圓錐曲線切點(diǎn)弦所在直線方程

☉北京師范大學(xué)出版集團(tuán) 岳昌慶

為什么討論圓錐曲線的切線問(wèn)題？一方面，圓內(nèi)已討論切線問(wèn)題，學(xué)生自然就會(huì)探索其他圓錐曲線的切線問(wèn)題；另一方面，導(dǎo)數(shù)知識(shí)的加入，也使研究圓錐曲線的切線更成為可能.

本文約定：

圓錐曲線的內(nèi)部：包括焦點(diǎn)（或圓心）的圓錐曲線所圍成的平面區(qū)域；

圓錐曲線的外部：不包括圓錐曲線及圓錐曲線的內(nèi)部的平面區(qū)域.

若自點(diǎn)P0（x0，y0）可作二次曲線的兩切線，兩切點(diǎn)所連線段叫做點(diǎn)P0關(guān)于此曲線的切點(diǎn)弦.

可得以下結(jié)論：

曲線名稱 曲線方程 切點(diǎn)弦方程 點(diǎn)P0位置圓 x2+y2=r2 x0x+y0y=r2 x02+y02＞r2橢圓 x2 a 2＞1雙曲線 x2 a 2+y2 b2=1（a＞b＞0） x0x b a2+y0yb2=1 x02 2-y2 2-y0y b a2+y02 b 2=1（a＞0,b＞0） x0x a 2＜1拋物線 y2=2px（p＞0） y0y=p（x+x0） y02＞2px02=1 x02 a2-y02 b

例2 ［2008年高考山東卷（理科）］

設(shè)拋物線方程為x2=2py（p＞0）,M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A、B.

（1）求證：A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（2）已知當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，｜AB|=，求此時(shí)拋物線的方程；

為保證切點(diǎn)弦的存在，點(diǎn)P0必須在橢圓（或圓）的外部，雙曲線的外部（即不包括雙曲線焦點(diǎn)的平面區(qū)域），拋物線的外部（即不包括拋物線焦點(diǎn)的平面區(qū)域）.

下面以圓的切點(diǎn)弦方程為例，證明如下.

設(shè)點(diǎn)P0（x0，y0）在圓x2+y2=r2外，由P0向該圓引兩切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A、B，則點(diǎn)P0關(guān)于此圓的切點(diǎn)弦AB所在直線方程為x0x+y0y=r2.

由已知可設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），xA≠xB，則：

切線PA所在直線方程為xAx+yAy=r2；

切線PB所在直線方程為xBx+yBy=r2.

由P0（x0，y0）∈PA，得x0xA+y0yA=r2.

同理，x0xB+y0yB=r2.

即點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別滿足方程x0x+y0y=r2.又過(guò)不重合的兩點(diǎn)的直線唯一，所以x0x+y0y=r2即為點(diǎn)P0關(guān)于此圓的切點(diǎn)弦AB所在直線的方程.

例1 ［2003年碩士學(xué)位研究生入學(xué)資格考試（GCT）］

過(guò)點(diǎn)P（0，2）作圓x2+y2=1的切線PA、PB,A、B是兩個(gè)切點(diǎn)，則A、B所在直線的方程為（ ）.

（3）略.

【略解】（1）如圖1，由已知可設(shè)M（xM，-2p），顯然點(diǎn)M在拋物線的外部，則點(diǎn)M關(guān)于該拋物線的切點(diǎn)弦所在直線方程為AB：

兩式相減，整理得：（xA-xB）（xA+xB-2xM）=0.

又xA≠xB，所以xA+xB=2xM.故A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

（2）所求拋物線方程為x2=2y或x2=4y.

（3）略.

評(píng)注：由霧里看花到水落石出，由遙不可及到快速接近目標(biāo).一些結(jié)論能幫助我們用“縮略式”思維方式思考問(wèn)題，快速接近問(wèn)題、解決問(wèn)題，然后再回過(guò)頭來(lái)補(bǔ)證這一結(jié)論.將一道難題變成跳一跳能夠夠得著的中檔題，何樂(lè)而不為？

例3 ［2008年高考江西卷（理科）］

（1）略；

（2）求證：A、M、B三點(diǎn)共線.

【略解】（1）略.

（2）如圖2，由已知可設(shè)P（m，y0），顯然點(diǎn)P在雙曲線的外部，則點(diǎn)P關(guān)于該雙曲線的切點(diǎn)弦所在直線方程為AB：mx-y0y=1.

1.丁爾陞主編.中學(xué)數(shù)學(xué)百科全書(shū)·數(shù)學(xué)卷.北京：北京師范大學(xué)出版社.1994年12月第1版.P98.

2.人民教育出版社等編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).數(shù)學(xué)A版選修2-1.北京：人民教育出版社.2007年2月第2版.P75～P76.