論高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系

劉亞婷

摘 要 近年來，隨著高中數(shù)學(xué)課程的改革，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接內(nèi)容越來越多。因此，要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，必須要有牢固的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)沒有想象中的那么神秘，恰恰它有固定模式可循，只要我們有扎實(shí)的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就游刃有余了。在此，我談?wù)劯叩葦?shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 初等數(shù)學(xué) 聯(lián)系

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

On the Contact of Higher Mathematics and Elementary Mathematics

LIU Yating

(Mathematics Department, Xingyi Normal University for Nationalities, Xingyi, Guizhou 562400)

Abstract In recent years, with the reform of high school mathematics curriculum, elementary mathematics and mathematical convergence of more and more. Therefore, in order to learn higher mathematics, must have a solid elementary mathematical basis. Higher mathematics is not as mysterious as imagined, precisely, it has a fixed pattern to follow as long as we have a solid elementary mathematical foundation, advanced mathematics to learn to be getting. At this point, I talk about the links of higher mathematics and elementary mathematics.

Key words higher mathematics; elementary mathematics; contact

1 初等數(shù)學(xué)中一階導(dǎo)數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.1 用一階導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性

在初等數(shù)學(xué)中要討論某一函數(shù)的單調(diào)性，一般根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來做，但在高等數(shù)學(xué)中，我們只需要根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)與0的大小關(guān)系來判斷，即：

定理1 設(shè)函數(shù)在[]上連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)，則

（1） 若在（）內(nèi)＞0，則函數(shù) = 在[]上單調(diào)減少；

（2） 若在（）內(nèi)＜0，則函數(shù) = 在[]上單調(diào)增加；

例1 討論函數(shù) = 的單調(diào)性。

解：函數(shù) = 的定義域?yàn)椋?∞,+∞），令 = 0，則 = 0將（-∞,+∞）分為（-∞,0]，[0,+∞）兩個(gè)部分區(qū)間。

當(dāng)時(shí)∈（-∞,0）， ＜0，則函數(shù) = 在（-∞,0]上單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)∈（0,+∞）， ＞0，則函數(shù) = 在[0,+∞）上單調(diào)增加。

此題若用初等數(shù)學(xué)中定義來討論，從思維上講并不難，但其解答過程要比用此方法復(fù)雜，由此可見，有時(shí)我們用高等方法去處理初等數(shù)學(xué)問題會(huì)比較便捷。

1.2 用一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算極限

當(dāng)我們?cè)谇笊淌降臉O限時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到未定式（即型或型），對(duì)于這種極限，我們常常使用洛必達(dá)法則：設(shè)當(dāng)→（或→∞）時(shí)，函數(shù)和都趨于零，在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)（或當(dāng)||＞時(shí)），及都存在且≠0， 存在（或?yàn)闊o窮大），則 = （或 = ）。

例2 求

解：此極限是未定式型，由洛必達(dá)法則得== =

例3 求

解：此極限是未定式型，由洛必達(dá)法則得== = = = 3在使用洛必達(dá)法則時(shí)，若經(jīng)過分子、分母分別求導(dǎo)后還是型或型，應(yīng)繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，直到極限不是未定式即可。

2 待定系數(shù)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在初等數(shù)學(xué)中，待定系數(shù)法是一種比較常見的、重要的解題方法，它常常起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用，在高等數(shù)學(xué)中，我們也要用到待定系數(shù)法。

2.1 待定系數(shù)法在不定積分中的應(yīng)用

對(duì)于不定積分中的某些被積函數(shù)，我們無法直接找到被積函數(shù)的原函數(shù)，就可以采用待定系數(shù)法把被積函數(shù)拆成幾項(xiàng)，然后再對(duì)每一項(xiàng)積分即可。

例4 求

解： = 可分解成 =+ （*）其中、為待定系數(shù)。將（*）式兩端去分母得： =+ ，在此式中，令 = 2得 = -5，令 = 3得 = 6，從而 =+ ，故 = （ + ） = -5 + 6 = -5|| + 6 || +

2.2 待定系數(shù)法在微分方程中的應(yīng)用

例5 求方程 += 的一個(gè)特解。

解：因方程 += 的自由項(xiàng) = 中的 = 0恰是特征方程 += 0的一個(gè)根，故可設(shè)原方程的一個(gè)特解為 = （） =+ 直接將代入所給方程得： + （2）= ，即 ++= 比較系數(shù)得：亦即：因此 = 為所求特解。

3 用高等數(shù)學(xué)方法去求初等數(shù)學(xué)中的最值

例6 求函數(shù) = 的最大值

解：此題若用初等方法，先計(jì)算一階差分= == ，易知0≤≤4時(shí)，有＞0，從而＞，即＜＜＜＜＜，而當(dāng)≥5時(shí)又有＞0，從而＜，即：＞＞……由上可見，當(dāng) = 5時(shí)，取最大值= = ，但這種方法一般不容易想到，若用高等數(shù)學(xué)的方法去處理，就很容易找到最值點(diǎn)。

另解：對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得 == 令 = 0，得 = 0，用求根公式得 = -1+或 = -1，，因函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞,+∞），故 = -1+和 = -1將其分為三個(gè)區(qū)間（-∞,-1]，[-1,-1+]，[-1+,+∞）。

當(dāng)∈（-∞,-1）時(shí)，＜0函數(shù)在（-∞,-1]上單調(diào)減少；當(dāng)∈（-1,-1+）時(shí)，＞0函數(shù)在 [-∞, -1]上單調(diào)增加；當(dāng)∈（-1+,+∞）時(shí)，＜0函數(shù)在[-1+,+∞）上單調(diào)減少。

由此可知：在（-∞,+∞）內(nèi)存在最大值，而又只有一個(gè)極大值點(diǎn) = -1+ ，所以當(dāng) = -1+時(shí)也為最大值點(diǎn)，又因∈而4＜-1+＜5，所以 = 5為最大值點(diǎn)即：= = 。

當(dāng)然，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系不僅僅只是這些，它們還有許多密切的聯(lián)系，總之初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸，只有掌握好初等數(shù)學(xué)的知識(shí)，才能學(xué)好高等數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)

[1] 高等數(shù)學(xué).同濟(jì)大學(xué)第六版.高等教育出版社.

[2] 郭運(yùn)瑞,彭躍飛.高等數(shù)學(xué).人民出版社.

[3] 李長明,周煥山.初等數(shù)學(xué).高等教育出版社.