聚焦高考平面向量題

☉湖南省郴州市湘南中學(xué) 曾曉芳

一、近幾年平面向量考題的特點(diǎn)

特點(diǎn)一：考小題，重在基礎(chǔ).有關(guān)平面向量的小題，其考查的重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識：其中，平面向量數(shù)量積、加減運(yùn)算是考查的重點(diǎn)，有關(guān)向量共線，向量垂直，向量的模，坐標(biāo)運(yùn)算等內(nèi)容的試題都突出了對平面向量基礎(chǔ)知識的考查.

特點(diǎn)二：考大題，與其他知識結(jié)合.

有關(guān)平面向量的大題，經(jīng)常與三角、圓錐曲線、函數(shù)等結(jié)合，與三角函數(shù)相結(jié)合的試題難度不大，屬中檔題，與圓錐曲線、函數(shù)相結(jié)合的試題，屬中等偏難，主要考查學(xué)生對基本知識，基本方法，基本技能的理解，掌握和應(yīng)用情況.

特點(diǎn)三：考方法，常體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運(yùn)算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形的有關(guān)點(diǎn)與平面向量具體的坐標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

二、考題聚焦

1.考查向量的概念、向量的基本定理

有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中等.

2.考查向量的運(yùn)算

命題形式主要以選擇題、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點(diǎn)為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有時也會與其他內(nèi)容相結(jié)合.

例2 若向量a=（3，m），b=（2，-1），a·b=0，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）.

解析：a·b=6-m=0，所以m=6，答案：D.

例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）.

解析：本小題考查平面向量的幾何意義、線性運(yùn)算、數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力.

（方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個頂點(diǎn)為D，兩條對角線的交點(diǎn)為E，則：E為B、C的中點(diǎn)，E（0，1）.又E（0，1）為A、D的中點(diǎn)，所以D的坐標(biāo)為（1，4）.

故所求的兩條對角線的長分別為BC=4

3.向量與三角函數(shù)的綜合問題

命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖像平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題.

4.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

解析：本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知識，屬于難題.

評注：近幾年的各地高考卷中總可以看到平面向量在平面幾何中的應(yīng)用的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問題.

解析1：如圖2所示：設(shè)PA=PB=x（x＞0），∠APO=α，則

評注：本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法——判別式法，同時也考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解題的能力.

5.平面向量與解析幾何的綜合

平面向量與解析幾何的綜合問題由來已久，多是以解析幾何為載體，向量作為條件融入題設(shè)條件中.向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，其解題策略就是將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，溝通點(diǎn)與點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系.三種題型都可涉及.

評注：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的熟練程序以及知識的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力.