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    捕捉高考共鳴點(diǎn) 把握高考新動(dòng)向——高考整數(shù)題盤點(diǎn)

    2012-11-06 08:01:57
    關(guān)鍵詞:整點(diǎn)偶數(shù)理科

    (浬浦中學(xué) 浙江諸暨 311824)

    捕捉高考共鳴點(diǎn)把握高考新動(dòng)向——高考整數(shù)題盤點(diǎn)

    ●王蘇文

    (浬浦中學(xué) 浙江諸暨 311824)

    很多省份都實(shí)行了高考獨(dú)立命題,各省的高考試卷中常出現(xiàn)一些共鳴點(diǎn),如2011年的高考卷中有幾份試卷都出現(xiàn)了有關(guān)整數(shù)問題的試題.整數(shù)問題在高中數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常遇到,在高考試卷中出現(xiàn)較少.在這么多的省份中尤為突出的是陜西省和安徽省,陜西省已連續(xù)2年出現(xiàn)與整數(shù)有關(guān)的試題,安徽省同一份試卷出現(xiàn)了2道與整數(shù)有關(guān)的試題,著實(shí)讓高考試題在橫向、縱向上都形成了共鳴.根據(jù)這些高考整數(shù)題,筆者大致將其分為3類:整點(diǎn)類、方程類、條件類.

    1 整點(diǎn)類

    整點(diǎn)類問題在解析幾何中是一種常見題型,如直角坐標(biāo)系下的整數(shù)點(diǎn)、線性規(guī)劃中符合條件的整數(shù)解等.整點(diǎn)具有特殊性,我們正好利用這個(gè)特殊性進(jìn)行解答,如排除法.

    例1設(shè)A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).記N(t)為ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn),則函數(shù)N(t)的值域?yàn)?/p>

    ( )

    A.{9,10,11} B.{9,10,12}

    C.{9,11,12} D.{10,11,12}

    (2011年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

    例2在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn),下列命題中正確的是____________(寫出所有正確命題的編號(hào)).

    ①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn);

    ②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn);

    ③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過2個(gè)不同的整點(diǎn);

    ④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是k與b均為有理數(shù);

    ⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線.

    (2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析考查直線方程,同時(shí)也考查了邏輯推理能力,難度較大.

    y1-y2=k(x1-x2),

    故點(diǎn)(x1-x2,y1-y2)也在直線y=kx上,即直線y=kx經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn).將y=kx上下平移得到y(tǒng)=kx+b,從而直線y=kx+b也經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn),故③正確.

    因?yàn)閗與b都是有理數(shù),所以直線y=kx+b不一定經(jīng)過整點(diǎn),故④錯(cuò)誤.

    例3設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組

    若x,y為整數(shù),則3x+4y的最小值是

    ( )

    A.14 B.16 C.17 D.19

    (2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    圖1

    分析該題考查線性規(guī)劃中的最優(yōu)問題,與一般題目的區(qū)別是x與y均取整數(shù).如圖1所示,可畫出不等式所在的區(qū)域,不難看出3x+4y在(4,1)處取到最小值.故選B.

    點(diǎn)評(píng)此類整點(diǎn)問題??刹捎镁W(wǎng)格法(直角坐標(biāo)系下畫出網(wǎng)格)、平移調(diào)整法(平移至對(duì)應(yīng)的最優(yōu)位置)、估算法(取一些特殊量進(jìn)行計(jì)算)得到正確的結(jié)論.

    2 方程類

    方程類問題通常與方程有關(guān),針對(duì)不同的問題,如何進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵,往往先要了解求根的過程,然后再去挖掘解決問題的方法.

    例4設(shè)n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=________.

    (2011年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析該方程要求整數(shù)根,且方程的各個(gè)系數(shù)均為整數(shù),故判別式必須為完全平方數(shù)才可能成立.可直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算,然后用完全平方數(shù)與整除進(jìn)行判斷和計(jì)算.

    解由求根公式得

    又因?yàn)閚∈N+,可取n=1,2,3,4,驗(yàn)證可知,n=3,4符合題意;反之當(dāng)n=3,4時(shí),可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根.故所求n的值為3,4.

    變形已知函數(shù)f(x)=ax2+(4a+2)x+4a-6,則使函數(shù)f(x)至少有一個(gè)整數(shù)零點(diǎn)的所有正整數(shù)a的值之和等于

    ( )

    A.8 B.20 C.26 D.28

    (該題除了采用例4的方法之外,還可用數(shù)形結(jié)合、反解a求x的范圍等方法求解.)

    (1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2處取得最小值為-5,求f(x)的解析式;

    (2)如果m+n<10(m,n∈N+),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù),試求m和n的值(注:區(qū)間(a,b)的長度為b-a).

    (2011年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題)

    分析第(1)小題略.第(2)小題的實(shí)質(zhì)是f′(x)=0的2個(gè)實(shí)數(shù)根的差為整數(shù),但不等價(jià)于2個(gè)根為整數(shù),故求解中不能混淆.

    f′(x)=x2+2mx+n<0.

    由于遞減區(qū)間的長度是正整數(shù),故可設(shè)f′(x)=x2+2mx+n=0的2個(gè)實(shí)數(shù)根為a,b(b>a),由韋達(dá)定理得

    區(qū)間長度

    因?yàn)閙,n∈N+,m+n<10,且b-a為整數(shù),所以

    點(diǎn)評(píng)求解此類問題的關(guān)鍵是抓住方程根的思想,滿足整數(shù)所需條件該如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合平時(shí)所學(xué)整數(shù)解的有關(guān)方法進(jìn)行解答.

    3 條件類

    條件類問題所給條件中的一些量是整數(shù),要求在解答過程注意量所取的范圍,有時(shí)正因?yàn)闂l件的特殊性,使問題得以簡化.

    例6命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是

    ( )

    A.所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)

    B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)

    C.存在一個(gè)不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)

    D.存在一個(gè)能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù)

    (2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析該題考查全稱命題的否定.把全稱量詞改為存在量詞,并把結(jié)果否定.故選D.

    例7設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集,如果任意a,b∈S有ab∈S,則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T,V是Z的2個(gè)不相交的非空子集,T∪V=Z且任意a,b,c∈T,有abc∈T;任意x,y,z∈V,有xyz∈V,則下列結(jié)論恒成立的是

    ( )

    A.T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

    B.T,V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

    C.T,V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

    D.T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的

    (2011年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析該題主要考查基本邏輯、推斷能力,可用排除法判斷.故選A.

    例8設(shè)m,k為整數(shù),方程mx2-kx+2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個(gè)不同的根,則m+k的最小值為

    ( )

    A.-8 B.8 C.12 D.13

    (2011年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析該題前半部分考查二次方程根的分布為主,后半部分考查類似于線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題.

    解由題意得到下列不等式組

    且m,k為大于0的整數(shù),求m+k的最小值.可利用整點(diǎn)類問題的求解方法進(jìn)行解答.余下部分略,答案為D.

    例9某學(xué)校要招開學(xué)生代表大會(huì),規(guī)定各班每10人推選1名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選1名代表.那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為

    ( )

    (2010年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析該題的關(guān)鍵是取整的處理.

    方法1特殊值法.令x=56,y=5,排除選項(xiàng)C,D;令x=57,y=6,排除選項(xiàng)A.故選B.

    方法2設(shè)x=10m+α(0≤α≤9).

    當(dāng)0≤α≤6時(shí),

    當(dāng)6<α≤9時(shí),

    點(diǎn)評(píng)求解此類問題的關(guān)鍵是如何對(duì)不可忽視的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化和應(yīng)用.這類題目可利用條件的特殊性(整數(shù))取特別元素進(jìn)行判斷,故??捎门懦ㄇ蠼?

    在本文中例舉的高考整數(shù)類問題只是一個(gè)契機(jī),關(guān)鍵是從高考卷中去發(fā)現(xiàn)問題,找出試卷的共鳴點(diǎn),為今后的高考復(fù)習(xí)提供一個(gè)新的方向,但切不可盲目地去挖掘,要做到不離教材,不離大綱.

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