置信度條件下軸承壽命的可靠度分析

余挺

(上海通用軸承有限公司，上海 200240)

1 可靠度和置信度的關(guān)系

汽車制造商對軸承壽命一般會提出以給定的置信度CY達(dá)到可靠度RX的要求，記為RX/CY。例如R90/C90，表示軸承壽命的要求是在90%的置信度下達(dá)到90%可靠度。這種要求比普通的不帶置信度的可靠度要求更為嚴(yán)格。

可靠度是零件滿足確定的壽命要求的可靠程度，而置信度是零件試驗樣本試驗結(jié)果的可信程度。例如，對20個一組的樣本試驗，具有90%置信度和90%可靠度的試驗結(jié)果，表示每組試驗后將有2個零件失效，如果進(jìn)行10組這樣的試驗，則有9組樣本試驗后失效零件不超過2個。

可靠度R在單側(cè)置信度為1-α置信區(qū)間[RL,1]內(nèi)的概率滿足

P(RL≤R≤1)=1-α，

(1)

式中:RL為可靠度的下限值，即零件的最低可靠度。壽命的RX/CY要求，相當(dāng)于對一個特定的壽命L，要求在置信度CY=(1-α)100%下滿足可靠度RX=RL。

文獻(xiàn)中已有采用Bayes方法進(jìn)行可靠度和置信度分析的論述[1]。假設(shè)θ服從先驗分布π(θ)，θ的取值范圍為Θ，通過隨機抽樣得到一組數(shù)據(jù)x，其分布函數(shù)為f(x|θ)，根據(jù)Bayes公式可得到參數(shù)θ的后驗分布為[2]

(2)

假設(shè)軸承達(dá)到規(guī)定壽命L的可靠度R的先驗分布服從[0，1]均勻分布，則N個相同軸承如果在L時間內(nèi)全部沒有失效，按N重伯努利試驗理論，x服從二項分布,根據(jù)(2)式，已知抽樣數(shù)據(jù)x=N,R的后驗分布為

(3)

因此，

(4)

式中：C為可靠度介于RL和1之間的置信度，以下簡記RL為R。由(4)式可以看出，如果試驗次數(shù)較少，即使可靠度很高，相應(yīng)置信度也并不高。例如，N=1，R=0.9時，C=0.19。只有當(dāng)N增加到一定值時，才會使C明顯增加,例如，N=21，R=0.9時，C=0.90。

另一方面，R雖然服從[0，1]均勻分布，似乎為很寬松的假設(shè)，與軸承預(yù)計的計算額定壽命(R=0.90)存在差異。但從R的Bayes估計[3]

2 基于RX/CY的設(shè)計

給定軸承目標(biāo)壽命L1的RX/CY要求，軸承設(shè)計任務(wù)之一是要計算軸承的額定壽命。已知壽命L1的可靠度為RX，即可按標(biāo)準(zhǔn)ISO 281：2007由下式求出所需的額定壽命LRX,

L1=a1LRX，

式中：a1為可靠度修正系數(shù)。

在額定壽命LRX基礎(chǔ)上，進(jìn)一步確定滿足置信度要求的額定壽命。假設(shè)壽命L滿足二參數(shù)Weibull分布(三參數(shù)Weibull分布可類似討論)，其可靠度可表示為

(5)

式中：b為Weibull分布斜率；V為Weibull分布的特征壽命。由(4)和(5)式得

上式可變?yōu)?/p>

(6)

一般而言，置信度與試驗的結(jié)果有關(guān)。RX/CY的可靠度要求是基于樣本試驗結(jié)果的一種判斷，要求樣本統(tǒng)計意義的可靠度應(yīng)落于置信度為CY的[RX,1]置信區(qū)間內(nèi)。一組樣本的試驗結(jié)果滿足Weibull分布時，可在相應(yīng)的Weibull分布概率紙上用點表達(dá)試驗結(jié)果，按試驗壽命的大小排序編號，第j號樣本所在點的縱坐標(biāo)為第j順序秩的中間秩[4]。中間秩是置信度為50%的順序秩的估計值。所有中間秩確定的試驗結(jié)果點擬合出來的曲線就是通常的試驗產(chǎn)品的Weibull分布曲線，體現(xiàn)了產(chǎn)品內(nèi)在固有的壽命分布，而正常情況下設(shè)計結(jié)果應(yīng)該反映產(chǎn)品內(nèi)在固有的壽命分布。因此，對以上基于RX設(shè)計的額定壽命LRX,其置信度可假定為50%。

如果確定LRX的置信度為50%，則(6)式變?yōu)?/p>

(7)

為進(jìn)一步獲得滿足RX/CY要求的額定壽命LRX/CY，設(shè)新的壽命分布可靠度為

(8)

一般總有CY>C50,故LRX/CY>LRX,進(jìn)而易知，V1>V,但LRX/CY是待定的，另設(shè)N不變，故下式仍能類似(7)式成立

(9)

從(7)和(9)式可得

(10)

3 RX/CY試驗方案的確定

(11)

表1 置信度壽命系數(shù)

(12)

注意，(11)式中N1為正整數(shù)，RX和CY為(0，1)間實數(shù)(可有無限組合)，實際的N1，RX和CY應(yīng)取盡量接近RX/CY要求并相對保守的組合。另對任意試驗壽命L2，使

(13)

則存在N2滿足

(14)

將(13)式代入(14)式，得

(15)

由(11)和(15)式得

(16)

4 結(jié)束語

根據(jù)軸承壽命的RX/CY要求，利用Bayes理論分析確定了可靠度和置信度的關(guān)系，確定了軸承額定壽命的置信度壽命修正系數(shù)，并且給出了相應(yīng)產(chǎn)品設(shè)計和制造的驗證試驗的計算依據(jù)，依據(jù)給出的驗證置信度和可靠度的壽命試驗制定方法制定試驗方案，可減少試驗樣本數(shù)和試驗累積時間，節(jié)約試驗成本。