巧用直線參數(shù)方程解圓錐曲線中的常見問題

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(寧波市職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校 浙江寧波 315040)

巧用直線參數(shù)方程解圓錐曲線中的常見問題

●陳健

(寧波市職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校 浙江寧波 315040)

已知過點(diǎn)P0(x0,y0)，傾斜角為θ的直線l的參數(shù)方程為

1 巧選t軸原點(diǎn)，解決定性問題

在用直線參數(shù)方程解題時(shí)，很多人想當(dāng)然地認(rèn)為P0(x0,y0)是“定點(diǎn)”，這樣在使用時(shí)會(huì)受到限制.其實(shí)“動(dòng)”與“靜”是相對(duì)的.在實(shí)際解題過程中，可以根據(jù)是否能簡(jiǎn)化運(yùn)算來靈活選擇P0(x0,y0)作為t軸的原點(diǎn)，這時(shí)點(diǎn)P0相對(duì)于l的任意點(diǎn)就是“定點(diǎn)”.

圖1

例1如圖1，點(diǎn)P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)部的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P且傾斜角互補(bǔ)的2條直線與拋物線分別交于點(diǎn)A,B,C,D，求證:∠ACD=∠ABD．

證明設(shè)直線AB，CD的傾斜角分別為α，β，則直線AB的參數(shù)方程為

設(shè)此方程的2個(gè)根為t1,t2,則

由參數(shù)t的幾何意義知

同理可得

因?yàn)橹本€AB，CD傾斜角互補(bǔ)，所以

sin2α=sin2β.

由式(1)，式(2)得

AP·BP=CP·DP，

點(diǎn)評(píng)雖然P(x0,y0)為任意點(diǎn)，但是點(diǎn)P為動(dòng)弦AB與CD所在直線的交點(diǎn)，由于2條弦的位置是固定的，從而點(diǎn)P也是相對(duì)固定的，這樣就可以選擇點(diǎn)P為t軸的原點(diǎn)，設(shè)立直線參數(shù)方程，巧妙地證明此類定性問題.若結(jié)合函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn),此方法還可以適用于解決最值問題.

2 巧用t1+t2=0，解決中點(diǎn)問題

圓錐曲線中有許多涉及中點(diǎn)和對(duì)稱性的問題，特別是存在性問題,條件比較開放，常常使學(xué)生很難入手.若用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義來解，則能順利切入題目，解法也較為簡(jiǎn)單.

解設(shè)過點(diǎn)B(1，1)的直線參數(shù)方程為

t2(2cos2α-sin2α)+2t(2cosα-sinα)-1=0.

(3)

由已知BQ1=BQ2得t1+t2=0,即

解得

sinα=2cosα，

此時(shí)式(3)簡(jiǎn)化為

t2(2cos2α-sin2α)-1=0.

若存在這樣的直線m,使得點(diǎn)Q1,Q2關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，則

而當(dāng)sinα=2cosα?xí)r，

故這樣的直線m不存在.

點(diǎn)評(píng)例2若按常規(guī)方法探討是否存在,消去參數(shù)后計(jì)算繁雜.現(xiàn)巧用t1+t2=0,使問題的解法“豁然開朗”,且運(yùn)算過程較為簡(jiǎn)潔.

3 巧用d=|t1-t2|，解決弦長(zhǎng)問題

直線與圓錐曲線相交形成的“弦長(zhǎng)及相關(guān)問題”是比較常見的一種題型.此類問題若用一般方法解答，則往往比較復(fù)雜且繁瑣；若能緊緊抓住直線參數(shù)方程中t的幾何意義來處理線段長(zhǎng)度問題,則能帶來極大的方便.

圖2

解設(shè)直線l的參數(shù)方程為

(1+sin2α)t2-2tcosα-1=0.

設(shè)點(diǎn)A,B所對(duì)的參數(shù)為t1,t2，其中

Δ=4cos2α+4(1+sin2α)=8>0,

且

不妨設(shè)|AE| ∶|EB|=2 ∶1，則t1=-2t2，從而

t1t2=-2(t1+t2)2，

因此

即

8cos2α=1+sin2α,

解得

從而

點(diǎn)評(píng)直線上有關(guān)線段長(zhǎng)度的問題,在直角坐標(biāo)系內(nèi)一般運(yùn)用距離公式

處理.在涉及多條線段且關(guān)系復(fù)雜時(shí)，利用直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為d=|t1-t2|，可將直角坐標(biāo)系內(nèi)的距離“一維化”，從而加快解決此類問題的速度.

4 巧用t的幾何意義，解決軌跡問題

圓錐曲線中還有一類問題是非常多見的，它就是“軌跡問題”.要用有限的條件去“捕捉”動(dòng)點(diǎn)的“萬(wàn)般”變化趨勢(shì)，特別是在“動(dòng)點(diǎn)”個(gè)數(shù)比較多時(shí)，要建立關(guān)系式是比較困難的.下面介紹怎樣用直線參數(shù)方程中的幾何意義來處理此類問題.

圖3

例4如圖3，已知直線y=2x+m和雙曲線x2-y2=1交于點(diǎn)A,B，P是這條直線上的點(diǎn)，且滿足條件|PA|·|PB|=5.當(dāng)m變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.

解設(shè)P(x0,y0)，直線y=2x+m的參數(shù)方程為

即

將y=2x+m代入x2-y2=1得

3x2+4mx+m2+1=0.

因?yàn)橹本€與雙曲線有2個(gè)不同的交點(diǎn)，所以

Δ=(4m)2-12(m2+1)>0，

解得

點(diǎn)評(píng)巧設(shè)P(x0,y0)為t軸原點(diǎn)，設(shè)立直線參數(shù)方程，雖然此題看似有3個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”比較難于解答，但利用t的幾何意義“以靜制動(dòng)”，達(dá)到了出其不意的解題效果.

總之，運(yùn)用直線的參數(shù)方程解圓錐曲線中的幾類題,可使有些看似復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單.同時(shí)這類解題方法思路清晰,可操作性強(qiáng)，學(xué)生容易掌握，并可進(jìn)一步提高學(xué)生綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何三角函數(shù)知識(shí)的能力,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,拓展學(xué)生思維能力.教師在教學(xué)過程中能對(duì)直線的參數(shù)方程作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充與滲透,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)視野的拓寬、探索能力的培養(yǎng)能起到較大的幫助.

[1] 彭耿玲.巧用直線的參數(shù)方程解題例說[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2009(8)：30-32.

[2] 朱斌.新課標(biāo)下直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的應(yīng)用(高三)[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2009(6)：47-49.

[3] 歐陽(yáng)先博.淺談直線標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程化二維為一維的解題功能[J].數(shù)學(xué)通訊，2000(10)：10-11.

[4] 高凱.直線的參數(shù)方程在圓錐曲線中的應(yīng)用[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)).2011(3):29-30.