下積分在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用

沈 君，李雪非，馮慧敏

(1.海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南 海口，571158;2.河北農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河北保定，071000;3.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，河北保定，071000)

引 言

近年來，模糊數(shù)學(xué)在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛，很多醫(yī)學(xué)工作者借助模糊綜合評價方法對醫(yī)療質(zhì)量進(jìn)行評價[1][2][3]。用模糊決策模型診斷疾病具有直觀、簡便優(yōu)點，但它的假設(shè)前提是疾病各癥狀相互獨立，這顯然是不合理的，因為治療中患者發(fā)病原因、癥狀及體征等許多因素具有不確定性。如帕金森病(又稱震顫麻痹)是中老年人中樞神經(jīng)系統(tǒng)某些神經(jīng)元細(xì)胞出現(xiàn)退性或變性引發(fā)的一種疾病，主要表現(xiàn)為肢體震顫、運動遲緩、僵直，有的病人還會出現(xiàn)呆癡，流口水，吞咽困難，肢體疼痛等。帕金森病癥的一些外部表現(xiàn)特征，比如肢體震顫、運動遲緩、僵直等，與病毒性腦炎，老年性震顫，以及小腦病變引起震顫等疾病很相似，難以區(qū)分。帕金森病在早期和晚期通過腦CT和核共振檢查并沒有特征性變化，到目前為止還沒有特別的儀器和化驗方法能確診這種疾病，只能通過醫(yī)生檢查粗略判斷。

看這條模糊推理規(guī)則:“如果病人有癥狀A(yù)，B，C和D，那么就斷定得了帕金森病”。通過醫(yī)學(xué)知識還知道，在確定是否得帕金森病時，癥狀C，D比A，B更重要，也就是說病人出現(xiàn)癥狀C或D比出現(xiàn)癥狀A(yù)或B得帕金森病的可能性更大。但病人同時出現(xiàn)癥狀C和D比同時出現(xiàn)病癥A和B得帕金森病的可能性又要小。

根據(jù)上述信息得到下式:

max{Lw(A)，Lw(B)} ＜ min{Lw(C)，Lw(D)}

如果不考慮癥狀之間交互性，按照簡單加權(quán)方法，又有下面式子:

Lw(A，B)=Lw(A)+Lw(B)，Lw(C，D)=Lw(C)+Lw(D)

這樣就不能把“同時出現(xiàn)癥狀C和D比同時出現(xiàn)癥狀A(yù)和B得帕金森病的可能性小”這個信息表示出來，導(dǎo)致判斷時候出現(xiàn)失誤。

由于疾病癥狀之間交互性，導(dǎo)致模糊產(chǎn)生式規(guī)則之間也是有交互影響的。比如說，

規(guī)則1.IF(屬性 A=尿多)and(屬性 B=血糖升高)THEN可能得糖尿病

規(guī)則2.IF(屬性C=體重減輕)and(屬性D=心動過速)THEN可能得糖尿病

規(guī)則3.IF(屬性 A=尿多)and(屬性 E=食欲亢進(jìn))THEN可能得糖尿病

規(guī)則1和規(guī)則2相互作用，增強了感染糖尿病的可能性，而規(guī)則2和規(guī)則3相互作用則削弱了感染糖尿病的可能性，因為規(guī)則2和規(guī)則3也更像是感染了甲亢。

在醫(yī)學(xué)中，針對某種疾病，根據(jù)它的發(fā)病原因、相關(guān)癥狀及其體征，可以抽取出模糊產(chǎn)生式規(guī)則，這些規(guī)則不僅有不同的重要性，而且還可能會存在交互影響。當(dāng)模糊規(guī)則之間的交互作用不能忽略的時候，用模糊積分作為融合算子是一個很好的選擇。近年來，許多研究者用模糊積分處理疾病間的這種交互作用[4][5]，收到了較好效果。用模糊積分處理交互作用的關(guān)鍵問題是模糊測度的確定，模糊測度不僅可以表示每條規(guī)則的重要度，還可以表示出規(guī)則之間的交互作用。已有不少學(xué)者在模糊測度確定方面進(jìn)行了深入有效探討，提出了一些確定模糊測度的方法[6][7][8]，但是如何才能確定合適的模糊測度仍然是一件很麻煩的工作。文章討論下積分在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用，側(cè)重于解決醫(yī)學(xué)上疾病的分類問題。在這里每一條規(guī)則可以看成是一個分類器。

文章從如何有效提高模糊規(guī)則融合效果底限的角度出發(fā)，提出一種基于下積分的融合方法。該方法將各個模糊規(guī)則組合的分類正確率作為效率測度，避免了確定模糊測度這一復(fù)雜問題。下積分不再只是普通模糊積分中融合算子的作用，借助下積分將待識別樣例在各個規(guī)則及其組合之間合理分配，達(dá)到利用有限資源提高融合效率底限作用，通過求解關(guān)于下積分優(yōu)化問題，得到樣例在各規(guī)則及其組合之間優(yōu)化分配方案(即各規(guī)則組合應(yīng)對多大比例的樣例進(jìn)行分類)。當(dāng)有一批新的樣例需要分類時，不再需要所有規(guī)則都參與進(jìn)來進(jìn)行分類，而是用得到的優(yōu)化分配方案，用對應(yīng)規(guī)則組合對其進(jìn)行分類。規(guī)則之間交互作用最大程度提高了融合系統(tǒng)中分類效率底限。

一 模糊測度和模糊積分

定義1[9]:設(shè)X是任意一個集合，Ω是X上的σ－代數(shù)，定義在Ω上的集函數(shù)μ:Ω→[0，1]稱為模糊測度，必須滿足以下條件:

(1)μ(?)=0，μ(X)=1(正則性)

(2)μ(A)≥0，?A∈Ω，(非負(fù)性)

(3)μ(A)≤μ(B)，?A，B?Ω，A?B.(單調(diào)性)

當(dāng)μ滿足1和2時，稱其為效率測度。模糊測度和效率測度都是非負(fù)集函數(shù)。

基于模糊測度的最常用積分有Choquet積分和Sugeno積分，Choquet積分是一種線性積分，是由勒貝格積分發(fā)展來的，如果交互作用不存在，Choquet積分就蛻變?yōu)槔肇惛穹e分。

定義2[9]:設(shè) f:X→[0，+ ∞]，μ 是定義在 X上的模糊測度，f關(guān)于μ的Choquet模糊積分定義為:

其中Fα={x|f(x)≥α，x∈X}.

設(shè)有定義在集合 X上的函數(shù) f:X→[0，+∞]，則函數(shù)f關(guān)于模糊測度μ的下積分定義[10]如下:

其中aj≥0，Aj= ∪i:ji=1{xi}，j的二進(jìn)制串表達(dá)式記為 jnjn－1…j1，j=1，2，…2n－ 1.

下積分的值可以通過求解以 a1，a2，…，a2n－1為變量的線性優(yōu)化問題得到。aj≥0，j=1，2，…2n－ 1

其中，μj= μ(Aj)，j=1，2，…2n－ 1.

下積分和其他模糊積分一樣不滿足線性性質(zhì)，所以用它作為融合算子能體現(xiàn)出模糊規(guī)則之間交互作用。

二 下積分在醫(yī)學(xué)上的分類研究

(一)基于下積分的融合方法

下積分定義里蘊含著一種優(yōu)化機制。在模糊規(guī)則融合過程中，下積分代表把一批測試樣例在各個模糊規(guī)則組合間進(jìn)行分配時，融合系統(tǒng)融合效率的底限，體現(xiàn)了最保守的融合效率。對于此，提出基于下積分的模糊規(guī)則融合分類方法。

冪集P(X)中每一個元素表示一個模糊規(guī)則組合，每條規(guī)則代表一個分類器，若有n條規(guī)則，則共有2n－1種組合方式，即有2n－1個分類器。例如{x1}表示單個規(guī)則，{x1，x2}表示兩條規(guī)則一起工作，其中每個規(guī)則都有分類精度，借助融合算子對它們的分類結(jié)果進(jìn)行整合，融合算子可以是平均、加權(quán)平均，也可以是取大取小等。如果組合中只有一條模糊規(guī)則，則直接計算正確率;如果組合中包含多條規(guī)則，要先用融合算子對多條規(guī)則分類結(jié)果進(jìn)行融合，再計算由它們組合得到的分類精度，各規(guī)則及其組合的分類精度可以看成是(X，P(X))上的效率測度μ，直觀體現(xiàn)出各規(guī)則重要度和它們之間交互作用。

建立分類效率底限模型:

其中bi是j的二進(jìn)制表達(dá)式bnbn－1…b1中的第i位，j=1，2，…2n－1，aj所對應(yīng)的規(guī)則組合為{xk|bk=1，bnbn－1…b1是j的二進(jìn)制表式，k=1，2，…，n}。這里的兩個約束條件分別表示各規(guī)則只能夠?qū)φ_分類的樣例分類，一個樣例只能被一個規(guī)則組合分類。

通過求解，此優(yōu)化模型可以得到使待識別樣例得到較高分類精度的分配方案。進(jìn)行分類時，按照所求最優(yōu)解把樣例分成幾個不相交子集，每一個樣例子集由一個模糊規(guī)則組合進(jìn)行分類，不用所有模糊規(guī)則都參與進(jìn)來，這是和普通積分不一樣的地方。哪些樣例在同一子集呢?應(yīng)該是能夠被同一規(guī)則組合正確分類的樣例。但是對于未知樣例，這一點很難做到。為解決這個問題，要預(yù)測模糊規(guī)則，看預(yù)測的模糊規(guī)則組合可對哪些樣例進(jìn)行正確分類，就把這些樣例分給這個組合去分類。同一個分類器組合可把樣例分成兩類，即正確分類樣例和錯誤分類樣例。利用這兩類樣例預(yù)測分類器，確定哪些樣例適合在同一個分類器組合中分類。

(二)醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)的試驗結(jié)果

我們選用醫(yī)學(xué)中常用的Pima India diabetes data(妊娠期糖尿病) 和 Breast Cancer[12](乳腺癌)來檢驗下積分的分類融合效果。Pima India diabetes data是一個診斷是否患糖尿病的兩類問題的數(shù)據(jù)庫，里面有768個事例，其中268個正例，500個負(fù)例，有8個數(shù)值型的屬性值。Breast Cancer是一個是否得乳腺癌的兩類問題的數(shù)據(jù)庫，里面有499個事例，其中258個正例，241個負(fù)例，有10個數(shù)值型的屬性值。

每個數(shù)據(jù)集被隨機分成兩部分，70%作為訓(xùn)練樣例，30%作為測試樣例。在這里用模糊ID3抽取模糊產(chǎn)生式規(guī)則。通過求解可以得到使融合系統(tǒng)分類效率達(dá)到最大的樣例分配比例，對分配比例不為零的模糊規(guī)則進(jìn)行組合，形成預(yù)測規(guī)則組合。50次試驗測試集上的平均分類正確率如下表:

Table1.The result of experiment表1 實驗結(jié)果

由表1可以看出，基于上面兩個數(shù)據(jù)庫，下積分融合的正確率高于普通積分，試驗驗證了基于下積分的融合方法的可行性和有效性，同時說明了疾病癥狀之間交互作用的存在性，考慮這種交互性可以提高診斷準(zhǔn)確度。

[1]劉濤，付君，鄧平基.基于熵權(quán)模糊積分的醫(yī)療質(zhì)量綜合評價[J].中國衛(wèi)生統(tǒng)計，2010(5).

[2]高麗娟.To PSIS法對醫(yī)院醫(yī)療質(zhì)量管理的綜合評價[J].中國衛(wèi)生統(tǒng)計，2007(3).

[3]甘琴霞.模糊數(shù)學(xué)在中醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)展[J].江蘇中醫(yī)藥，2007(1).

[4]張彩坡.模糊積分及多分類器融合在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用[D].天津:天津理工大學(xué)，2010.

[5]吳志龍.改進(jìn)的模糊遺傳算法在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用和研究[D].天津:天津理工大學(xué)，2010.

[6]Michel Grabisch，Jean － Marie Nicolas.Classification by Fuzzy Integral:Performance and Tests[J].Fuzzy Sets and Systems，1994(65).

[7]Zhenyuan Wang，Kwong－sak Leung，Jia Wang.A Genetic Algorithm for Determining Non Additive Set Function in Information Fusion[J].Fuzzy Sets and Systems，1999(102).

[8]Zhenyuan Wang，Wenye Li，Kwong － sak Leung.Integration on Finite Sets[J].International Journal of Intelligent Systems，2006(21).

[9]王熙照等.模糊測度和模糊積分及在分類技術(shù)中的應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，2008.

[10]Zhenyuan Wang.Kwong － Sak Leung.Jia Wang.Low Integrals and Upper Integrals with Respect to Non Additive Set Functions[J].Fuzzy Sets and Systems，2008(159).

[11]沈君.用特殊結(jié)構(gòu)的模糊測度表示規(guī)則間的交互作用[D].石家莊:河北大學(xué)，2006.

[12]Theories.ftp://ftp.ics.uci.edu/pub/machine － learning data base，2005.