王 勇 劉宏偉 糾 博 楊曉超

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

1 引言

近年來，多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)受到了廣泛的關(guān)注[1-6]。根據(jù)天線的稀疏程度，MIMO 雷達(dá)可以分為分布式和集中式兩大類。分布式MIMO雷達(dá)天線間距較大，具有空間分集增益，能提高對閃爍目標(biāo)的探測能力[1,2]；集中式MIMO雷達(dá)天線間距較小，每個天線可以發(fā)射不同的信號波形，具有較好的波形分集能力。與傳統(tǒng)的相控陣?yán)走_(dá)相比，集中式MIMO雷達(dá)擁有更高的目標(biāo)分辨能力[3]和更好的參數(shù)辨識能力[4]，并且可以根據(jù)需要進(jìn)行靈活的方向圖設(shè)計(jì)與波形優(yōu)化[5]。

陣列信號處理的一個基本問題是方向圖綜合問題。根據(jù)加權(quán)方式的不同，方向圖綜合方法可以分為向量加權(quán)方法[6,7]和矩陣加權(quán)方法[8,9]兩類。向量加權(quán)方法通過對回波進(jìn)行向量加權(quán)來綜合方向圖，其方向圖參數(shù)，比如主瓣寬度和旁瓣電平，不能精確地控制并根據(jù)不同的需要進(jìn)行調(diào)整[9]。為了能更靈活地控制方向圖，文獻(xiàn)[8]提出了自適應(yīng)矩陣算法(Adaptive Matrix Approach,AMA)。AMA算法能夠?qū)Ψ较驁D的主瓣寬度和旁瓣電平進(jìn)行嚴(yán)格地控制，其代價(jià)函數(shù)是一個半正定規(guī)劃(Semi-Definite Programming,SDP)，因此可以通過凸優(yōu)化工具包CVX[10]求解其全局最優(yōu)解。對于MIMO雷達(dá)來說，AMA算法雖然能夠?qū)Πl(fā)射接收雙程的方向圖進(jìn)行靈活地控制，但算法處理的維數(shù)為發(fā)射陣元數(shù)與接收陣元數(shù)的乘積。對于較少的發(fā)射陣元和接收陣元，MIMO雷達(dá)AMA算法的處理維數(shù)也可能會很大。此時(shí)其計(jì)算復(fù)雜度和樣本需求將很大。在向量加權(quán)方法中，為了降低MIMO雷達(dá)最小方差無畸變響應(yīng)

(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)算法的計(jì)算復(fù)雜度和樣本需求，文獻(xiàn)[6]給出了一種雙邊 MVDR算法(Two-Sided MVDR,TSMVDR)。TS-MVDR算法采用權(quán)值分離的形式，通過迭代地求解兩個更低維的權(quán)向量，在大大減少運(yùn)算量的同時(shí)，其方向圖也保證了主瓣方向不衰減并很好地抑制了干擾。但是，TS-MVDR算法的方向圖參數(shù)，比如主瓣寬度和旁瓣電平，不能精確靈活地控制。當(dāng)樣本數(shù)較少時(shí)，TS-MVDR算法的方向圖旁瓣較高。為了靈活地控制發(fā)射接收雙程方向圖并降低 MIMO雷達(dá) AMA算法的運(yùn)算量和樣本需求，本文提出了一種 MIMO雷達(dá)雙邊 AMA算法(Two-Sided AMA,TS-AMA)。

2 MIMO雷達(dá)信號模型

對于一個由M個發(fā)射天線和N個接收天線構(gòu)成的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。系統(tǒng)發(fā)射的信號矩陣可以表示為表示第m(m=1,…,M)個發(fā)射天線所發(fā)射的編碼信號，L表示編碼長度(快時(shí)間維的采樣點(diǎn)數(shù))。若發(fā)射信號正交，并且各陣元發(fā)射的信號功率均相等且為單位功率，則發(fā)射信號的協(xié)方差矩陣Rss=SSH/L=IM,IM表示M×M維單位陣。令θ表示感興趣目標(biāo)的方位角，則發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量可分別表示為[4]

其中f0表示發(fā)射信號的載頻，τi(θ)和(θ)分別表示信號從第i個發(fā)射天線到達(dá)目標(biāo)的時(shí)延和從目標(biāo)到達(dá)第j個接收天線的時(shí)延。在遠(yuǎn)場條件下，MIMO雷達(dá)接收到的信號可表示為[4,6]

其中β代表目標(biāo)復(fù)散射系數(shù)，其正比于目標(biāo)的雷達(dá)截面積(Radar Cross Section,RCS)。Z表示剩余項(xiàng)，包含了干擾和噪聲。假設(shè)Z的列向量獨(dú)立同分布，服從均值為零協(xié)方差矩陣未知的復(fù)高斯分布[6]。經(jīng)過脈沖壓縮以后，式(3)可以轉(zhuǎn)化為[6]

圖1 MIMO雷達(dá)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

3 MIMO雷達(dá)TS-AMA算法

3.1 TS-AMA算法的代價(jià)函數(shù)及求解

在本小節(jié)中，首先給出TS-MVDR算法代價(jià)函數(shù)的等價(jià)矩陣加權(quán)形式，然后在其基礎(chǔ)上給出TS-AMA算法的代價(jià)函數(shù)。在矩陣加權(quán)方式中，TS-MVDR算法的代價(jià)函數(shù)等價(jià)于

其中符號E{·}表示取期望運(yùn)算，||·||F表示矩陣的Frobenius范數(shù)，rank(·)表示取矩陣的秩。θ0表示感興趣目標(biāo)的波達(dá)角。U和V分別表示雙邊加權(quán)中的接收權(quán)矩陣和發(fā)射權(quán)矩陣。式(5)可以通過用U和V分別代替文獻(xiàn)[6]中式(11)的u和v容易地得到。我們可以發(fā)現(xiàn)式(5)是非凸的，因?yàn)橛袃?yōu)化變量的秩約束[9]。當(dāng)去掉秩約束后，式(5)可以轉(zhuǎn)化為

其中符號tr(·)表示取矩陣對角線元素之和。P=UUH,Q=VVH。定義接收方向圖和發(fā)射方向圖分別為式(6)是式(5)的半正定松弛問題(Semi-Definite Relaxation,SDR)，可以找到全局最優(yōu)解。但是式(6)不能靈活地控制方向圖的主瓣寬度和旁瓣電平。當(dāng)樣本數(shù)較少時(shí)，其旁瓣較高。為了能夠更靈活并且更精確地控制方向圖，我們提出TS-AMA算法。其代價(jià)函數(shù)為

其中[θ1,θ2]表示給定的3 dB主瓣角域，ψ表示旁瓣角域。?表示給定的峰值旁瓣電平。從式(7)可以看出，對于任意非零常數(shù)，即式(7)存在幅度模糊。為了消除幅度模糊，我們約束。當(dāng)P和Q中的任何一個確定后，式(7)可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于另一個變量的優(yōu)化問題?；谖墨I(xiàn)[11]的思想，我們用一個迭代算法來求解式(7)。

首先固定P，將式(7)轉(zhuǎn)化為關(guān)于Q的代價(jià)函數(shù)

基于上面的分析，TS-AMA算法可以總結(jié)如下：

隨機(jī)給定范數(shù)歸一化的初始值P(0)，對于k=1,2,…，重復(fù)下面的兩步直

(1)將P(k-1)代入式(8)，然后利用凸優(yōu)化工具包CVX求解式(8)得到Q(k)。

(2)將Q(k)代入式(7)并求解得到P(k)，然后利用式(9)對P(k)進(jìn)行范數(shù)歸一化。

3.2 樣本需求和計(jì)算復(fù)雜度分析

當(dāng)回波中不包含感興趣目標(biāo)時(shí)，AMA算法性能損失不超過 3 dB所需的樣本數(shù)為2MN，而 TSAM A算法所需的樣本數(shù)為 2 max{M,N}[6]；當(dāng)回波中包含感興趣目標(biāo)時(shí)，性能損失不超過3 dB所需的樣本數(shù)為(K- 1)η，其中K表示算法處理的維數(shù)，η表示最優(yōu)信干噪比[12]。此時(shí) AMA算法所需的樣本數(shù)為(MN- 1)η，而 TS-AMA算法所需的樣本數(shù)(max {M,N}- 1)η。對比兩種情況下兩種算法的樣本需求可以發(fā)現(xiàn)，本文所提算法所需的樣本數(shù)大大少于AMA算法。由于TS-AMA算法性能損失不超過 3 dB所需的樣本數(shù)小于 AMA算法的，并且TS-AMA算法的處理維數(shù) m ax{M,N}小于AMA算法的處理維數(shù)MN，因此TS-AMA算法是一種降維方向圖綜合算法。AMA算法的運(yùn)算復(fù)雜度為其中表示約束的個數(shù)[8]。TS-AMA算法的運(yùn)算量主要在于迭代地求解式(7)。從圖5可以看出如果δ=0 .0001,TS-AMA算法將在3~4步內(nèi)收斂。因此TS-AMA算法的計(jì)算復(fù)雜度為相比 AMA算法，TS-AMA算法的運(yùn)算量更小。雖然TS-AMA算法的處理維數(shù)更低、運(yùn)算量更小，但在理想條件下，TS-AMA算法迭代地優(yōu)化發(fā)射和接收權(quán)矩陣，性能將不如對權(quán)矩陣進(jìn)行直接優(yōu)化的AMA算法。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本文仿真采用等距線陣組成的收發(fā)共置的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，陣元數(shù)為7，相鄰陣元間距為半波長。發(fā)射信號為正交多相碼，編碼長度為 256。在35°和60°方向存在兩個強(qiáng)干擾，干噪比為50 dB。接收機(jī)噪聲為高斯白噪聲。本文比較了4種算法的波束綜合性能：AMA算法[8]，TS-MVDR算法[6]，RCB算法[13]和TS-AMA算法式(7)。TS-MVDR算法和TS-AMA算法的終止參數(shù)δ=0.0001。RCB算法的導(dǎo)向矢量誤差的l2范數(shù)平方的上界為ε=25。假定感興趣目標(biāo)(Target Of Interest,TOI)的方位角為θ0=0°，目標(biāo)功率為。在下面的仿真中，TOI功率估計(jì)的仿真都是通過100次獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)平均得到的。AMA算法和TS-AMA算法關(guān)于方向圖控制(Beam-Pattern Controlling,BPC)的參數(shù)如下：BPC(1)：半功率波束寬度為9°，相應(yīng)的旁瓣區(qū)是(- 9 0°,- 1 4.5°)和(14.5°,90°)，峰值旁瓣電平?=- 1 8 dB ; BPC(2)：半功率波束寬度為15°，相應(yīng)的旁瓣區(qū)是(- 9 0°,- 2 2°)和(22°,90°)，峰值旁瓣電平?=- 2 8 dB 。

仿真1 在本仿真中，我們考慮TS-AMA算法的方向圖性能(圖2-圖4)。其中橫虛線表示0 dB,3條豎虛線分別表示TOI和兩個干擾的波達(dá)角。為了說明TOI對方向圖的影響，我們給出2種情況下的方向圖：(1)回波中不包含TOI。此時(shí)TS-AMA算法的性能損失不超過 3 dB所需的樣本數(shù)為2max{M,N}=1 4，而AMA算法所需的樣本數(shù)為2MN=9 8。圖2給出了樣本數(shù)為20時(shí)4種算法的方向圖。從圖2可以看出：即使樣本數(shù)較少，TSMVDR算法和TS-AMA算法的方向圖在主瓣保形的同時(shí)很好地抑制了干擾。而且TS-AMA算法還可以通過主瓣擴(kuò)展將旁瓣很好地壓低，這樣有助于旁瓣區(qū)連片雜波的抑制。AMA算法為了主瓣保形和壓低旁瓣，對干擾的抑制能力幾乎喪失。RCB算法雖然較好地抑制了干擾，但由于樣本數(shù)太少，旁瓣較高。(2)回波中包含 TOI。通過計(jì)算可以知道 TSAMA算法所需的樣本數(shù)為(max{,} 1)M N-η=7 52640，而AMA算法所需的樣本數(shù)為(MN-1)η=6 021120。對比(1)和(2)兩種情況可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)回波中包含TOI時(shí)，兩種算法所需的樣本數(shù)大大增加。對于情況(2)，實(shí)際中的樣本數(shù)很難達(dá)到上面的需求。圖3給出了樣本數(shù)為10000時(shí)4種算法的方向圖。在存在2°的角度誤差，即真實(shí)的目標(biāo)方位角為2°的情況下，圖4比較了樣本數(shù)為400時(shí)4種算法的方向圖。從圖中可以看出：TS-MVDR算法的旁瓣較高，因?yàn)闃颖緮?shù)較少。當(dāng)存在角度誤差時(shí)TS-MVDR算法由于信號相消，在TOI方向形成零陷。AMA算法和TS-AMA算法的方向圖通過主瓣約束很好地保形，因此沒有信號相消，而且都很好地抑制了干擾。但TS-AMA算法的主瓣保形能力和對干擾的零陷深度稍微比AMA算法的好。在存在角度誤差的情況下，導(dǎo)向矢量誤差的l2范數(shù)的平方ε0=2 4.11＜ε，因此RCB算法對本文考慮的角度誤差具有很好的穩(wěn)健性。從圖2-圖4可以看出：TS-AMA算法通過迭代降維，樣本需求大大減小，同時(shí)方向圖可以靈活地控制，能夠滿足各種場合下對方向圖的需求。另外，TS-AMA算法通過嚴(yán)格的方向圖主瓣約束，避免了誤差存在時(shí)的主瓣分裂問題，對角度誤差具有一定的穩(wěn)健性。

圖2 樣本數(shù)為20時(shí)TS-AMA算法的方向圖(回波中不包含感興趣目標(biāo))

圖3 樣本數(shù)為10000時(shí)TS-AMA算法的方向圖(回波中包含感興趣目標(biāo))

圖4 存在2°的角度誤差的情況下,樣本數(shù)為400時(shí)TS-AMA算法的方向圖(回波中包含感興趣目標(biāo))

仿真2 在本仿真中，我們考慮對TOI的功率估計(jì)。功率估計(jì)在許多場合比如醫(yī)療成像、雷達(dá)和聲納中都有很重要的應(yīng)用[13]。

在沒有誤差的情況下，圖5給出了樣本數(shù)為400時(shí) TS-AMA算法的功率估計(jì)隨迭代次數(shù)的變化曲線。從圖5可以看出，在終止條件δ=0.0001的條件下，TS-AMA算法只需要 3~4步即可收斂。圖6比較了這種情況下4種算法的功率估計(jì)隨樣本數(shù)的關(guān)系。另外，在存在2°的角度誤差的情況下，圖7給出了4種算法的功率估計(jì)隨樣本數(shù)的變化曲線。圖中的橫虛線表示真實(shí)的TOI功率。AMA算法需要估計(jì)MN×MN維的全維協(xié)方差矩陣，因此樣本數(shù)必須大于等于MN=49。TS-AMA算法通過迭代地求解式(7)，樣本數(shù)只需大于等于max{M,N}=7。從圖6和圖7可以看出：4種算法在樣本數(shù)較多的情況下TOI功率估計(jì)都比較準(zhǔn)確。但當(dāng)樣本數(shù)較少，特別是少于20時(shí)，TS-AMA算法的功率估計(jì)更準(zhǔn)確。樣本不足引起的誤差可以看做導(dǎo)向矢量的失配[12]，因此RCB算法在小樣本情況下的功率估計(jì)要好于TS-MVDR算法。對于TS-MVDR算法，樣本不足引起的方向圖高旁瓣使得其功率估計(jì)的性能變差。AMA算法需要估計(jì)全維的協(xié)方差矩陣，對樣本的需求更大，因此在小樣本情況下性能最差。

樣本數(shù)為400時(shí)，圖8和圖9分別給出了在沒有誤差和存在2°的角度誤差的情況下4種算法的功率估計(jì)隨信噪比的變化曲線。圖中的虛線表示真實(shí)的TOI功率。從圖8和圖9可以看出，在沒有誤差的情況下，4種算法的功率估計(jì)都比較準(zhǔn)確。當(dāng)存在角度誤差時(shí)，TS-MVDR算法由于信號相消，功率估計(jì)的性能大大下降。而其他3種算法的功率估計(jì)相比沒有誤差的情況雖然有所下降，但還是比較準(zhǔn)確的。而且從信噪比20 dB那點(diǎn)附近的局部放大可以看出，在沒有誤差的情況下，TS-AMA算法的功率估計(jì)最接近真實(shí)值。在存在角度誤差的情況下，TS-AMA算法的功率估計(jì)雖然不如RCB算法，但要比AMA算法的準(zhǔn)確。另外，從圖8和圖9還可以看出，TS-AMA算法的功率估計(jì)性能對信噪比的變化不敏感。

圖5 樣本數(shù)為400時(shí)TS-AMA算法的功率估計(jì)隨迭代次數(shù)的變化曲線

圖6 TS-AMA算法的功率估計(jì)隨樣本數(shù)的變化曲線(沒有誤差)

圖7 TS-AMA算法的功率估計(jì)隨樣本數(shù)的變化曲線(2°角度誤差)

圖8 樣本數(shù)為400時(shí)TS-AMA算法的功率估計(jì)隨信噪比的變化曲線(沒有誤差)

圖9 樣本數(shù)為400時(shí)TS-AMA算法的功率估計(jì)隨信噪比的變化曲線(2°角度誤差)

5 結(jié)論

本文提出了一種MIMO雷達(dá)雙邊自適應(yīng)矩陣算法(TS-AMA)來進(jìn)行方向圖綜合。該算法將AMA算法的代價(jià)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個雙二次的代價(jià)函數(shù)，并通過雙迭代求解大大降低了AMA算法的計(jì)算復(fù)雜度和樣本需求，因此在小樣本的情況下所提算法的功率估計(jì)更準(zhǔn)確。但是，TS-AMA算法只是通過嚴(yán)格地約束方向圖參數(shù)來對角度誤差提供一定的穩(wěn)健性。MIMO雷達(dá)穩(wěn)健的方向圖綜合問題還有待進(jìn)一步研究。

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