群論中的幾何直觀教學(xué)法

郭麗 楊月婷

【摘要】討論了幾何直觀教學(xué)在近世代數(shù)教學(xué)的作用和重要性，從概念的引入、定理的幾何意義及應(yīng)用等方面闡述了加強幾何直觀教學(xué)的意義，并通過例子加以說明.在群論教學(xué)中運用幾何直觀教學(xué)法不僅有助于利用形象思維理解和運用抽象的概念和結(jié)論，同時也突出了抽象的概念和結(jié)論在處理復(fù)雜幾何圖形時的作用.由此可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用近世代數(shù)知識的能力.

【關(guān)鍵詞】幾何直觀；群；對稱性變換；群作用

【中圖分類號】O152.2

近世代數(shù)是研究各種代數(shù)運算系統(tǒng)的運算性質(zhì)，并用來解決代數(shù)學(xué)、其他數(shù)學(xué)、其他科學(xué)以及工程技術(shù)中的一些問題的學(xué)科.近年來已廣泛應(yīng)用于密碼學(xué)、微分方程、現(xiàn)代控制理論等數(shù)學(xué)分支和工程技術(shù)、經(jīng)濟與社會科學(xué)等眾多領(lǐng)域.因此，近世代數(shù)是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程.由于該課程具有高度的抽象性和邏輯性且概念多而雜，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)時往往很難理解其中抽象的概念和結(jié)論，有的學(xué)生雖然理論上聽懂了，習(xí)題卻做不出來.究其原因，在于學(xué)生對其中的基本概念和結(jié)論掌握得不夠深刻和準(zhǔn)確.如何使學(xué)生更好地掌握該課程的基礎(chǔ)知識，領(lǐng)略近世代數(shù)的思想精髓，一直是我們必須面對的一個難題.

熟知抽象是數(shù)學(xué)的基本屬性之一，然而“抽象思維如果脫離直觀一般是很有限度的，同樣，如果在抽象中看不出直觀，一般說明還沒有把握住問題的實質(zhì)”.由此看出，抽象性和直觀性是數(shù)學(xué)的兩個密不可分的部分.我們從多年的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，幾何直觀仍是領(lǐng)悟近世代數(shù)基本思想的有效方法.在教學(xué)中，利用幾何圖形的直觀性引導(dǎo)學(xué)生理解其中抽象的概念和性質(zhì)，掌握結(jié)論的應(yīng)用等，不僅可以順利地達到教學(xué)目的，而且可以加深學(xué)生對知識的理解，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)近世代數(shù)的畏難情緒，達到事半功倍的效果.本文將從教學(xué)實踐的角度闡明近世代數(shù)的群論教學(xué)中加強幾何直觀教學(xué)的方法和好處.

群論是近世代數(shù)的重要組成部分.群是刻畫事物對稱性的工具，它既可以刻畫圖形的對稱性，也可以刻畫多個變量函數(shù)和物理系統(tǒng)的對稱性，對稱與群緊密相連.因此從刻畫簡單的幾何圖形的對稱性引入群的定義并討論其基本性質(zhì)，可以很自然地引導(dǎo)學(xué)生將群論中抽象的概念和相關(guān)結(jié)論與現(xiàn)實幾何圖形的變換聯(lián)系起來，對群論的基本概念看得見，摸得著，在頭腦中留下深刻的印象，從而降低對概念理解的難度，激發(fā)他們深入學(xué)習(xí)的興趣.

例如刻畫正多邊形的對稱性是理解群的定義的典型例子.在求正四多形所有對稱性變換時，既用到了人們對圖形的直觀認識，又用到了群的運算性質(zhì)，加深了學(xué)生對群的概念的

幾何直觀理解，同時也說明運用群的定義和性質(zhì)可以解決一些實際問題，幫助學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中很好地加以利用.另一方面，要想靠觀察幾何圖形的特點給出復(fù)雜圖形的對稱性群卻遇到困難，因此在教學(xué)中應(yīng)適時地引導(dǎo)學(xué)生了解，必須深入學(xué)習(xí)群論的更多知識，才能讓看起來難以解決的問題迎刃而解.例如，用有限群作用下的軌道長說明正立方體的對稱性群G.把立方體的六個面做成集合M，記為M={1，2，3，4，5，6}，其中上、下兩底面分別記為1，3；前、后兩面為2，4；左、右兩側(cè)面為6，5.G中元素把立方體變到自身，因而把它的各個面仍變到它的面.這說明G在M上有群作用，且該群作用是傳遞的.再考慮將立方體繞Ox軸旋轉(zhuǎn)0°，90°，180°，270°就把面1分別變到面1，面2，面3，面4；繞Oy軸轉(zhuǎn)90°，270°就把面1變到面5和面6（以上旋轉(zhuǎn)都按右手旋轉(zhuǎn)）.把這6個旋轉(zhuǎn)依次記為Ti（i=1，2，…，6）.易知G在面1處的穩(wěn)定化子StabG（1）有8個元：4個繞Oz軸的旋轉(zhuǎn)及分別對于xOz面、AOz面、yOz面及BOz面的鏡面反射.由軌道長的公式有G=А6[]i=1TiStabG（1）.進而知G由48個元組成的.

實踐證明，在群論教學(xué)中運用幾何直觀教學(xué)法，不僅有助于利用形象思維理解和運用抽象的概念和結(jié)論，而且突出了抽象的理論在處理復(fù)雜幾何圖形時的作用.兩者相輔相成，使學(xué)生在形象思維與抽象思維的和諧統(tǒng)一中更深刻地掌握群論的內(nèi)涵，同時也深切地領(lǐng)略到抽象研究的力量，不失為近世代數(shù)教學(xué)的好方法之一.正如法國數(shù)學(xué)家紹蓋在講演《幾何和直觀在數(shù)學(xué)中的作用》最后所說的：“如果你們把幾何這個詞不僅理解為歐幾里得原本中所出現(xiàn)的意義，并且還把它理解為實際世界經(jīng)過運用具體直觀后的數(shù)學(xué)化，那么幾何必須在任何水平上貫穿在我們的整個數(shù)學(xué)教學(xué)中.”

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