分形觀點(diǎn)下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)知觀

胡曉濤 王珍娟

摘 要 根據(jù)非線性科學(xué)在認(rèn)知心理學(xué)上的應(yīng)用，文章分析了分形的自相似性、不規(guī)則性、迭代性在高等數(shù)學(xué)教學(xué)上的應(yīng)用，來(lái)構(gòu)建符合認(rèn)知心理學(xué)觀點(diǎn)的新式高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞 分形 自相似性 迭代性 認(rèn)知心理學(xué)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Higher Mathematics Teaching Cognitive View under Fractal Point of View

HU Xiaotao[1], WANG Zhenjuan[2]

([1] Faculty of Science, Shandong Jianzhu University, Jinan, Shandong 250101;

[2] Shandong Vocational College, Jinan, Shandong 250104)

Abstract According to the application of nonlinear science in cognitive psychology, analysis of fractal self-similarity, irregular, iteration on the teaching of higher mathematics, to build a new higher mathematics teaching model adapt to cognitive psychology perspective.

Key words fractal; self-similarity; iteration; cognitive psychology

1 分形的性質(zhì)

分形是指不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的、不能以傳統(tǒng)歐氏幾何語(yǔ)言描述的點(diǎn)集?，F(xiàn)代科學(xué)雖然廣泛涉及到可以用經(jīng)典微積分研究的集合，但近年來(lái)的研究發(fā)現(xiàn)，不規(guī)則集合比經(jīng)典的幾何圖形能更好的反映自然和社會(huì)現(xiàn)象，分形就為研究不規(guī)則集提供了有力的工具。

分形的性質(zhì)中包含有以下的特性：（1）集合A是自相似的，既集合的部分與其本身幾何相似，包含了許多不同比例的與自身相似的樣本。（2）集合A是不規(guī)則的，不能以傳統(tǒng)歐氏幾何語(yǔ)言描述的集合，它既不是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，也不是某些簡(jiǎn)單方程的解集。（3）集合A是由一個(gè)迭代過(guò)程產(chǎn)生的，持續(xù)的迭代步驟得到A越來(lái)越好的逼近。①

2 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)是對(duì)環(huán)境的刺激，按照其關(guān)系形成的一種新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)習(xí)者頭腦里的知識(shí)結(jié)構(gòu)，它是從教科書及課堂知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來(lái)的。數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)者頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己理解的深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)組成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，如果新知識(shí)與原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)知識(shí)相聯(lián)系，那么通過(guò)新舊知識(shí)的相互作用，新知識(shí)就被納入了原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要這樣一個(gè)接受與納入的過(guò)程，而接受與納入過(guò)程，總需要經(jīng)過(guò)識(shí)記、聯(lián)系、存儲(chǔ)、評(píng)價(jià)等認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程。這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立和完善的過(guò)程。

3 分形對(duì)教學(xué)認(rèn)知的啟示

3.1 高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容設(shè)置遵循自相似的原則

系統(tǒng)的自相似性指某種結(jié)構(gòu)或過(guò)程的特征從不同的空間尺度或時(shí)間尺度來(lái)看都是相似的, 或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。在其整體與整體之間或部分與部分之間，也會(huì)存在相似性。

高等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容設(shè)置的自相似性以較為廣泛的同濟(jì)大學(xué)第六版的一元函數(shù)微積分部分為例，在這個(gè)大的部分下，內(nèi)容由淺入深，突出了引入概念—給出定理—實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程。一元函數(shù)微積分的內(nèi)容設(shè)置中，通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)與極限的概念及性質(zhì)，引入一元微積分的符號(hào)系統(tǒng)，為導(dǎo)數(shù)與微分的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。在導(dǎo)數(shù)與微分的基礎(chǔ)上進(jìn)行應(yīng)用，給出微分中值定理與導(dǎo)數(shù)。同樣，不定積分，定積分和定積分的應(yīng)用重復(fù)了以上過(guò)程，反應(yīng)出了教材內(nèi)容的自相似性。

多元函數(shù)微積分部分和一元函數(shù)部分類似，整體與整體之間也具有自相似性。而具體到每一章的局部?jī)?nèi)容中，仍然具有這樣的自相似性。在開始階段，由物理問(wèn)題引進(jìn)相應(yīng)的背景，在物理運(yùn)算上進(jìn)行總結(jié)，給出重要的概念和定理，然后給出例題，進(jìn)行相關(guān)的應(yīng)用和計(jì)算。在此基礎(chǔ)上，教材改變?cè)械臈l件，設(shè)置更多的障礙，使得定理推廣到更廣闊的范圍，使得例題解答和實(shí)際應(yīng)用達(dá)到更高的技巧，使學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力得到提高。

而在每一節(jié)的過(guò)程中，也基本反應(yīng)了相似的過(guò)程。教材內(nèi)容設(shè)置的自相似性，使得面對(duì)新內(nèi)容時(shí)，只要把握住這一點(diǎn)，以新內(nèi)容的位置與以前熟悉章節(jié)進(jìn)行比較，就可以得出該部分的重點(diǎn)所在及與前后內(nèi)容的聯(lián)系，能夠使得對(duì)教材的理解有整體的把握，這無(wú)論對(duì)高校院校教師的數(shù)學(xué)教學(xué)還是學(xué)生學(xué)習(xí)都大有裨益。

3.2 高等數(shù)學(xué)的認(rèn)知教學(xué)過(guò)程具有一定的分形特性

在科學(xué)發(fā)展的早期，以線性科學(xué)為模型的心理學(xué)研究占據(jù)主導(dǎo)地位。但近年來(lái)，非線性科學(xué)的發(fā)展改變了傳統(tǒng)認(rèn)知心理學(xué)中精確、客觀、量化的研究方法。認(rèn)知心理學(xué)作為一個(gè)演化、開放、復(fù)雜的研究對(duì)象，不可能用決定性的簡(jiǎn)單模式反應(yīng)出心理現(xiàn)象的本質(zhì)。②規(guī)則的線性系統(tǒng)在認(rèn)知心理學(xué)中表現(xiàn)為不規(guī)則的，不能以傳統(tǒng)幾何語(yǔ)言描述的分形系統(tǒng)。

認(rèn)知心理學(xué)的研究表明，無(wú)論何種專業(yè)，影響學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的因素并不完全受限于智力的高低，很大程度上受制于學(xué)生的心理因素。對(duì)初學(xué)高數(shù)的學(xué)生而言，心理影響的表現(xiàn)更是如此，學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，對(duì)學(xué)習(xí)有恐懼心理。

在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的認(rèn)知態(tài)度，成就動(dòng)機(jī)，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，性格特點(diǎn)雖然對(duì)于學(xué)習(xí)水平具有一定的邏輯性作用，但最終還是要看其內(nèi)因、外因以及隨機(jī)性的因素共同作用的結(jié)果。在不同的階段，在不同學(xué)生的身上，隨機(jī)性和不規(guī)則性在這個(gè)過(guò)程中占有很大的比重。

因此在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，必須認(rèn)識(shí)到不規(guī)則、隨機(jī)因素對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)造成的影響。教師應(yīng)該有意識(shí)的改變學(xué)生的心理行為方式，具體到每一個(gè)學(xué)生身上，可以根據(jù)學(xué)生自身的特點(diǎn)，以談話、鼓勵(lì)、樹立典型、增加提問(wèn)次數(shù)等方式表達(dá)教師的期望值，增強(qiáng)學(xué)生的自尊心。更重要的是，以科學(xué)和包容的態(tài)度面對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的起伏，使其盡快調(diào)整，回復(fù)到正常的學(xué)習(xí)中來(lái)。

3.3 高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)參與的認(rèn)知過(guò)程，認(rèn)知過(guò)程具有一定的迭代性

分形迭代性指集合是由迭代過(guò)程產(chǎn)生的，持續(xù)進(jìn)行的迭代步驟得到A越來(lái)越精確的圖像。如圖1：

分形當(dāng)中的Von Coch曲線隨著迭代步驟的進(jìn)行，逐漸得到越來(lái)越精確的圖像，數(shù)學(xué)認(rèn)知的過(guò)程也有類似的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程是應(yīng)該由新學(xué)習(xí)內(nèi)容的輸入到新舊兩種認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生作用，再到產(chǎn)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，到應(yīng)用熟練新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。③

圖1

根據(jù)心理學(xué)的恒定假說(shuō)，外界刺激與心理反應(yīng)之間具有一對(duì)一的關(guān)系。高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容結(jié)構(gòu)的內(nèi)部特性是根據(jù)整個(gè)數(shù)學(xué)體系的規(guī)則和這個(gè)結(jié)構(gòu)的定義反復(fù)迭代來(lái)闡明的。對(duì)于新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生從課前預(yù)習(xí)到課上學(xué)習(xí)，到課后復(fù)習(xí)，再到期末復(fù)習(xí)，這個(gè)過(guò)程是通過(guò)反復(fù)迭代，從下到上的一個(gè)反復(fù)進(jìn)行的知識(shí)結(jié)構(gòu)的重建過(guò)程。

數(shù)學(xué)技能是學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)中極為重要的一個(gè)部分，它包括動(dòng)作技能和心智技能。動(dòng)作技能是完成某一數(shù)學(xué)活動(dòng)所需要的一系列外部的可見的實(shí)際動(dòng)作及熟練程度，包括運(yùn)用計(jì)算工具，測(cè)量，信息化條件下的數(shù)學(xué)運(yùn)算以及分析等技能。技能的訓(xùn)練，要通過(guò)新舊知識(shí)和技能的迭代實(shí)現(xiàn)，在原有技能和知識(shí)的基礎(chǔ)上，每一次迭代，都會(huì)使認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)技能的應(yīng)用變得更加靈活和深刻。

山東省級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目資助，項(xiàng)目號(hào)：2009262

注釋

① K.J.Falconer.分形幾何：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].沈陽(yáng):東北大學(xué)出版社,2-11.

② 林德宏,肖玲.科學(xué)認(rèn)識(shí)思想史[M].南京:江蘇教育出版社.

③ 哈玲,楊愛民.數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)[J].文山學(xué)院學(xué)報(bào),2010(12).