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    淺談反函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

    2012-08-27 02:52:50江蘇省丹陽市第五中學(xué)王金玲
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年3期
    關(guān)鍵詞:原函數(shù)丹陽市值域

    ☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 王金玲

    ☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 王金玲

    反函數(shù)是函數(shù)一章的重點(diǎn),它的性質(zhì)如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖像的對稱性等常被作為高考考查的重點(diǎn),本文總結(jié)了反函數(shù)的幾個(gè)常用性質(zhì),記住它們可以直接解決反函數(shù)的一些常見問題,從而避免復(fù)雜的運(yùn)算,達(dá)到事半功倍的效果.

    若函數(shù)y=(fx)(x∈A,y∈C)存在反函數(shù)y=f-(1x),則有下列性質(zhì):

    ①y=f-1(x)與y=f(x)的定義域與值域互換;

    ②y=f(x)?x=f-1(y)(x∈A,y∈C);

    ③y=f-1(x)與y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱(而不是y=f(x)與?x=f-1(y)的圖像關(guān)于直線y=x對稱);

    ④函數(shù)y=f(x)(x∈A,y∈C)的圖像關(guān)于直線y=x對稱的充分必要條件是f-1(x)=f(x);

    ⑤若函數(shù)y=f(x)(x∈A)為單調(diào)函數(shù),則y=f-1(x)(x∈C)也是單調(diào)函數(shù)且單調(diào)性一致,即原函數(shù)與反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;

    ⑥若函數(shù)y=f(x)(x∈A)為奇函數(shù),則y=f-1(x)(x∈C)也是奇函數(shù)(注意偶函數(shù)是沒有反函數(shù)的);

    ⑦f-1[f(x)]=x(x∈A,A為定義域),f[f-1(x)]=x(x∈C,C為值域);

    ⑧若y=f-1(x)與y=f(x)的圖像有交點(diǎn),則交點(diǎn)必在直線y=x上或交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱;

    ⑨若函數(shù)y=f(x)(x∈A)為增函數(shù),則y=f(x)與其反函數(shù)的圖像的交點(diǎn)必在直線y=x上;

    ⑩(a,b)在y=f(x)的圖像上?(b,a)在y=f-1(x)的圖像上.

    例1(2007年高考天津)函數(shù)y=log2(x+4)(x>0)的反函數(shù)是_________.

    解:先求原函數(shù)的值域,它就是反函數(shù)的定義域,由x>0得x+4>4.

    則y=log2(x+4)>log24=2,原函數(shù)的值域是(2,+∞),它就是反函數(shù)的定義域,再由原式解出x=2y-4,反函數(shù)為f-1(x)=2x-4(x>2).

    例2 (2008年高考重慶)設(shè)P(3,1)為二次函數(shù)f(x)=ax2-2ax+b(x≥1)的圖像與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖像的一個(gè)交點(diǎn),則( ).

    解:因P(3,1)在反函數(shù)圖像上,由性質(zhì)⑩得P′(1,3)在原函數(shù)圖像上,又已知P(3,1)也在原函數(shù)圖像上,將P(3,1)和P′(1,3)分別代入f(x)=ax2-2ax+b(x≥1)中,得

    故選C.

    此解法避免了求反函數(shù)的繁瑣過程,既靈活又簡練.

    解:y=f(x)的圖像為雙曲線,顯然其對稱中心為P(-a,1),則其反函數(shù)y=f-1(x)的圖像的對稱中心為P′(1,-a).

    又函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱,由性質(zhì)④可知f(x)=f-1(x).

    則P與P′也重合,-a=1,即a=-1.

    分析:由題意知,只需求出y=f-1(x+1),進(jìn)而求出y=g(x),可求得g(5)的值.

    結(jié)論錯(cuò)誤,錯(cuò)在哪兒呢? 我們知道y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù),但y=f(x+1)與y=f-1(x+1)則不互為反函數(shù),對這點(diǎn)一定要理解.

    實(shí)際上,可以這樣求:由y=f(x+1)兩邊用f作用得x+1=f-1(y)即x=f-1(y)-1.

    故y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x)-1.

    (2)正是由于(1)的方法,我們可以給出本題的另一個(gè)更好的解法.由y=f-1(x+1)兩邊用f作用得x+1=f(y),則x=f(y)-1,故y=g(x)=f(x)-1.

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