讓數(shù)學(xué)課堂在變中出彩

曹雪平

摘 要：中考數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)的目的是在短時(shí)間內(nèi)幫助學(xué)生熟練掌握所學(xué)知識(shí)，為進(jìn)一步地學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)?！白兪接?xùn)練”是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法之一。作者從概念、結(jié)構(gòu)、題目、方法、思維五個(gè)方面進(jìn)行變式訓(xùn)練，從邏輯推理上演繹出一類問(wèn)題的解法，通過(guò)對(duì)一類問(wèn)題的研究，迅速將相關(guān)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、探究創(chuàng)新及靈活多變的思維能力。

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 變式訓(xùn)練 選題

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是初中學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)的最后階段，總復(fù)習(xí)的效果直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度。調(diào)動(dòng)學(xué)生復(fù)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，是提高復(fù)習(xí)效率的關(guān)鍵。由于總復(fù)習(xí)是知識(shí)的再現(xiàn)過(guò)程，學(xué)生容易產(chǎn)生厭倦心理，如何上好復(fù)習(xí)課，使學(xué)生易于接受，樂(lè)于接受？老師要吃透《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，掌握課程考試綱要，熟練駕馭教材，注重變式訓(xùn)練，讓數(shù)學(xué)課堂在變中出彩。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貫穿兩條主線，即數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法?！白兪接?xùn)練”蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，更貼近學(xué)生的思想認(rèn)識(shí)水平，符合常人的思維習(xí)慣，同樣也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。復(fù)習(xí)時(shí)要讓學(xué)生熟練掌握通用方法和規(guī)律，并能夠靈活應(yīng)用，而對(duì)那些適用面窄、局限性大的特殊技巧應(yīng)予以淡化，以免削弱復(fù)習(xí)和訓(xùn)練的效率。在初中數(shù)學(xué)中，常用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、整體思想等，應(yīng)在解決問(wèn)題的過(guò)程中加以揭示、運(yùn)用和提煉，并在專題復(fù)習(xí)階段進(jìn)一步系統(tǒng)化。對(duì)于常用于數(shù)學(xué)解題的配方法、換元法、待定系數(shù)法等通法，盡管各自有其不同的特點(diǎn)和應(yīng)用范圍，但它們都是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具，應(yīng)在基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)階段進(jìn)行滲透、解釋和運(yùn)用，并在專題復(fù)習(xí)階段進(jìn)行系統(tǒng)化的訓(xùn)練，要注意積累一些常規(guī)的解題方法，形成常規(guī)的解題意識(shí)和能力。下面是我在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的做法，供大家參討。

一、通過(guò)正例變式突出概念的本質(zhì)屬性

一般意義上的教學(xué)變式主要包括兩類：一類是屬于概念的外延集合的變式，稱為正例變式，可以根據(jù)其在教學(xué)中的作用分為概念的標(biāo)準(zhǔn)變式和非標(biāo)準(zhǔn)變式；另一類是不屬于概念的外延集合的變式，但與概念對(duì)象有某些共同的非本質(zhì)屬性的變式，其中包括用于揭示概念對(duì)立面的反例變式。

和一般科學(xué)概念一樣，數(shù)學(xué)概念是一種外延性概念，也就是說(shuō)，每個(gè)概念都有一個(gè)明晰的邊界，掌握概念意味著能夠通過(guò)內(nèi)涵去確定一個(gè)具體的對(duì)象是否在這個(gè)邊界內(nèi)。因此，教學(xué)的一種有效途徑就是將概念的外延作為變異空間，將其所包含的對(duì)象作為變式，通過(guò)類化不同變式的共同屬性而突出概念的本質(zhì)屬性。

在概念的對(duì)象集合中，盡管從邏輯的角度看，每個(gè)對(duì)象都是等價(jià)的，但實(shí)際上，這些對(duì)象在學(xué)生的概念理解系統(tǒng)中的地位并不相同。特別的，其中一些對(duì)象由于擁有“標(biāo)準(zhǔn)的”形式，或者受到感性經(jīng)驗(yàn)的影響，或者在引入概念時(shí)的“先入為主”等原因，而成為所謂的標(biāo)準(zhǔn)變式。

在這兩種正例變式中，標(biāo)準(zhǔn)變式雖然有利于學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確把握，但也容易限制學(xué)生的思維，從而人為地縮小概念的外延。解決這個(gè)問(wèn)題的方法之一就是充分利用非標(biāo)準(zhǔn)變式，通過(guò)變換概念的非本質(zhì)屬性，突出其本質(zhì)屬性。

二、通過(guò)反例變式明確概念的外延

概念的內(nèi)涵與外延是對(duì)立而統(tǒng)一的，內(nèi)涵明確則外延清晰。因此，概念的教學(xué)除了在內(nèi)涵上下工夫外，還應(yīng)該使學(xué)生對(duì)概念所包含的對(duì)象集合有一個(gè)清晰的邊界。

這類反例變式一般有兩個(gè)來(lái)源：一是來(lái)自概念之間的邏輯關(guān)系；二是基于學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤。教師運(yùn)用反例變式進(jìn)行概念教學(xué)，一方面可以幫助學(xué)生建立相關(guān)概念之間的聯(lián)系，另一方面也可以預(yù)防或者澄清學(xué)生在概念理解時(shí)可能出現(xiàn)的混淆，從而確切地把握概念變式的本質(zhì)特征。

反例變式的另一種形式是讓學(xué)生舉出不合某屬性的例子。例如，命題“各邊都相等的多邊形是正多邊形”是否正確，若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)舉一反例。在去掉本質(zhì)屬性“各角相等”后，學(xué)生需要對(duì)各邊都相等的多邊形進(jìn)行多次的檢驗(yàn)、選擇、批判，從而明白哪些是本質(zhì)特征，哪些是非本質(zhì)特征，再舉出反例。在這一思考過(guò)程中，學(xué)生思維的批判性和創(chuàng)造性都會(huì)得到很好的培養(yǎng)。

總之，在數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程中，正例變式有利于“豐富”概念，反例變式有利于“純潔”概念，從而盡可能避免非本質(zhì)屬性泛化的錯(cuò)誤，使數(shù)學(xué)概念的概括精確化，提高概念教學(xué)的有效性。

可見(jiàn)，數(shù)學(xué)教師運(yùn)用變式來(lái)進(jìn)行概念教學(xué)的基本特征是：通過(guò)各種概念之間，以及正例變式與反例變式之間的差異與聯(lián)系來(lái)把握概念的內(nèi)涵與外延，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的多角度的理解，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行靈活變換，使學(xué)生觸類旁通、舉一反三，進(jìn)而“減負(fù)增效”，提高數(shù)學(xué)概念課堂的有效性。

三、變通知識(shí)結(jié)構(gòu)，整理知識(shí)脈絡(luò)

數(shù)學(xué)教材是按循序漸進(jìn)、螺旋式上升的原則進(jìn)行編排的，復(fù)習(xí)時(shí)若再按章節(jié)一一回顧知識(shí)要點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)覺(jué)得枯燥乏味，心生厭煩，也不利于知識(shí)系統(tǒng)的形成。心理學(xué)研究表明新鮮事物容易使人產(chǎn)生興趣，激發(fā)好奇心、求知欲?？倧?fù)習(xí)階段學(xué)生已經(jīng)失去了上新課時(shí)的那種熱情和新鮮感，因此，教師要調(diào)整知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓知識(shí)以另一副面孔呈現(xiàn)。

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教材在內(nèi)容編排上往往把某些知識(shí)分散介紹。在總復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)將這些知識(shí)運(yùn)用通性通法進(jìn)行系統(tǒng)整理，給學(xué)生以整體全面的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。例如，方程、不等式與函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，看似相互獨(dú)立的三塊知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)際上是緊密聯(lián)系、相輔相成的教學(xué)內(nèi)容。在復(fù)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，可利用圖像闡明它和一元一次方程、一元一次不等式及其解之間的聯(lián)系。而復(fù)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，可利用圖像闡明它和一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系。這樣的知識(shí)整理可讓學(xué)生對(duì)函數(shù)、方程、不等式有更全面的理解，在對(duì)舊知識(shí)進(jìn)行梳理時(shí)，要進(jìn)行多角度的審視，而不是機(jī)械地重復(fù)，讓學(xué)生在耳目一新的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的緊密性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

四、改編題目條件，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

題目變化包括條件的探究，即增加、減少或改變條件；結(jié)論的探究，即結(jié)論是否唯一；引申探究，即命題是否推廣；數(shù)與形的探究，等等。利用此類變式方法，可以使學(xué)生掌握一類題的解法，即解題通法。其實(shí)解題不僅可以查漏補(bǔ)缺，檢查知識(shí)的掌握情況，而且能夠通過(guò)解題提煉出解題方法，解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、探究創(chuàng)新、靈活多變的思維能力。

例如：如圖1，正方形ABCD中，E、F在邊BC、CD上，且滿足∠EAF=45°，探索線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

點(diǎn)撥：說(shuō)明三條線段的數(shù)量關(guān)系，在圖形準(zhǔn)確的情況下，我們可通過(guò)初步測(cè)量其長(zhǎng)度，尋找其關(guān)系。在得出三者的和差關(guān)系后，說(shuō)理時(shí)，可采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法。例如：可延長(zhǎng)CB到G使BG=DF，通過(guò)證明△AGB≌△AFD和△AGE≌△AFE，得出BE+FD=EF.

變式1.靜動(dòng)轉(zhuǎn)換

把一無(wú)限大等腰直角三角板的銳角頂點(diǎn)放在A頂點(diǎn)處，三角板的兩邊分別與正方形的邊BC和CD或其延長(zhǎng)線相交于E、F點(diǎn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，上例的結(jié)論還成立嗎？

當(dāng)三角板的兩邊分別與正方形的邊BC和CD相交于E、F點(diǎn)時(shí)，結(jié)論BE+FD=EF成立；當(dāng)三角板的兩邊分別與正方形的邊BC和CD延長(zhǎng)線相交于E、F點(diǎn)時(shí)，結(jié)論不成立，變?yōu)閨BE-FD|=EF.

變式2.條件與結(jié)論轉(zhuǎn)換

把例中BE、EF、FD關(guān)系與∠EAF=45°互換，命題還是真命題嗎？

變式3.弱化題設(shè)

如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別在BC、CD上，且滿足∠EAF=∠BAD.

探究原結(jié)論是否成立.

點(diǎn)撥：題中∠EAF=∠BAD，可轉(zhuǎn)化為∠EAF=∠BAE+∠FAD，仍采用例1的解法，即延長(zhǎng)EB到G使BG=DF，由∠B+∠D=180°，∠ABE+∠ABG=180°，得出∠D=∠ABG，再通過(guò)證明△AGB≌△AFD得出∠BAG=∠DAF，進(jìn)而得出∠FAE=∠EAG，再通過(guò)證明△AGE≌△AFE，得出BE+FD=EF.

事實(shí)上，許多課本習(xí)題是編寫(xiě)者精心篩選、匠心獨(dú)運(yùn)命制而成的，具有豐富的內(nèi)涵，平時(shí)解題時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思。既要反思題目的條件與結(jié)論之間因果關(guān)系能否交換，又要注意命題條件能否等價(jià)的更換，結(jié)論能否拓展、引申與推廣，圖形的結(jié)構(gòu)能否發(fā)生變化，怎樣變化？從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法的變通?？偨Y(jié)的過(guò)程需要運(yùn)用許多相關(guān)知識(shí)，因此，有的學(xué)生不愿意在這方面下工夫，而忽略了它，但真正做起來(lái)就會(huì)覺(jué)得其妙無(wú)窮，因?yàn)榭偨Y(jié)解決的不只是解一道題，更為重要的是學(xué)生在這一過(guò)程中會(huì)參與創(chuàng)造性思維活動(dòng)，這一點(diǎn)絕非單純地解多少道題目所能比及的，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真做好解題后的反思總結(jié)，橫穿縱拓地探索，必能激起學(xué)生探求數(shù)學(xué)奧秘的動(dòng)機(jī)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚興趣。久而久之，就可以讓學(xué)生學(xué)到總結(jié)歸納的方法，收到“做一題，通一類，會(huì)一片”，舉一反三、觸類旁通的功效。

五、變換解題方法，感受數(shù)學(xué)思想

對(duì)于解題方法而言，當(dāng)從某個(gè)角度難以入手時(shí)，可以換一個(gè)角度。對(duì)各種思路、方法分析比較，是形成創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的源泉。通過(guò)有意識(shí)地精選可用多種思路來(lái)完成的典型題，利用方法變通，可幫助學(xué)生找到解題的“切入點(diǎn)”，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，掌握換元法、配方法、待定系數(shù)法等常用數(shù)學(xué)方法。

例如：關(guān)于x的一元二次方程x-2x+a=0有解的條件是.

分析：這題是直接考查一元二次方程根的判別式，即一元二次方程有解，滿足2-4a≥0，即a≤1.

變式：（1）關(guān)于x的一元二次方程ax-2x+1=0有解的條件是；

（2）關(guān)于x的方程ax-2x+1=0有解的條件是；

（3）二次函數(shù)y=ax-2x+1與x軸有交點(diǎn)的條件是；

（4）函數(shù)y=ax-2x+1與x軸有交點(diǎn)的條件是.

我預(yù)先把題抄到小黑板上，讓每個(gè)同學(xué)都積極思考，在分組討論，比較四小題關(guān)系，讓他們都能體驗(yàn)自己的成功，課堂因不同的方法而變得精彩。

六、變換思維方式，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

“數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的體操”。思維變通往往指的是以上幾種變通的綜合，尤其是題目變式和方法變化。在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，利用此類變式問(wèn)題可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性，從而更好地挖掘?qū)W生的潛能，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

例如：如圖3，在小河l的同側(cè)有牛欄A和草地B，牛每天要先到河邊飲水，然后到草地吃草。請(qǐng)問(wèn)牧童如何才能使牛走的路程之和最短？

這是一道典型的幾何作圖試題，它涉及軸對(duì)稱、兩點(diǎn)之間線段最短、尺規(guī)作圖等數(shù)學(xué)知識(shí)，若將這道題稍加變式，則能激起學(xué)生更大的思維浪花。

變式1：一束光線從x軸上點(diǎn)A（1，0）出發(fā)，經(jīng)過(guò)y軸上點(diǎn)P反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，6），則點(diǎn)P坐標(biāo).

變式2：在上題中，試在y軸上找一點(diǎn)P，使PB-PA的值最大，則點(diǎn)P坐標(biāo).

變式3：在y軸上試在y軸上找一點(diǎn)C，使CB+CA的值最小，則點(diǎn)C坐標(biāo).

思路分析：若P、A、B不在一直線上，則PB-PA＜AB；若P、A、B在一直線上，則PB-PA=AB，所以PB-PA≤AB，其最大值為AB，求出直線AB與y軸的交點(diǎn)即P點(diǎn).變式3可用類似的方法求得C坐標(biāo)。在展示這道變式題時(shí)學(xué)生的興致很高，尤其是基礎(chǔ)比較扎實(shí)、成績(jī)比較優(yōu)秀的學(xué)生，收效甚好。

在變式探究過(guò)程中，學(xué)生的思維逐步深入，并影響著課堂的氣氛，課堂常常因奧妙精彩的變化而達(dá)到高潮。教學(xué)的關(guān)鍵不是記住結(jié)論，而是經(jīng)歷探究的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)的研究方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的提高，只有在運(yùn)用通性通法進(jìn)行不斷變式演練的過(guò)程中，才能提高解題能力。教師通過(guò)變式教學(xué)，有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，可使學(xué)生思維在所學(xué)知識(shí)中游刃有余，順暢飛翔。

在總復(fù)習(xí)中，教師不能將新題型的復(fù)習(xí)游離于通性通法之外，應(yīng)重視選題和變式訓(xùn)練，通過(guò)變式訓(xùn)練幫助學(xué)生多角度理解知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，從而達(dá)到靈活運(yùn)用的目的。挖掘每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“營(yíng)養(yǎng)價(jià)值”，達(dá)到“以少勝多”、“舉一反三”、“融會(huì)貫通”的效果，是數(shù)學(xué)教師錘煉自身內(nèi)功的一個(gè)追求目標(biāo)，例題、習(xí)題要體現(xiàn)通性通法，既包含數(shù)學(xué)思想方法，又適量“難、新、活、寬”，做到難而不怪、新而不奇、活而不亂、寬而不偏，從而使數(shù)學(xué)課堂在“變”中出彩。