基于藤結(jié)構(gòu)Copula的多元信用風(fēng)險相關(guān)性度量模型及其比較

羅長青，歐陽資生

（1.湖南商學(xué)院 財政金融學(xué)院，湖南 長沙 410082； 2.湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院，湖南 長沙 410082）＊

一、引 言

現(xiàn)代金融信用風(fēng)險具有易傳染性特征，信用風(fēng)險的爆發(fā)往往呈現(xiàn)出非線性擴(kuò)散的現(xiàn)象，當(dāng)信用風(fēng)險事件處于不可控制的狀態(tài)時，以商業(yè)銀行為中樞的金融體系乃至經(jīng)濟(jì)體系會面臨較大的系統(tǒng)性風(fēng)險，如若應(yīng)對不力，便會爆發(fā)金融危機(jī)和經(jīng)濟(jì)危機(jī)。商業(yè)銀行如果只考慮單一的信用風(fēng)險事件已經(jīng)不能適應(yīng)外部復(fù)雜的經(jīng)營環(huán)境變化，“你中有我，我中有你”的信用風(fēng)險相關(guān)或傳染，使得考慮信用風(fēng)險之間的相關(guān)性，特別是極端風(fēng)險事件下的相關(guān)性，實(shí)施信貸組合管理成為了商業(yè)銀行風(fēng)險管理的一種發(fā)展趨勢。隨著Basel II的正式公布，有關(guān)信用風(fēng)險相關(guān)性度量模型的構(gòu)建及管理的專業(yè)技巧，已成為商業(yè)銀行和其他金融機(jī)構(gòu)十分重視的議題。

由于信貸組合管理越來越受到重視，國內(nèi)外學(xué)者開始對信用風(fēng)險相關(guān)性進(jìn)行了理論和實(shí)證上的探討。Wu在度量一籃子信用組合風(fēng)險的過程中運(yùn)用了因素Copula模型［1］。Crook和 Moreira則運(yùn)用Copula函數(shù)，使用不對稱相關(guān)性對信用組合的風(fēng)險進(jìn)行了分析［2］。劉久彪以預(yù)期短缺ES度量信用組合風(fēng)險，利用t–copula建模債務(wù)人的風(fēng)險相關(guān)性，提出了一種確定信用組合一致性風(fēng)險量度ES的方法［3］。詹原瑞、韓鐵和馬珊珊以及童中文和何建敏分別運(yùn)用不同的Copula函數(shù)對信用衍生產(chǎn)品中的違約風(fēng)險相關(guān)性進(jìn)行了建模，并通過模擬的方式驗(yàn)證了模型的有效性和可實(shí)現(xiàn)性［4，5］。蘇靜和杜子平結(jié)合Copula函數(shù)與KMV模型相結(jié)合對商業(yè)銀行組合信用風(fēng)險進(jìn)行了度量［6］。彭建剛和呂志華提出了行業(yè)風(fēng)險因子之間是相互關(guān)聯(lián)的Credit Risk＋模型［7］。梁凌、彭建剛和王修華建立了抵押品池綜合違約損失率的計(jì)算模型［8］。熊正德和冷梅則對信用風(fēng)險傳染現(xiàn)象進(jìn)行了描述［9］。已有研究大多運(yùn)用二元Copula模型，從模擬角度或?qū)嵶C角度對信貸資產(chǎn)的信用風(fēng)險二元相關(guān)性進(jìn)行了探討，而對信貸資產(chǎn)高維相關(guān)性的探討相對較少。

在商業(yè)銀行信貸風(fēng)險管理以及在信貸資產(chǎn)證券化過程中，信貸資產(chǎn)通常是多元的，二維Copula模型雖然能夠在一定程度上描述信貸組合的風(fēng)險狀況，但并不能描述多資產(chǎn)的相依結(jié)構(gòu)，因此需要引入高維Copula模型。然而，高維Copula模型在構(gòu)建過程中參數(shù)較多、計(jì)算復(fù)雜。本文引入Bedford和Cooke提出的藤結(jié)構(gòu)分解模式［10，11］，對多元 Copula模型來進(jìn)行分解和參數(shù)估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)對多元信用風(fēng)險相關(guān)性的建模。

二、行業(yè)信用風(fēng)險的度量及藤結(jié)構(gòu)設(shè)定

以行業(yè)分析為基礎(chǔ)來構(gòu)建和優(yōu)化信貸組合既能滿足信貸組合管理的要求，又能提高管理的效率，也符合當(dāng)前國內(nèi)外商業(yè)銀行管理的現(xiàn)實(shí)狀況。而以行業(yè)為基礎(chǔ)來構(gòu)建信用風(fēng)險相關(guān)性度量模型，首先需要構(gòu)建行業(yè)信用風(fēng)險指數(shù)，而對行業(yè)信用風(fēng)險指數(shù)的構(gòu)建需要對單個企業(yè)的信用風(fēng)險進(jìn)行評價，本文運(yùn)用組合評價模型來評估單個企業(yè)的信用風(fēng)險，限于文章篇幅，在此只描述模型構(gòu)建思路（參見圖1）。以企業(yè)首次被ST作為違約事件發(fā)生的標(biāo)志，選擇深、滬兩交易所首次被進(jìn)行特別處理的ST公司，同時在同行業(yè)中選取資產(chǎn)最為接近的非ST公司作為配對樣本進(jìn)行建模。上市公司的行業(yè)分別為電力、煤氣及水的生產(chǎn)和供應(yīng)業(yè)，批發(fā)和零售貿(mào)易業(yè)，石油、化學(xué)、塑膠、塑料業(yè)，信息技術(shù)業(yè)等4個行業(yè)，它們分別作為強(qiáng)周期型行業(yè)、防御型行業(yè)、弱周期型行業(yè)以及成長型行業(yè)的代表，分別以第I，II，III和第IV類行業(yè)來表示。各類模型的權(quán)重參數(shù)（w1，w2，w3）如表1所示。本文參考劉盛宇等人的研究，建立組合預(yù)測模型［12］。

圖1 信用風(fēng)險組合評價模型的構(gòu)建思路

從總的預(yù)測精度來看（如表1所示），相對于MDA模型、SVM模型以及KMV模型，Hybrid模型的預(yù)測精度較高，除電力、煤氣及水的生產(chǎn)和供應(yīng)業(yè)，食品飲料行業(yè)以外，其它行業(yè)的預(yù)測準(zhǔn)確率均超過了80%，這反映了Hybrid模型在評價企業(yè)信用風(fēng)險，尤其是上市公司信用風(fēng)險方面具有較好的性能。

表1 Hybrid模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果及預(yù)測錯誤率（分行業(yè)）

運(yùn)用Hybrid模型估算出單個上市公司的違約風(fēng)險之后，運(yùn)用下式計(jì)算行業(yè)信用風(fēng)險中的指數(shù)：

其中，Cri為某一行業(yè)的信用風(fēng)險，xi和X分別為單個企業(yè)的總資產(chǎn)和樣本企業(yè)的總資產(chǎn)之和，n為行業(yè)內(nèi)樣本企業(yè)的家數(shù)，fri為單個企業(yè)的信用風(fēng)險大小。di和D分別為單個企業(yè)的負(fù)債和樣本企業(yè)的負(fù)債之和。行業(yè)信用風(fēng)險的計(jì)算期限為2006年6月～2010年12月，數(shù)據(jù)周期為2個星期。四大行業(yè)的信用風(fēng)險如圖2所示。

圖2 行業(yè)信用風(fēng)險趨勢圖

考慮到信用風(fēng)險相關(guān)性的非線性和非對稱特點(diǎn)，本文采用Copula函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。對于Copula函數(shù)的分解模式，則以藤結(jié)構(gòu)的方式來分解。在對多元信用風(fēng)險相關(guān)性度量模型中采用Canonical藤和D藤兩類分解結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)對多元Copula模型的分解。

三、Canonical藤結(jié)構(gòu)下的參數(shù)估計(jì)及信用風(fēng)險相關(guān)性度量

Clayton Copula函數(shù)能較好地刻畫下尾相關(guān)的特點(diǎn)，所以，在構(gòu)建多元Copula函數(shù)的過程中，選擇以Clayton Copula函數(shù)為基準(zhǔn)：

分別以DL（電力、煤氣及水的生產(chǎn)和供應(yīng)業(yè)）、PF（批發(fā)、零售、貿(mào)易業(yè)）、SH（石油、化學(xué)、塑膠、塑料）以及XX（信息技術(shù)業(yè)）來代表第I，II，III和第IV類行業(yè)來構(gòu)建信用風(fēng)險相關(guān)性度量的多元Copula模型，在Canonical藤分解結(jié)構(gòu)下，多元Copula函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)f（x1，x2，x3，x4）為：

式（3）中的每個Pair Copula密度函數(shù)都可以分解為一個二元Copula密度函數(shù)和邊緣分布密度函數(shù)的乘積，如下所示：

條件分布函數(shù)F（x｜v），可以通過下式來求得：

Canonical藤下的對數(shù)似然函數(shù)為：

其中，j表示樹的個數(shù)，i表示每棵樹中的結(jié)點(diǎn)的個數(shù)，θ代表多元Copula密度函數(shù)的參數(shù)集。

在Canonical藤結(jié)構(gòu)的分解模式下，多元聯(lián)合密度函數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)參數(shù)的初值求解過程如下：

步驟1：根據(jù)信用風(fēng)險數(shù)據(jù)計(jì)算多元Copula密度函數(shù)的初值：c12（（F（x2），F(xiàn)（x1））；c13（（F（x3），F(xiàn)（x1））；c14（（F（x4），F(xiàn)（x1））。

步驟2：根據(jù)f（x1，x2）＝c12（F（x2），F(xiàn)（x1））f（x1）f（x2）以及步驟1中的初值，來計(jì)算信用風(fēng)險的樣本數(shù)據(jù)，其中：

步驟3：利用步驟2中求得的F（x2｜x1），F(xiàn)（x3｜x1），F(xiàn)（x4｜x1）估計(jì)第二層次的多元Copula函數(shù)的參數(shù)值c23｜1（F（x2｜x1），F(xiàn)（x3｜x1））；c24｜1（F（x3｜x1），F(xiàn)（x4｜x1））。

步驟4：重復(fù)以上步驟，估計(jì)Canonical藤結(jié)構(gòu)中的所有參數(shù)值（結(jié)果參見表2）。

表2 Canonical藤結(jié)構(gòu)下的多元Clayton Copula模型估計(jì)

四、D藤結(jié)構(gòu)下的參數(shù)估計(jì)及信用風(fēng)險相關(guān)性度量

D藤結(jié)構(gòu)的分解模式下，Copula函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)f（x1，x2，x3，x4）：

D藤下的對數(shù)似然函數(shù)為：

其中，j表示樹的個數(shù)，i表示每棵樹中的結(jié)點(diǎn)的個數(shù)，θ代表多元Copula密度函數(shù)的參數(shù)集。

D藤結(jié)構(gòu)下的多元聯(lián)合密度函數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)參數(shù)的初值求解過程如下：

步驟1：根據(jù)信用風(fēng)險數(shù)據(jù)計(jì)算多元Copula密度函數(shù)的初值：c12（（F（x2），F(xiàn)（x1））；c23（（F（x3），F(xiàn)（x2））；c34（（F（x4），F(xiàn)（x34））。

步驟2：根據(jù)f（x1，x2）＝c12（F（x2），F(xiàn)（x1））f（x1）f（x2）以及步驟1中的初值，來計(jì)算信用風(fēng)險的樣本數(shù)據(jù)，其中：

步驟3：利用步驟2中求得的F（x2｜x1），F(xiàn)（x3｜x2），F(xiàn)（x4｜x3）估計(jì)第二層次的多元Copula函數(shù)的參數(shù)值c13｜1（F（x3｜x1），F(xiàn)（x1｜x1））；c24｜3（F（x2｜x3），F(xiàn)（x4｜x3））。

步驟4：重復(fù)以上步驟，估計(jì)D藤結(jié)構(gòu)中的所有參數(shù)值（結(jié)果參見表3）。

表3 D藤結(jié)構(gòu)下的多元Clayton Copula模型估計(jì)

五、模型的比較及分析

從模型參數(shù)估計(jì)的t檢驗(yàn)來看，多元Clayton Copula函數(shù)的擬合效果較好，兩種藤結(jié)構(gòu)的Copula模型都有一定的合理性，為了得到最佳的變量邏輯分解結(jié)構(gòu)，運(yùn)用AIC和BIC準(zhǔn)則來進(jìn)行檢驗(yàn)Canonical藤和D藤分解結(jié)構(gòu)。

當(dāng)存在某一關(guān)鍵變量作為主導(dǎo)變量時，Canonical藤的統(tǒng)計(jì)性能較優(yōu)，當(dāng)變量相依結(jié)構(gòu)并不存在主導(dǎo)變量時，則相對適宜用D藤結(jié)構(gòu)的分解模式。將兩類模型相比較可以發(fā)現(xiàn)，適用于Canonical藤結(jié)構(gòu)的Pair Copula模型的AIC和BIC均小于D藤結(jié)構(gòu)的AIC和BIC。在本文的研究中，Canonical藤結(jié)構(gòu)的根節(jié)點(diǎn)為第I類行業(yè)，即以電力煤氣及水的生產(chǎn)為代表的強(qiáng)周期性行業(yè)，第I類行業(yè)在行業(yè)結(jié)構(gòu)中可能具有引導(dǎo)作用，因此，Pair Copula分解的結(jié)構(gòu)更適合Canonical藤。

六、結(jié)論及啟示

Canonical藤和D藤多元Clayton Copula模型均能較好地描述多元信用風(fēng)險相關(guān)結(jié)構(gòu)。但兩類模型相比較可以發(fā)現(xiàn)，適用于Canonical藤結(jié)構(gòu)的多元Clayton Copula模型的擬合優(yōu)度更好，說明信用風(fēng)險相關(guān)性的產(chǎn)生可能會由某一占主導(dǎo)作用的產(chǎn)業(yè)所引致。商業(yè)銀行和其他金融機(jī)構(gòu)可參考所構(gòu)建的藤結(jié)構(gòu)Copula模型進(jìn)行信貸組合管理：（1）可依照藤結(jié)構(gòu)Copula模型對信貸組合中的風(fēng)險相關(guān)或風(fēng)險傳染現(xiàn)象進(jìn)行風(fēng)險預(yù)警；（2）在藤結(jié)構(gòu)Copula模型估計(jì)的基礎(chǔ)上，金融機(jī)構(gòu)可以針對多元信貸資產(chǎn)組合進(jìn)行一致性風(fēng)險度量；（3）求解出風(fēng)險最小條件下的最優(yōu)信貸資產(chǎn)權(quán)重，從而為金融機(jī)構(gòu)調(diào)整信貸組合的資產(chǎn)比例提供依據(jù)。

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