)過聚焦點(diǎn)之后開始發(fā)生分離，當(dāng)路徑足夠長時(shí)，聚焦被分離所補(bǔ)償導(dǎo)致去聚焦效果)。體育館模型屬于后者，相鄰聲線與柱面邊界碰撞后，經(jīng)過柱面焦點(diǎn)之后開始分離最終導(dǎo)致混沌行為的產(chǎn)生[7]。近幾年已有通過聲線混沌方法研究不同幾何空間中聲場特性的報(bào)道，如通過判定空間是否具有混沌幾何特性，并進(jìn)一步探索其聲場特性[8-11]，對于此類體育館的聲場特性分析較少見于報(bào)道。體育館模型的混沌聲線分析，對理解幾何空間對聲場特性的影響有重要作用。

體育館模型的混沌特性可以通過計(jì)算聲線系統(tǒng)的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)來判定。李雅普諾夫指數(shù)是指無限靠近的兩條軌道隨時(shí)間演化分離或者收斂的平均指數(shù)速率，正的Lyapunov指數(shù)意味著相鄰軌道會隨著時(shí)間的演化而分離，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌的特性[12]，以λ1,λ2,λ3表示不同類型系統(tǒng)所有的Lyapunov指數(shù)，即Lyapunov指數(shù)譜。Lyapunov指數(shù)對系統(tǒng)的判定如表1所示。可以看到：對混沌系統(tǒng)而言，其Lyapunov指數(shù)為正，相鄰軌道發(fā)生分離；對收斂系統(tǒng)而言，從相鄰點(diǎn)出發(fā)的鄰近軌道和基準(zhǔn)軌道的距離逐漸變小，最終變?yōu)橐粋€點(diǎn)或極限環(huán)。研究表明，Lyapunov指數(shù)與聲場的擴(kuò)散有關(guān)[13]：Lyapunov指數(shù)為正時(shí)聲線隨時(shí)間演化以指數(shù)分離，聲場趨于擴(kuò)散；Lyapunov指數(shù)為0時(shí)系統(tǒng)的聲線運(yùn)動呈現(xiàn)出規(guī)律性，聲場中產(chǎn)生顫動回聲或聚焦等聲缺陷。通過計(jì)算體育館模型的Lyapunov指數(shù)，并對比體育館模型和矩形空間聲線傳播的位置和方向遍歷性，可以對體育館模型聲場均勻性進(jìn)行分析。

表1 不同符號Lyapunov指數(shù)譜的系統(tǒng)類型Table 1 The system types of different Lyapunov exponents

1 Lyapunov 指數(shù)計(jì)算

在三維空間中，聲線在空間內(nèi)壁碰撞反射，反射遵循反射角等于入射角的反射定律，通過跟蹤聲線反射后的反射點(diǎn)和反射線方向，得到整個反射路徑的分布。

聲線在三維空間中反射，有三種特殊情況：

(1) 聲線在反射過程中落入角落，沒有聲線反射出來；

(2) 聲線反射垂直于壁面，沒有其他方向的聲線反射；

(3) 聲線在一個平面內(nèi)反射，未經(jīng)過其他平面。

對于情況(1)和(2)，聲線失去反射的連續(xù)性；在情況(3)中，聲線雖然連續(xù)反射，卻沒有經(jīng)過所有的平面，丟失了其它平面的信息。圖1是聲線在三維矩形和體育館模型空間中碰撞反射的示意圖。

圖1 矩形空間(a)和體育館模型(b)中聲線的反射Fig.1 Ray motions in (a) rectangular space and(b) stadium model

通過聲線在體育館模型內(nèi)壁的反射，研究混沌結(jié)構(gòu)的幾何空間對聲場均勻性的影響有著重要意義。設(shè)體育館模型相對尺寸為L=5.3，W=6，H=5，矩形空間相對尺寸為L=6.8，W=6.62，H=5.1，采用Matlab 編程對聲線傳播路徑進(jìn)行模擬和混沌特性判定。對于聲線系統(tǒng)方程未知的 Lyapunov指數(shù)計(jì)算，可以采用Wolf算法[14]。Wolf算法基于跟蹤相鄰軌道的指數(shù)分離情況，通過測得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列計(jì)算出動力學(xué)系統(tǒng)的最大 Lyapunov指數(shù)，采用Wolf軌道跟蹤法根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算EL的演變和替換程序如圖2所示。

圖2 采用Wolf軌道跟蹤法根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算EL的演變和替換程序Fig.2 The evolution and replacement procedure using Wolf algorithm to estimate EL from experimental data

Wolf算法分為5個步驟：(1)t0時(shí)刻在軌道初始點(diǎn)附近尋找最近的一個鄰近點(diǎn)，用L(t0)表示初始點(diǎn)和鄰近點(diǎn)之間的距離；(2)在t1時(shí)刻這兩個點(diǎn)分別在基準(zhǔn)軌道和相鄰軌道上的距離演化為L'(t1)，計(jì)算這兩個點(diǎn)在t1時(shí)刻的距離L'(t1)與初始時(shí)刻的距離L(t0)的比值；(3)在t1時(shí)刻尋找滿足盡可能在相鄰軌道方向上，即θ角最小新的鄰近點(diǎn)，得到L(t1)；(4)在時(shí)刻t2重復(fù)第(2)步；(5)對上面的過程重復(fù)M次并計(jì)算指數(shù)比。從而得到Lyapunov指數(shù)的計(jì)算公式為

式中：?t=tk?tk?1，M為重復(fù)次數(shù)。L'(tk)和L(tk?1)代表歐拉距離。

在 Wolf算法中，取聲線反射路徑上與壁面碰撞的反射點(diǎn)作為計(jì)算數(shù)據(jù)，以反射路徑為基準(zhǔn)軌道，在相空間中構(gòu)建鄰近軌道，計(jì)算隨時(shí)間演化鄰近軌道和基準(zhǔn)軌道的分離指數(shù)，從而判斷基準(zhǔn)軌道是分離還是收斂。

通過計(jì)算，矩形空間Lyapunov指數(shù)為0。體育館模型中聲線系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)列于表2。表2中組1和組2模型的形狀有所改變，組1和組2中每個模型的形狀相同，尺寸以倍數(shù)增加。

表2 幾何形狀不同體育館模型中聲線系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)Table 2 Lyapunov exponents of ray systems in stadium model with various geometries

可以看到，當(dāng)幾何形狀確定時(shí)(模型1, 2, 3, 4)，長、寬、高比一定，Lyapunov指數(shù)相同；當(dāng)幾何形狀改變時(shí)(如模型1和模型5，長、寬不變，高度改變)，Lyapunov指數(shù)改變，因此可以得出，建筑空間幾何形狀決定著其中聲線系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)值。從表2中還可以看到，體育館模型的Lyapunov指數(shù)都大于 0，其聲線系統(tǒng)具有混沌特性。因此，體育館模型是一個有兩個正的 Lyapunov指數(shù)(EL)的超混沌結(jié)構(gòu)。體育館模型中聲線發(fā)生分離，而矩形空間中聲線收斂。

2 矩形空間和體育館模型中聲線位置和方向遍歷性

計(jì)算 Lyapunov指數(shù)時(shí)，通過時(shí)間序列考察三維矩形和體育館空間中聲線位置和方向的遍歷性。選取其中一個維度(z方向)來進(jìn)行分析，時(shí)間序列分布如圖3所示。

從圖3可以看出，在矩形空間中聲線系統(tǒng)的時(shí)間序列分布顯示出規(guī)律性，而體育館模型中聲線系統(tǒng)的時(shí)間序列有著不規(guī)則的分布。計(jì)算中選擇z方向，顯而易見，其余方向(x、y方向)聲線系統(tǒng)的時(shí)間序列分布也有同樣的規(guī)律。對于體育館模型中，由于存在兩個正的 Lyapunov指數(shù)，其聲線系統(tǒng)具有混沌特性；對于矩形空間，聲線系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為 0，聲線系統(tǒng)具有規(guī)則特性。雖然聲線系統(tǒng)時(shí)間序列分布特性不同，但在兩個空間中聲線最終充滿整個空間，即聲線反射有位置遍歷性。

圖3 三維矩形空間(a)和體育場模型空間(b)聲線路徑上等長度間隔100數(shù)據(jù)點(diǎn)的z值分布Fig.3 Distributions of z-values taken from 100 equally spaced points on the ray propagation paths for (a) rectangular space and (b) stadium model

再看兩個空間中聲線傳播的方向分布特性。以向量表示聲線的傳播方向，避免上述三種特殊反射情形，通過追蹤聲線反射路徑，可以得到，在3D矩形空間中，當(dāng)聲線的初始方向向量為(a,b,c)時(shí)，可以得到8種可能的傳播方向(a,b,c)，(a,?b,?c)，(a,?b,c)，(a,b,?c)，(?a,?b,?c)，(?a,?b,c)，(?a,b,?c)和(?a,b,?c)；在體育館模型空間中，用向量空間中一個點(diǎn)(*)表示聲線的一個方向向量。體育館模型中聲線反射 10 000次的方向向量在向量空間中x-y，y-z平面上的投影，如圖4所示。

可以看出，體育館模型空間中聲線的反射可能來自空間中不同的方向，即聲線具有方向遍歷性。由于混沌空間中聲線傳播在反射過程中趨于分離，具有初值敏感性，聲線行為趨于擴(kuò)散[13,15]。將聲線模型運(yùn)用到實(shí)際聲場中，矩形空間中聲線雖然有位置遍歷性卻沒有方向遍歷性，在某一方向來回反射容易產(chǎn)生聲缺陷，導(dǎo)致顫動回聲的產(chǎn)生。相反，體育館模型中聲線不但具有位置遍歷性，還有方向遍歷性。聲線反射可能來自數(shù)個不同的方向，在某一方向上集中的情況會減少。相對于形狀規(guī)則的矩形空間，體育館空間中聲線的反射由于指數(shù)分離而擴(kuò)散。體育館空間中由于聲線傳播有著位置和方向的遍歷性，從而能夠得到更為均勻的聲場。

圖4 體育場模型中聲線方向向量在(a) x-y平面和(b) y-z平面上的投影分布Fig.4 Projection distributions of the directional vectors on (a)the x-y plane and (b) the y-z plane in stadium model

3 ODEON仿真

采用仿真軟件ODEON分別對矩形空間和體育館空間聲場均勻性進(jìn)行計(jì)算仿真，對聲場進(jìn)行網(wǎng)格劃分，比較網(wǎng)格處聲壓級，考察聲場均勻性[16]。仿真中設(shè)置聲源為無指向性，壁面材質(zhì)為Odeon軟件材料庫中提供的編號102的光滑混凝土，其吸聲系數(shù)如表3所示。在軟件中設(shè)置聲線數(shù)為1 000，脈沖響應(yīng)為1 000 ms，不考慮空氣的影響，分別計(jì)算P1、P2處的聲源激發(fā)的多個網(wǎng)格平面聲壓級。

表3 壁面材質(zhì)吸聲系數(shù)Table 3 Absorption coefficient of wall material 102

4 結(jié)果與討論

對體育館模型的兩個柱面之間矩形空間和 3D矩形空間采用彩色網(wǎng)格計(jì)算多個維度平面并做整體對比。仿真計(jì)算了中心頻率 125～4 000 Hz時(shí)平面網(wǎng)格的聲壓級。圖5為3D矩形空間聲場分布，圖6為體育館的聲場分布。由于篇幅原因，只展示了500、1 000、4 000 Hz聲壓級分布圖。

圖5 不同位置聲源激發(fā)下(a) 500 Hz, (b) 1 000 Hz, (c) 4 000 Hz時(shí)3D矩形空間聲場分布Fig.5 Sound field distributions at (a) 500 Hz, (b) 1 000 Hz and (c) 4 000 Hz in 3D rectangular space under the excitations of the sources at different positions

圖6 不同位置聲源激發(fā)下(a) 500 Hz，(b) 1000 Hz，(c) 4 000 Hz時(shí)體育館模型聲場分布Fig.6 Sound field distributions at (a) 500 Hz, (b) 1 000 Hz and(c) 4 000 Hz in stadium model under the excitations of the sources at different positions

對比圖5和圖6，可以看到對于不同中心頻率，聲源附近有著較高的聲壓級。在遠(yuǎn)離聲源處，體育館的聲壓級差異小于矩形空間，即體育館聲場均勻性均好于矩形空間。當(dāng)聲源位置不同時(shí)，可以得到同樣的結(jié)論。

體育館模型中聲線行為基于去聚焦機(jī)理：聲線經(jīng)過柱面焦點(diǎn)后分離的長期行為抵消了柱面對聲線的聚焦作用。去聚焦機(jī)理解釋了體育館模型在遠(yuǎn)離焦點(diǎn)的矩形位置，比3D矩形空間有更好的聲場均勻性。從聲線模型可以看出，體育館空間中聲線的位置和方向具有遍歷性，聲場中聲能分布更為均勻。為方便計(jì)算，通過設(shè)置剛性光滑反射壁面得到較長的聲線傳播路徑，由于 Lyapunov指數(shù)描述幾何空間中聲線的動力學(xué)行為是聲線運(yùn)動的趨勢，需要注意的是，在足夠短的聲音路徑情況下，體育館模型的圓弧結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生聚焦。模型中多次反射是為了準(zhǔn)確計(jì)算Lyapunov指數(shù)，由于Lyapunov指數(shù)計(jì)算是針對空間幾何特性的定性描述，是聲線經(jīng)過多個壁面反射后發(fā)散的指數(shù)平均值，當(dāng) Lyapunov指數(shù)大于0時(shí)，混沌模型中聲線系統(tǒng)具有混沌特性，早期聲線反射經(jīng)過焦點(diǎn)后有發(fā)散的趨勢。因此，結(jié)論對圓弧結(jié)構(gòu)以外的矩形空間的觀眾席是適用的，對于圓弧結(jié)構(gòu)以內(nèi)的空間，聲音會產(chǎn)生聚焦。

附錄A中以Sinai空間為例，對基于去擴(kuò)散機(jī)理的混沌空間中聲線傳播特性進(jìn)行了探討，進(jìn)一步闡述混沌結(jié)構(gòu)對空間中聲場均勻性的作用。

5 結(jié) 論

通過對特殊體育館空間中聲線傳播路徑的研究，得出這類幾何形狀體育館模型聲線系統(tǒng)具有混沌特性，聲線傳播有著位置和方向的遍歷性。由于聲線運(yùn)動的混沌特性，體育館空間中聲線路徑趨于發(fā)散，聲場分布更加均勻。通過聲學(xué)軟件Odeon對體育館和矩形空間聲場仿真，得到相對于矩形空間，這類幾何形狀體育館空間有著更好的聲場均勻性。研究是對采用聲線混沌法研究聲場特性作用的補(bǔ)充，也為建筑聲學(xué)里探索聲場擴(kuò)散與空間幾何構(gòu)型的關(guān)系提供了啟發(fā)。

附錄A

Sinai空間也是一個具有兩個正Lyapunov指數(shù)的超混沌結(jié)構(gòu)，聲線系統(tǒng)的混沌行為基于擴(kuò)散機(jī)理，圖 A1為 Sinai空間中聲線傳播特性。圖 A2和圖A3同樣給出了Sinai空間中聲線傳播位置和方向遍歷性信息。

Sinai空間中聲線傳播位置信息如圖A2所示。

圖A1 擴(kuò)散的Sinai空間聲線反射Fig.A1 Ray motions in the Sinai spaces based on dispersion

圖A2 Sinai空間聲線路徑上等長度間隔100數(shù)據(jù)點(diǎn)的z值分布Fig.A2 Distributions of z-values taken from 100 equally spaced points on the ray propagation paths in the Sinai space

Sinai空間中聲線傳播方向信息如圖A3所示。

圖A3 Sinai空間中聲線方向向量在x-y平面(a)和y-z平面(b)上的投影分布Fig.A3 The angular distribution of the directional vectors projected onto the x-y plane (a) and the circular distribution of the directional vectors projected onto the y-z plane (b) in the Sinai space