函數(shù)方程的幾種常見解法

楊昌海

摘要： 本文介紹了函數(shù)方程、復(fù)合函數(shù)及與函數(shù)方程有關(guān)的一系列的定義，準(zhǔn)確分析了函數(shù)方程f［g（x）］=h（x）應(yīng)滿足的條件及有解的條件；然后說明了解高斯函數(shù)方程的解法特點；最后通過列舉實例，說明了解函數(shù)方程的常用方法.

關(guān)鍵詞： 函數(shù)方程復(fù)合函數(shù)解法

一、函數(shù)方程f［g（x）］=h（x）的解法

1.關(guān)于函數(shù)方程f［g（x）］=h（x）的有解條件

由函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的概念知，該方程的解f（u）同時具備下述特征：

（1）f（u）是非空數(shù)集D到非空數(shù)集M上的一個滿射（M中每一個元素都有原象）.

（2）y=f（u）、u=g（x）的復(fù)合函數(shù)f［g（x）］存在，即函數(shù)f（x）的定義域與函數(shù)g（x）的值域之交集是非空數(shù)集.

（3）f［g（x）］=h（x）的解不僅使等號兩側(cè)的函數(shù)f［g（x）］、h（x）保持對應(yīng)法則相同，而且使它們的定義域（E?勐E=E）相同、值域相同.

因此，當(dāng)滿足方程的對應(yīng)法則f（x）不存在，或其存在但至少與上述三點之一相悖時，此方程無解.

當(dāng)滿足方程的對應(yīng)法則f（x）存在，具備上述三點，且D=D時，此方程有唯一解.

當(dāng)滿足方程的對應(yīng)法則f（x）存在，具備上述三點，且D?奐D時，此方程有無窮多個解.

2.函數(shù)方程f［g（x）］=h（x）的解法

在解此類函數(shù)方程時應(yīng)嚴(yán)格按照以下步驟.

（1）根據(jù)函數(shù)方程f［g（x）］=h（x）有解的條件判斷函數(shù)方程是否有解，若有解，解的個數(shù)又是多少.

（2）用換元法求出其解.

（3）檢驗所求出的解是否滿足復(fù)合函數(shù)中的定義域、值域之間的關(guān)系.

例1：已知f（）=lg（2x+1），f（u）是定義在（-∞，-5）∪（1，+∞）上的函數(shù)，求f（u）.

誤解：設(shè)=u，則x=，代入已知等式得：

f（u）=lg（+1），

∴f（u）=lg，u∈（-∞，-5）∩（1，+∞）為所求.

此題的解法看上去是準(zhǔn)確無誤，實際上是忽視了此方程有解的條件，主要原因是E=（-0.5，+∞），E?哿E=（-∞，0）∪（0，+∞），必有E≠E，因此，本題也無解.

二、求解高斯函數(shù)方程的幾種方法

函數(shù)f（x）=［x］叫做高斯函數(shù)，其中［x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù).含有［x］的方程叫做高斯函數(shù)方程，下面就通過舉例說明一些解高斯函數(shù)方程常用的技巧.

1.巧用［f（x）］=f（x）-a，0≤a＜1的性質(zhì)

由定義可知［f（x）］=f（x）-a，0≤a＜1，我們巧用這一結(jié)論，可以解方程兩邊都是關(guān)于x的同次的問題，快捷簡明.

例2：方程［3x-4］-2x-1=0的解是.

解：因為［3x-4］=（3x-4）-［x-5］，

所以0≤x-5＜1，解得5≤x＜6，從而得≤2x+1＜.

由2x+1∈Z，得2x+1=13、14，故x=6或x=6.

2.利用放縮法縮小不等式的范圍

根據(jù)題意，用放縮法我們可以先求出x的范圍，再由［x］是整數(shù)，即可求出其解.由定義我們很容易可以得到x-1＜［x］≤x，x-1＜［x］≤x就為用放縮法創(chuàng)造了有利的條件.

例3：求方程x-8［x］+7=0的全部解.

解：∵［x］=（x+7）

∴x-1＜（x+7）≤x，解得1≤x＜3或5＜x≤7，從而有

1≤（x+7）＜2或4＜（x+7）≤7，

∵（x+7）∈Z，

∴（x+7）=1、5、6、7，又x＞0.

∴x=1，x=，x=，x=7.

3.巧用分類討論法

某些高斯函數(shù)方程，采用分類討論的方法可以達(dá)到解題的目的.

例4：試求方程的質(zhì)數(shù)解：［］+［］+［］=q.

解：（1）當(dāng)p=2時，代入原方程，得q=1，這與q是質(zhì)數(shù)矛盾.

（2）當(dāng)p=3時，代入原方程，得q=2.

（3）當(dāng)p＞3時，任何質(zhì)數(shù)p=6k±1，k∈N.

若p=6k+1，則代入原方程，得

q=［3k+］+［2k+］+［k+］=3k+2k+k=6k，這與q是質(zhì)數(shù)矛盾.

若p=6k-1，則代入原方程，得

q=［3k-］+［2k-］+［k-］=（3k-1）+（2k-1）+（k-1）=6k-3=3（2k-1）

要使q是質(zhì)數(shù)，只有2k-1=1，即k=1，因此p=5，q=3.

綜上可得，所求的質(zhì)數(shù)解是p=3，q=2或p=5，q=3.