基于證據(jù)相似性度量的沖突性區(qū)間證據(jù)融合方法

馮海山 徐曉濱 文成林

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 杭州 310018)

1 引言

經(jīng)典的 Dempster-Shafer(D-S)證據(jù)理論以其對(duì)不確定性、非精確性信息綜合處理方面的優(yōu)勢(shì)，在信息融合、模式識(shí)別和故障診斷等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用[1-13]?；谠摾碚摰男畔⑷诤戏椒?，能夠?qū)崿F(xiàn)空間或時(shí)間上冗余信息和互補(bǔ)信息的融合，獲得被測(cè)對(duì)象的一致性描述，有效降低決策中的不確定性。經(jīng)典的D-S證據(jù)理論融合的是單值的基本概率分布函數(shù)(BPA)，然而，單值BPA對(duì)不確定性信息或模糊信息的度量并不全面，且可能會(huì)丟失很多有用的信息，故文獻(xiàn)[6-9]提出了區(qū)間型 BPA(IBPA)，即區(qū)間證據(jù)。該種形式的證據(jù)能夠較為全面地度量信息的不確定性，而且符合人的常性思維和主觀概念[11]。所以，區(qū)間證據(jù)理論成為當(dāng)今不確定性理論研究的熱點(diǎn)，并集中于以下兩個(gè)方向：一是區(qū)間證據(jù)融合規(guī)則的構(gòu)造方法，二是區(qū)間證據(jù)的獲取方法[12,13]。在研究方向一中，文獻(xiàn)[10]首次定義了IBPA的乘法和加法運(yùn)算，但是其運(yùn)算規(guī)則中引入了主觀性因子，故運(yùn)算結(jié)果具有較大的不確定性和主觀性。Denoeux[6,7]構(gòu)造二次規(guī)劃模型以融合多個(gè)IBPA，給出IBPA有效性和歸一化準(zhǔn)則，首次提出 Demspter區(qū)間證據(jù)組合規(guī)則。該規(guī)則中的融合和歸一化是分開進(jìn)行的，所以得到的融合結(jié)果并不是全局最優(yōu)的，而是次優(yōu)的，且融合結(jié)果的置信區(qū)間較寬，不易用其進(jìn)行決策?；贒enoeux定義的IBPA有效性和歸一化準(zhǔn)則，Wang等人[8,9]提出最優(yōu)的 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式。對(duì)于有效且歸一化的 IBPA，該公式遍歷所有滿足約束條件的單值BPA進(jìn)行融合，然后對(duì)單值融合結(jié)果求極值得到融合后的IBPA。該融合過程是一步進(jìn)行的，從而保證了融合結(jié)果的最優(yōu)性；而研究方向二，主要是討論如何在實(shí)際中獲取區(qū)間證據(jù)，這也是應(yīng)用融合規(guī)則的前提。在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中，基于傳感器提供的故障特征數(shù)據(jù)，Xu等人[11]提出一種獲取區(qū)間型診斷證據(jù)的方法，并利用最優(yōu) Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式將多個(gè)傳感器提供的證據(jù)融合，并通過融合結(jié)果定位故障。與基于BPA融合的故障定位方法相比，利用區(qū)間型證據(jù)可顯著提高融合診斷系統(tǒng)的確診率，并且文中通過診斷實(shí)例進(jìn)一步驗(yàn)證其所提出的證據(jù)獲取及融合診斷方法的可靠性和準(zhǔn)確性。

但是，在實(shí)際應(yīng)用中，由于傳感器測(cè)量誤差、環(huán)境噪聲干擾和監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)不完整等因素，使得從不同傳感器獲取的單值或區(qū)間證據(jù)之間常常會(huì)存在沖突[5]。當(dāng)今，對(duì)于單值BPA沖突處理方法的研究已經(jīng)相對(duì)成熟。其中，一類是修改組合規(guī)則的方法，它們以不同的方式重新分配空集的置信度賦值，但其組合規(guī)則只適用于解決某些具體問題，缺乏普適性[2,3]；另一類是修改模型的方法，亦即修改證據(jù)的方法。該類方法主要考慮到證據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性，用證據(jù)權(quán)重修改原始證據(jù)，然后還利用原始的Dempster組合規(guī)則對(duì)修改后的證據(jù)進(jìn)行融合[2-5]，此類方法從證據(jù)之間相似性的角度反映了沖突的本質(zhì)。

在區(qū)間證據(jù)的融合當(dāng)中，Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式的融合機(jī)理在于，選取區(qū)間證據(jù)中的單值BPA，用經(jīng)典的 Demspter組合規(guī)則融合，進(jìn)而統(tǒng)計(jì)生成區(qū)間型BPA。雖然經(jīng)典的Demspter融合規(guī)則具有聚焦作用，但在融合高沖突區(qū)間證據(jù)時(shí)，融合后的BPA賦值過于分散，并不能很好地聚焦于某些焦元上，導(dǎo)致IBPA的區(qū)間寬度過大，不易用于決策。如何結(jié)合單值證據(jù)沖突處理方法，以減小融合后所得區(qū)間證據(jù)的區(qū)間寬度，使得區(qū)間上下邊界聚焦于同一個(gè)焦元上，利于決策，這是區(qū)間證據(jù)沖突融合中一個(gè)十分重要的新問題。

針對(duì)以上問題，本文基于證據(jù)相似性度量，提出一種沖突性區(qū)間證據(jù)融合的新方法。首先定義擴(kuò)展型Pignistic概率轉(zhuǎn)換，將區(qū)間證據(jù)轉(zhuǎn)換為區(qū)間型Pignistic概率。利用區(qū)間模糊集的歸一化歐式距離，求取區(qū)間型Pignistic概率之間的相似性，以此確定兩兩證據(jù)間的相似度矩陣，從中獲取區(qū)間證據(jù)的置信度。然后，基于該置信度對(duì)原始的區(qū)間證據(jù)進(jìn)行加權(quán)平均得到新的區(qū)間證據(jù)，利用 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式對(duì)其進(jìn)行融合。該方法可以有效地減弱高沖突性區(qū)間證據(jù)在組合規(guī)則中的作用，從而減小融合后所得區(qū)間證據(jù)的寬度，最終可降低決策中的不確定性。最后通過多個(gè)典型算例驗(yàn)證了經(jīng)沖突處理后再對(duì)區(qū)間證據(jù)進(jìn)行融合，要比直接融合能夠產(chǎn)生更為合理和可靠的結(jié)果。

本文章節(jié)安排如下：第2節(jié)介紹了區(qū)間證據(jù)理論的基礎(chǔ)，并以實(shí)例展示了直接對(duì)沖突證據(jù)進(jìn)行融合所產(chǎn)生的不合理結(jié)果，并分析了造成該結(jié)果的原因；第3節(jié)基于經(jīng)典的Pignistic概率轉(zhuǎn)換，提出擴(kuò)展型 Pignistic概率轉(zhuǎn)換，用于區(qū)間證據(jù) Pignistic的轉(zhuǎn)換，基于此求取區(qū)間證據(jù)間的歐氏距離，用其度量它們之間的相似度及置信度；第4節(jié)通過多個(gè)典型算例驗(yàn)證本文所提方法，能夠有效地降低沖突區(qū)間證據(jù)融合后的區(qū)間寬度，而且融合后所得區(qū)間證據(jù)的上下界可聚焦于同一個(gè)焦元上，更利于決策。

2 區(qū)間證據(jù)理論

令Θ= {θ1,θ2,…,θn}是一個(gè)非空的有限子集，其中的元素兩兩互斥，稱其為辨識(shí)框架。Θ中包含了所有可能的命題。

定義1區(qū)間基本概率賦值 (Interval Basic Probability Assignment, IBPA)[6-8,11-13]對(duì)于Θ的N個(gè)子集Ai(i=1,2,…,N)，則其IBPA定義為

其中0 ≤ai≤bi≤ 1 。m(Ai)是m(Ai)中的一個(gè)元素，若IBPA同時(shí)滿足

定義2歸一化準(zhǔn)則[8,9]若m是一個(gè)有效的IBPA，且m(Ai)=[ai,bi](0 ≤ai≤bi≤ 1 )，如果ai和bi同時(shí)滿足

其中i,j=1,2,…,N，則稱m為歸一化的IBPA。

m可能是一個(gè)有效的 IBPA，但不一定是歸一化的IBPA，定義2是判斷一個(gè)有效IBPA是否歸一化的判據(jù)，若未歸一化，則用式(4)進(jìn)行歸一化處理

式(4)對(duì)有效的IBPA進(jìn)行歸一化處理，來減小區(qū)間的寬度，降低冗余，得到簡(jiǎn)潔等效的IBPA。

定義3Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式[8,9]若m1和m2是有效且歸一化的 IBPA，分別為[ai,bi](0≤ai≤m1(Ai) ≤bi≤ 1 ,i=1,2,…,N)和[cj,dj](0≤cj≤m2(Aj) ≤dj≤ 1 ,j=1,2,…,N)，融合結(jié)果標(biāo)記為m1⊕m2，其為區(qū)間值

其中(m1⊕m2)-(C)和(m1⊕m2)+(C)分別為如下融合公式的最小值與最大值。

對(duì)于滿足定義1和定義2的IBPA，式(6)中的融合規(guī)則遍歷 IBPA區(qū)間中所有滿足約束條件的單值BPA并融合，從而保證了融合結(jié)果的最優(yōu)性。

下面通過例子說明 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式的應(yīng)用，在同一辨識(shí)框架Θ= {θ1,θ2,θ3}下有兩組有效且歸一化的IBPA，如下所示：

將兩組區(qū)間證據(jù)用 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式融合后結(jié)果如表1所示。

由表1可知，若區(qū)間證據(jù)同時(shí)支持某焦元(如第1組證據(jù))，當(dāng)利用Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式融合時(shí)，采用的單值BPA也會(huì)同時(shí)支持某焦元，這時(shí)的融合結(jié)果能夠正確聚焦；若區(qū)間證據(jù)間存在高沖突(如第2組證據(jù)中強(qiáng)烈支持θ1，而強(qiáng)烈支持θ3)，利用Demspter組合公式所得的融合結(jié)果中，焦元θ1和θ3的區(qū)間寬度較大且相等，無法決策。

3 基于區(qū)間證據(jù)相似性的沖突證據(jù)度量及融合

在處理單值沖突證據(jù)的修改模型法中，利用權(quán)重(置信度)度量某個(gè)證據(jù)和其它證據(jù)之間的沖突程度。也就是說，如果其它證據(jù)支持某個(gè)證據(jù)時(shí)，則說明該證據(jù)比較可信，其所占權(quán)重較大，對(duì)融合結(jié)果的影響也較大；反之，如果某個(gè)證據(jù)與其它證據(jù)間的沖突較大時(shí)，則該證據(jù)的可信度較低，其所占權(quán)重就較低，對(duì)融合結(jié)果的影響也較小。這種方法充分考慮到了證據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)性，減少引起沖突的證據(jù)權(quán)重，提高最終融合結(jié)果的合理性和可靠性。并且應(yīng)用廣泛易于理解，符合客觀情況[2-5]。本文將該思想推廣到?jīng)_突性區(qū)間證據(jù)的處理上。首先，基于單值Pignistic概率轉(zhuǎn)換，提出擴(kuò)展型Pignistic概率轉(zhuǎn)換，將其應(yīng)用到區(qū)間證據(jù)上，轉(zhuǎn)換后結(jié)果記為IBetP，其中，I表示區(qū)間，BetP代表Pignstic概率轉(zhuǎn)換，此時(shí)的IBetP是一個(gè)區(qū)間而非單值；其次，計(jì)算每個(gè)辨識(shí)框架單元素的IBetP，并確定區(qū)間IBetP間的相互距離，以間接度量區(qū)間證據(jù)間的沖突程度；最后分析確定區(qū)間證據(jù)的相似度、置信度，更新原始區(qū)間證據(jù)，用加權(quán)平均后新區(qū)間證據(jù)替代原始區(qū)間證據(jù)，再用Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式進(jìn)行融合，使融合結(jié)果收斂到正確的命題，以便做出決策。

3.1 擴(kuò)展型Pignistic概率轉(zhuǎn)換

基于期望效用理論，Smets定義了Pignistic概率函數(shù)。其基本思想是，在辨識(shí)框架Θ上進(jìn)行Pignistic轉(zhuǎn)換，將基本概率函數(shù)轉(zhuǎn)換成Pignistic概率函數(shù)。

表1 兩組區(qū)間證據(jù)融合結(jié)果

定義4經(jīng)典Pignistic轉(zhuǎn)換 設(shè)m是在辨識(shí)框架Θ下的一個(gè)BPA，相應(yīng)的Pignistic概率函數(shù)BetPm:Θ→[0,1]定義為

對(duì)于單值的BPA，經(jīng)過以上Pignistic轉(zhuǎn)換后的BetPm仍然是單值的，這種形式的概率轉(zhuǎn)換不能直接用于IBPA上，需對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)展，即區(qū)間證據(jù)的Pignistic轉(zhuǎn)換，表示為IBetPm。

定義5擴(kuò)展型Pignistic轉(zhuǎn)換 設(shè)m是在辨識(shí)框架Θ上的一個(gè)有效且歸一化的IBPA，記為[ai,bi](0 ≤ai≤m(Ai) ≤bi≤ 1 ,i=1,2,… ,N)， 則 其Pignistic概率函數(shù)IBetPm定義為

例如，在辨識(shí)框架Θ= {θ1,θ2,θ3}下的有效且歸一化的IBPA，將其用擴(kuò)展型 Pignistic轉(zhuǎn)換結(jié)果表示為IBetPm，如表2所示。

表2 利用擴(kuò)展型Pignistic轉(zhuǎn)換后的結(jié)果

3.2 基于區(qū)間歐氏距離的區(qū)間相似性度量

這里采用區(qū)間歸一化歐氏距離公式度量IBetP間的相似性[14]，以間接度量IBetP所對(duì)應(yīng)的區(qū)間證據(jù)間的相似性。

設(shè)m1,m2是同一辨識(shí)框架Θ中的兩個(gè)IBPA,Θ含有n個(gè)完備且相互獨(dú)立的元素，記為Θ= {θi,i=1,2,…,n}，經(jīng)過擴(kuò)展型Pignistic轉(zhuǎn)換后，分別記為IBet和 I Bet，則其距離為

若兩區(qū)間證據(jù)間的距離用式(10)度量，則其相似度可以表示為

若融合系統(tǒng)含有N個(gè)區(qū)間證據(jù)，通過式(9)，式(10)得到區(qū)間證據(jù)mi與mj之間的距離，并由式(11)確定兩者的相似度，記為Sij，則可構(gòu)造相似度矩陣為

則每個(gè)區(qū)間證據(jù)的支持度為

支持度Sup(mi)反映的是被其它區(qū)間證據(jù)所支持的程度，是相似性測(cè)度的函數(shù)。如果一個(gè)區(qū)間證據(jù)與其它證據(jù)相似程度較高，則認(rèn)為它們相互支持的程度也較高；反之亦然。

對(duì)于證據(jù)體mi的置信度為

若有N條區(qū)間證據(jù)，將得到的新區(qū)間證據(jù)用Demspter區(qū)間組合公式融合N-1次，得到的最終融合區(qū)間，相比直接用Demspter區(qū)間組合公式獲得的IBPA，區(qū)間寬度較窄，并且區(qū)間上下界聚焦于同一個(gè)焦元的作用很明顯。其主要原因是，由于本文方法考慮了區(qū)間證據(jù)之間的相似程度，各個(gè)區(qū)間證據(jù)因相互支持度的不同獲得不同的權(quán)重，如果一個(gè)區(qū)間證據(jù)被其它區(qū)間證據(jù)所支持的程度較高，該證據(jù)就越可信，對(duì)最后的融合結(jié)果影響程度越大。相反，如果某一證據(jù)與其它證據(jù)是高沖突的，它的權(quán)重就很低，對(duì)最終的融合結(jié)果影響程度較小。

4 實(shí)例分析

為了說明本文方法的有效性，這里給出3個(gè)高沖突區(qū)間證據(jù)融合的典型例子，并設(shè)定辨識(shí)框架均為Θ= {θ1,θ2,θ3}，且所給出的區(qū)間證據(jù)均是有效且歸一化的。例 1是關(guān)于單元素賦值的區(qū)間證據(jù)。例 2中含有對(duì)辨識(shí)框架下單元素與全集賦值的區(qū)間證據(jù)。例3中含有對(duì)辨識(shí)框架下單元素與子集賦值的區(qū)間證據(jù)。

例1設(shè)3個(gè)區(qū)間證據(jù)m1,m2和m3為

用式(8)對(duì)3個(gè)區(qū)間證據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展型Pignistic轉(zhuǎn)換，并用式(9)，式(10)計(jì)算得到兩兩區(qū)間證據(jù)間的距離及相似度，以此構(gòu)造成相似度矩陣為

根據(jù)式(11)-式(13)得到各個(gè)區(qū)間證據(jù)體的置信度分別為

采用加權(quán)平均后，再用 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式進(jìn)行融合，并與直接采用 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式融合的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。

表3 兩種融合方法的結(jié)果對(duì)比

通過表3可以看出，當(dāng)區(qū)間證據(jù)存在高沖突時(shí)，即m1強(qiáng)烈支持θ1，而m2卻強(qiáng)烈的支持θ3,m3卻不能明顯支持一方。若直接用 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式，融合結(jié)果的區(qū)間寬度很大，難以決策。而本文方法充分考慮了區(qū)間證據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)性，降低沖突性區(qū)間證據(jù)在整個(gè)融合系統(tǒng)的權(quán)重，減小其在融合過程中的作用，所得的最終融合結(jié)果的區(qū)間寬度較窄，并且區(qū)間上下界同時(shí)聚焦于同一個(gè)焦元上的作用明顯，從而提高了決策能力。

例2設(shè)定只對(duì)辨識(shí)框架下單元素和全集賦值的區(qū)間證據(jù)mi(i=1,2,…,5)如表4所示。

表4 單元素和全集賦值的區(qū)間證據(jù)

本文方法與直接用 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式融合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表5所示，其中列出了區(qū)間證據(jù)依次融合的過程。

通過表4知，區(qū)間證據(jù)m1,m4和m5同時(shí)支持θ1,m2支持θ2,m3未明確支持任何一個(gè)焦元，可知m2與m1,m4,m5存在著高沖突。若直接用Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式融合，則最終的融合結(jié)果的區(qū)間寬度較大，不易決策。而采用本文方法時(shí)，由于采用區(qū)間證據(jù)的置信度度量區(qū)間證據(jù)的相互支持度，因此提高了m1,m4和m5的權(quán)重，同時(shí)減小m2的權(quán)重，并弱化m3的權(quán)重，使最終融合結(jié)果的區(qū)間寬度很窄，并且區(qū)間的上下界同時(shí)聚焦于θ1的作用更為明顯。

表5 兩種融合方法的結(jié)果對(duì)比

例3設(shè)定只對(duì)辨識(shí)框架中單元素和子集賦值的區(qū)間證據(jù)mi(i=1,2,…,5)如表6所示。

表6 單元素和子集賦值的區(qū)間證據(jù)

本文方法與直接用 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式融合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表7所示，其中列出了區(qū)間證據(jù)依次融合的過程。

從表6中可知，區(qū)間證據(jù)m1,m3,m4和m5均支持θ1，只有m2支持θ2，依理推知m2是干擾證據(jù)，并且最終融合結(jié)果也是應(yīng)該支持θ1，但從融合結(jié)果表7中可以得知，直接用Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式得到的最終融合區(qū)間寬度很大，根本無法做出決策。而采用本文方法，通過降低干擾證據(jù)m2的權(quán)重，最終的融合結(jié)果區(qū)間寬度很窄，并且區(qū)間上下界同時(shí)聚焦于θ1上的作用更加明顯。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于證據(jù)相似性度量的沖突性區(qū)間證據(jù)融合方法，考慮焦元之間及區(qū)間證據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)性，提出擴(kuò)展型Pignistic概率轉(zhuǎn)換；并基于區(qū)間歸一化歐氏距離公式來間接度量區(qū)間證據(jù)的相似性，分析區(qū)間證據(jù)相互之間的沖突；然后確定各個(gè)區(qū)間證據(jù)的置信度，加權(quán)平均原始區(qū)間證據(jù)以得到新的區(qū)間證據(jù)，再用 Demspter區(qū)間證據(jù)組合公式進(jìn)行融合，減少了沖突證據(jù)在融合過程的作用，降低了干擾對(duì)最終融合結(jié)果的影響。最終，融合結(jié)果的區(qū)間寬度較窄，并且區(qū)間上下界同時(shí)聚焦于同一個(gè)焦元上的作用更加明顯，從而提高了沖突性區(qū)間證據(jù)融合的合理性和可靠性。

表7 兩種融合方法的結(jié)果對(duì)比

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