非良基公理的本質(zhì)及其應(yīng)用

姚從軍

（湖南科技學(xué)院思政部，湖南 永州 425100）

一、圖、裝飾及精確圖

埃澤爾（Aczel）方法的基本思想是使用有向圖描述集合。一個(gè)圖由一個(gè)結(jié)點(diǎn)集和一個(gè)邊集組成，每一條邊都是一個(gè)由結(jié)點(diǎn)組成的序?qū)Γ糿，n′＞。如果＜n，n′＞是一條邊，那么我們寫成 n→n′。一條路徑是一個(gè)由＜n0，n1＞，＜n1，n2＞，……連接的有窮或無窮序列 n0→n1→n2…；一個(gè)點(diǎn)圖是帶一可區(qū)分結(jié)點(diǎn)的圖，這一可區(qū)分結(jié)點(diǎn)稱為該圖的始點(diǎn)；一個(gè)點(diǎn)圖是可達(dá)的僅當(dāng)對(duì)于每個(gè)結(jié)點(diǎn)n都有一個(gè)從該圖的始點(diǎn)n0到結(jié)點(diǎn)n的路徑n0→n1→…→n。對(duì)于圖G的一個(gè)已知結(jié)點(diǎn)n，n的后繼集用nG表示，即如果n→n′，那么n′∈nG。對(duì)于一個(gè)結(jié)點(diǎn)n，如果nG=φ，我們稱n為死結(jié)點(diǎn)。如果從結(jié)點(diǎn)n0到結(jié)點(diǎn)nk之間存在一條路徑，我們就稱nk是從n0可通達(dá)的[1]3～4。我們用NG表示可達(dá)點(diǎn)圖G的結(jié)點(diǎn)集。

如果一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖的裝飾把集合x指派給它的始點(diǎn)，我們稱該可達(dá)點(diǎn)圖是集合x的圖像；如果該裝飾把不同的集合指派給它的不同結(jié)點(diǎn)，我們稱這個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖是集合x的一個(gè)精確圖。

例如，圖1左圖就是序數(shù)3的精確圖，右圖是它的非精確圖。

（圖1）序數(shù)3的圖像

不計(jì)同構(gòu)（把同構(gòu)的對(duì)象看作同一個(gè)對(duì)象），每個(gè)集合的精確圖是唯一的。因此，如果我們知道哪個(gè)圖是精確圖，那么我們就知道存在什么樣的集合，確定存在什么樣的集合，必須先確定什么樣的圖是精確圖。如何確定精確圖呢？在良基背景下，我們通過外延性來確定精確圖：一個(gè)良基圖G是精確圖當(dāng)且僅當(dāng)G是外延的。那么由該精確圖類確定的良基的集合類Vwf={G|G∈V0∧G是良基的∧G是外延的}（這里的“=”不是真正意義上的相等，可以理解成這樣的一種對(duì)應(yīng)性：右邊的每個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖唯一地對(duì)應(yīng)于Vwf中的某個(gè)集合，Vwf的每個(gè)集合的精確圖都是右邊的元素，此處V0是可達(dá)點(diǎn)圖集），這就決定了良基集合的域。在非良基背景下，如何確定精確圖呢？

二、精確圖與非良基公理

（一）外延性與BA1（BAFA的弱形式）

首先，應(yīng)該除去非外延的圖，非外延的圖存在兩個(gè)不同結(jié)點(diǎn)有相同的后繼集，如圖2：

（圖2）一個(gè)非外延的可達(dá)點(diǎn)圖

中間的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)都只有一個(gè)后繼，即底端的結(jié)點(diǎn)，因此這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)一定被指派相同的裝飾集合（實(shí)際上是{?}），該可達(dá)點(diǎn)圖不是一個(gè)精確圖。如果只用外延性來刻畫精確圖，就得到布法（Boffa）的一個(gè)弱的反基礎(chǔ)公理BA1：一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖是精確圖當(dāng)且僅當(dāng)它是外延的[2]。并因此形成相應(yīng)的反良基集合的域B={G∈V0|G是外延的}。把BA1加在系統(tǒng)ZFC-就構(gòu)成了一個(gè)非良基公理系統(tǒng)，考慮圖3：

（圖3）一個(gè)Boffa集合的精確圖

這是一個(gè)外延的可達(dá)點(diǎn)圖，并且是滿足A={B，C}、B={B}、C={C}的一個(gè)集合A的圖像，B和C相等嗎？這里外延公理失去效用，因?yàn)樗鼉H僅告訴我們B=C當(dāng)且僅當(dāng)B=C。在反基礎(chǔ)公理BA1的假設(shè)下，自反集B={B}和C={C}是互不相同的集合。事實(shí)上，可以證明，在BA1中像x={x}這樣的自反集有無窮多個(gè)，圖3是上面所描述的集合A的精確圖，這里B≠C。然而從直覺上看B應(yīng)該和C相等，為了刻畫這種思想，需要比外延性公理更強(qiáng)的公理。問題是，這個(gè)公理是什么？

（二）外延的且嚴(yán)格的與YAFA

可以用另一個(gè)方式來解釋圖3作為意欲的精確圖是有問題的，即說它是非嚴(yán)格的（non-rigid）。如果一個(gè)圖具有非恒等映射作為自身的同構(gòu)映射，那么這樣的同構(gòu)也叫真自同構(gòu)，這樣的圖被稱為非嚴(yán)格的圖。而圖3有一個(gè)使b和c互相映射的真自同構(gòu)，根據(jù)它們?cè)趫D中的作用，這兩點(diǎn)不該區(qū)分開來，并因此應(yīng)該用相同的集合來裝飾它們。因此，在尋找精確圖的時(shí)候，要排除非嚴(yán)格圖。注意嚴(yán)格性也不蘊(yùn)涵外延性（見圖5），因此僅用嚴(yán)格性來確定精確圖也是外延公理不允許的。但是可把二者合起來形成新的反良基公理YAFA：一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖是精確圖當(dāng)且僅當(dāng)它是外延的且嚴(yán)格的；并因此形成了相應(yīng)的反良基集合的域Y={G∈V0｜G是外延的且嚴(yán)格的}；把YAFA加入ZFC-中就可以形成新的非良基集合論。這樣形成的精確圖還是不太合理，考慮圖4：

（圖4）一個(gè)嚴(yán)格的但不是同構(gòu)外延的可達(dá)點(diǎn)圖

（圖5）一個(gè)同構(gòu)外延的但非外延的可達(dá)點(diǎn)圖

這是嚴(yán)格的且外延的圖。底端的每個(gè)結(jié)點(diǎn)被一個(gè)等于自己的單元素集所裝飾，裝飾這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的集合似乎應(yīng)該相等，需要更嚴(yán)格的精確圖概念。

隨著中國城鎮(zhèn)住房金融制度的改革，改革開放40年中，住房金融市場(chǎng)逐步衍生、發(fā)展和繁榮?？v觀改革開放40年，我們不難發(fā)現(xiàn)，中國城鎮(zhèn)住房金融對(duì)開發(fā)商獲得土地、商品房開發(fā)、商品房購買和消費(fèi)提供了金融支持。

（三）芬斯勒外延的與FAFA

一個(gè)合適的性質(zhì)是同構(gòu)外延性。已知一個(gè)圖G和G的一個(gè)結(jié)點(diǎn)a，我們可以形成可達(dá)點(diǎn)圖Ga如下：Ga的結(jié)點(diǎn)和邊是G中從a點(diǎn)出發(fā)的那些路徑上的結(jié)點(diǎn)和邊，其中a是Ga的始點(diǎn)。對(duì)任意的結(jié)點(diǎn)a，b∈G，如果Ga≌Gb，那么a=b，我們就說G是同構(gòu)外延的。

同構(gòu)外延的意味著：在一個(gè)同構(gòu)外延的圖里面，絕不可能存在不同的結(jié)點(diǎn)a和b使得以a為始點(diǎn)的子圖同構(gòu)于以b為始點(diǎn)的子圖。明顯同構(gòu)外延性蘊(yùn)涵嚴(yán)格性，但同構(gòu)外延性也不蘊(yùn)涵外延性，如圖5。

所以僅用同構(gòu)外延性來確定精確圖也是外延公理不允許的?？梢哉f一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖是精確圖當(dāng)且僅當(dāng)它是外延的和同構(gòu)外延的，這就是反基礎(chǔ)公理FAFA。此公理還有一種等價(jià)的表述：“一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖是精確圖當(dāng)且僅當(dāng)它是芬斯勒外延的”。這就形成了芬斯勒集合的域F={G∈V0|G是外延的且同構(gòu)外延的}，把FAFA加在ZFC-上就形成了芬斯勒非良基集合論[3]683～173。

（四）斯科特外延的與SAFA

已知一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖，如果從它的始點(diǎn)到它的所有結(jié)點(diǎn)的路徑是唯一的，我們就稱該可達(dá)點(diǎn)圖是一棵樹圖。樹本身也是一種可達(dá)點(diǎn)圖。一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖的展開把可達(dá)點(diǎn)圖的從始點(diǎn)開始的有窮路徑作為結(jié)點(diǎn)，把形如（a0→…→a，a0→…→a→a′）路徑有序?qū)ψ鳛檫?，把長(zhǎng)度為1的路徑a0作為始點(diǎn)。因此，展開總是一棵樹。可以用一種明顯的方式從一個(gè)原始可達(dá)點(diǎn)圖的裝飾誘導(dǎo)出它的展開圖的裝飾，也就是指派給樹的結(jié)點(diǎn)a0→…→a的集合就是通過原始可達(dá)點(diǎn)圖的裝飾指派給結(jié)點(diǎn)a的集合。圖1中序數(shù)3的精確圖（左圖）被展開成3的樹圖（右圖）。

一棵樹是嚴(yán)格的（或非冗余的）僅當(dāng)該樹不存在真自同構(gòu)。令Ga是一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖，可以證明：如果它的展開（Ga）t是嚴(yán)格的，那么Ga是同構(gòu)外延的和外延的。Ga是斯科特外延的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)該圖的任意結(jié)點(diǎn) b，c，（Gb）t≌（Gc）t蘊(yùn)涵 b=c[4]。如果 Ga是斯科特外延的，那么（Ga）t是嚴(yán)格的，所以斯科特外延的蘊(yùn)涵同構(gòu)外延的和外延的。斯科特反良基公理SAFA可陳述為“一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖是精確圖當(dāng)且僅當(dāng)它是斯科特外延的”，這就形成了斯科特集合的域S={G∈V0|G是斯科特外延的}，把SAFA加到ZFC-得到斯科特非良基集合論。為顯示SAFA和FAFA的差異，考慮圖6：

（圖6）芬斯勒外延圖

（圖7）Ga的展開圖（Ga）t

既然所有的結(jié)點(diǎn)之間彼此可通達(dá)，此圖可被看作始點(diǎn)為a，b，或c的圖。易證此圖是外延的和同構(gòu)外延的，根據(jù) FAFA，它是滿足 A={B}，B={A，C}和 C={A，B}的三個(gè)不同集合 A、B、C 的精確圖；但是，以 b和c為始點(diǎn)的兩個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖的展開（Gb）t和（Gc）t是同構(gòu)樹（見圖7），公理SAFA強(qiáng)迫b=c，故它不是SAFA下的精確圖。

（五）強(qiáng)外延的與AFA

對(duì)于任意一個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖Ga，Ga的任意結(jié)點(diǎn)b和c來說，如果b和c具有互模擬關(guān)系，那么b=c，我們就說Ga是強(qiáng)外延的。最后，我們看看受到廣泛關(guān)注的非良基集合論——AFA集合論。AFA公理被描述為：一個(gè)圖是精確圖當(dāng)且僅當(dāng)它是強(qiáng)外延的。埃澤爾本人將該公理表示為“每個(gè)可達(dá)點(diǎn)圖是唯一集合的圖像”，或者“每個(gè)圖都有唯一裝飾”。這些描述都是等價(jià)的。這樣就可以得到埃澤爾非良基集合的域A={G∈V0|G是強(qiáng)外延的}。把AFA加到ZFC-就得到埃澤爾非良基集合論。

再看看圖6。存在一個(gè)把Ω={Ω}指派給每個(gè)結(jié)點(diǎn)的裝飾；根據(jù)AFA這個(gè)裝飾是唯一的。因此在AFA的域中，既沒有FAFA允許的不同的集合A、B、C，也沒有SAFA允許的不同的集合A、B。a、b、c三點(diǎn)都具有互模擬關(guān)系，所以圖6不是強(qiáng)外延的。這些公理給出了遞降的集合論域：B?Y?F?S?A。

三、FAFA或AFA

盡管FAFA斷定的是最自然的非良基集合論系統(tǒng)，但是事實(shí)上AFA在近幾年最引人注目。是什么理論在支持AFA呢？埃澤爾自己幾乎沒有給予討論，但他在《非良基集合論》中給出了莫斯托夫斯基（Mostowski）坍塌引理：每個(gè)良基圖有一個(gè)唯一裝飾。這里的唯一性明顯是為了導(dǎo)出在AFA下相對(duì)應(yīng)的唯一性。但是，莫斯托夫斯基坍塌引理中的唯一性根源何在呢？準(zhǔn)確地說，良基性允許我們遞歸地定義唯一裝飾。在非良基情況下，唯一性需要一個(gè)不同的論證。但是，埃澤爾沒有提供。

支持AFA的另一來源是巴威斯和莫斯的《惡性循環(huán)》，但在這里，支持AFA的理由同樣是簡(jiǎn)單的。他們考慮了滿足d={q，d}的集合d的數(shù)量（可把q看作某個(gè)固定的集合）。

假定d1和d2都是這個(gè)方程的解，那么無限地展開這些集合，我們看到：di={q，{q，{q，…}}}。

這里i=1、2。直觀上說，沒有什么東西可以把這兩個(gè)集合區(qū)分開來。沿著此路線展開下去，它們都是相同的。除字母之外，承認(rèn)任意差別都會(huì)違反外延公理的精神，外延公理的精神實(shí)質(zhì)是說“集合由它的元素完全確定”。于是巴威斯和莫斯斷言僅僅存在一個(gè)這樣的d，并且那個(gè)裝飾總是唯一的。

（圖8）Ω＊的一個(gè)圖像

需要指出兩點(diǎn)，一是這個(gè)論證幾乎能夠支持“同構(gòu)的集合是相等的”原則，F(xiàn)AFA是這一原則的形式化版本，但是它不能支持更強(qiáng)的原則：集合只要有可能就相等；二是連d1、d2是否同構(gòu)也不是很清楚。假設(shè)d1=q，d2≠q，那么d1只有一個(gè)元素，d2有兩個(gè)元素。為明白這一點(diǎn)，取q=Ω。因此我們正在尋找方程d={Ω，d}的解。這個(gè)解是圖8中那個(gè)頂點(diǎn)的可能裝飾。

一個(gè)解d=Ω。另一個(gè)可能的解d=Ω*，這里Ω*≠Ω，Ω*={Ω，Ω*}。盡管Ω和Ω*都滿足：

d={Ω，{Ω，{Ω，…}}}。

但是Ω和Ω*不同構(gòu)。當(dāng)然，在AFA的域中，不存在Ω*，因?yàn)閳D8的唯一裝飾把Ω指派給每一個(gè)結(jié)點(diǎn)。但是巴威斯和莫斯在證明AFA（每個(gè)圖有唯一裝飾）成立時(shí)假定了方程解的唯一性，而現(xiàn)在證明這個(gè)方程有唯一解時(shí)又假定AFA成立，這就給人有乞題之嫌。

所有這些似乎相當(dāng)抽象，現(xiàn)在看看在一個(gè)相對(duì)具體的背景下FAFA與其他公理有什么不同。迄今為止，眾所周知的對(duì)非良基集合的應(yīng)用是巴威斯和莫斯提出的用來解釋說謊者悖論，這里只需要他們的基本理論。在這個(gè)理論中，命題可以用一個(gè)n-元組描述。例如，“巴黎是浪漫的”可以用一個(gè)有序?qū)砻枋鰌=＜ro，pa＞，這里ro和pa是原子。關(guān)于其他命題的命題，還需要表示真和假的原子。因此命題斷定“命題p 是真的”可以模型化為＜tr，p＞。

當(dāng)允許自我指謂時(shí)，悖論就出現(xiàn)了。因此，一個(gè)斷定自己假的說謊者命題p1被模型化為p1=＜fa，p1＞。如果把有序?qū)δＰ突癁榧系脑挘纾紉，y＞={{x}，{x，y}}，那么p1一定是非良基的。巴威斯和埃切門第（Etchemendy）使用的非良基集合論實(shí)際上是帶有原子的AFA集合論。這個(gè)集合論把有互模擬關(guān)系的集合看作是同一集合（而FAFA僅僅把同構(gòu)的集合看作同一集合），巴威斯和埃切門第被迫把具有互模擬關(guān)系的不同結(jié)構(gòu)的命題看作是同一命題。沿著圖8的思路，我們給出一個(gè)例子。首先可能嘗試給出兩個(gè)命題：

一個(gè)包含合取式，另一個(gè)沒有，這兩個(gè)命題在理論上就是不同的，我們把它們修改成：

AFA強(qiáng)迫p=q。存在一個(gè)唯一的p滿足第一個(gè)方程，并且埃澤爾1988年給出的及巴威斯、埃切門第1987年給出的解引理也保證了這兩個(gè)方程形成的方程組的唯一解的存在性[5]241～253（這個(gè)引理等價(jià)于AFA，它斷言“任意這樣的方程組有唯一解”）。很明顯，一個(gè)解可通過允許p=q獲得，因此，這就是唯一解。然而直觀上，p和q應(yīng)該有不同的結(jié)構(gòu)，并因此應(yīng)該表達(dá)不同的命題，實(shí)際上，直觀上可以有p為真q為假。

在非良基集合的應(yīng)用中，解引理是很方便的。當(dāng)我們能夠使用ZF的歸納定義的時(shí)候，解引理保證了這些定義仍然是唯一的，但是這個(gè)唯一性以喪失域的豐富性為代價(jià)。如果能夠證明與FAFA相對(duì)應(yīng)的某個(gè)解引理版本，運(yùn)用FAFA會(huì)更容易達(dá)到我們的目標(biāo)。一個(gè)可能的方法是證明在眾多的解中，總存在一個(gè)具有特定性質(zhì)的唯一解。這些應(yīng)該得到進(jìn)一步研究。顯然，如果接受所有的非良基集合，那么應(yīng)該接受的不僅僅是AFA域中的東西。

[1] Peter Aczel.Non-Well-Founded Sets[D].Stanford：CSLI Publications，1988.

[2] M.Boffa.Forcing et negation de 1’axiom de fondement[J].Memoire Acad，Sci.Belg.XL，1972，（7）.

[3] P.Finsler.Uber die Grundlagen der Mengenlehre[J].I.Math Zeitschrift，1972，（25）.

[4] D.Scott.A different kind of model of set theory[C].unpublished paper presented at the 1960 Standford Congress of Logic，Methodology and Philosophy of Science.

[5] Adam Rieger.An Argument for Finsler-Aczel Set Theory[J].Mind，2000，109（434）.