基于子空間擬合的聲矢量陣陣型校正算法及DOA估計

梁國龍，張鍇，吳文峰

(哈爾濱工程大學 水聲技術重點實驗室，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引言

矢量傳感器陣列比傳統(tǒng)的標量傳感器陣列具備更穩(wěn)健的檢測能力、更強的干擾抑制能力和更好的空間分辨能力，使得其在軍事和民事領域擁有了重要的應用價值和廣闊的應用前景，成為近年來信號處理研究的一個熱點，并取得了一系列的研究成果［1-2］。然而，矢量陣列信號處理在帶來諸多好處的同時，其計算相較于標量陣列信號處理也更為繁瑣。而且，和標量陣列信號處理一樣，矢量陣列信號處理也無法避免因受到各種陣列誤差的影響，從而導致矢量陣理論性能嚴重惡化的問題，因此矢量陣的陣列誤差校正技術研究具有重要的現(xiàn)實意義。以往大多數(shù)的陣列校正技術都針對標量傳感器陣列［3-4］，對于矢量傳感器陣列而言，這方面的有關報道還相對較少。其中，文獻［5］通過定義理想波束輸出與實際波束輸出之間的最小方差為其代價函數(shù)，并在此基礎上自適應調整幅度和相位加權，提出了一種矢量陣陣列誤差的自適應補償算法。文獻［6］將電磁場矢量陣的陣列誤差校正轉化為參數(shù)估計問題，基于優(yōu)化迭代的子空間算法實現(xiàn)了矢量陣的陣列誤差自校正。

本文通過將聲矢量陣的聲壓和振速進行聯(lián)合信息處理，提出了一種基于信號子空間擬合的高分辨方位估計算法，該算法在減少計算量方面優(yōu)勢明顯。在此基礎上，針對聲矢量陣列存在陣元位置誤差的情況，通過利用兩個方位未知disjoint 信號源進一步實現(xiàn)了對陣元位置誤差的有效估計。

1 聲矢量傳感器陣列輸出數(shù)據(jù)模型

為方便分析問題，我們僅考慮二維聲矢量傳感器的情況，即陣列和信源共面的方位角估計問題。若假設遠場有D(D≤M)個獨立窄帶聲源以平面波形式到達M 元的聲矢量線陣，其波達方向可表示為Θ=［θ1θ2… θD］，則陣列輸出可表示為

式中:p(n)為聲矢量陣接收的M ×N 維聲壓向量;Ap為M×D 維的聲壓陣列流形向量，滿足

a(θi)=陣元位置ηm=［xmym］T，ui=［cosθisinθi］T，λ 是信號波長;np為M × N 維的聲壓噪聲向量;vx(n)和vy(n)為聲矢量陣接收的振速矢量;Avx和Avy為M ×D 維的振速流形向量;nvx和nvy為M×N 維的振速噪聲向量;S 為D×N 維的源信號向量，N 為快拍數(shù)。

可以合理的假定，np、nvx和nvy是滿足獨立同分布的零均值高斯白噪聲，而這種噪聲場的聲壓、振速不相關性正是進行聯(lián)合信息處理的物理基礎。若將輸出排列為如下形式:

式中(·)T表示取轉置，則(1)式可改寫為

此時滿足:

這種排列方式為下文算法的推導帶來了方便，進一步簡化聲矢量傳感器陣列流形矢量為

式中:

2 基于信號子空間擬合的聲矢量陣高分辨方位估計算法(VSF)

接下來，給出基于信號子空間擬合的聲矢量陣高分辨方位估計算法原理。考慮理想情況下的數(shù)學模型，并結合(4)式、(7)式可得到數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R 滿足:

式中:Us和Un表示信號子空間和噪聲子空間;Σs和Σn表示子空間對應的特征值對角陣;(·)H表示取共軛轉置。由經典的MUSIC 算法可知，當估計信源數(shù)和真實信源數(shù)相等時，信號子空間Us等價于陣列流形張成子空間A，此時存在一個滿秩矩陣T，使得

考慮到無噪聲的情況并結合(7)式，可以得到

即

此時若將聲壓、振速信息進行聯(lián)合處理，可得

當存在噪聲時，(13)式中的信號子空間由估計值

代替，此時(14)式則近似成立。由此，構造如下代價函數(shù):

注意到子空間擬合算法的思想實質是接收數(shù)據(jù)的子空間和實際信號導向矢量組成的子空間之間的擬合［7］，顯然(16)式形成的優(yōu)化問題就是信號子空間擬合問題的解，即信號子空間擬合的DOA 算法?？紤]到子空間算法需要通過多維搜索實現(xiàn)算法的求解，在這里給出(16)式的一維搜索策略。

假定此時僅存在一個信源，(16)式中的陣列流形矩陣A 將變?yōu)閍(θ)，Φx和Φy也同時變?yōu)榧訖嘁蜃觕os θ 和sin θ，此時(16)式的代價函數(shù)將可以實現(xiàn)一維搜索，即

簡化(17)式，可以得到空間譜表達式:

式中:

其中I 是M×M 維的單位陣。

在聲矢量陣列接收寬帶信號時，需要在頻域上描述陣列的輸出。顯然，此時的信號子空間矩陣是方向和頻率的函數(shù)，導向矢量a(θ)中波長λ 也要改寫成與頻率對應的波長λi，空間譜表達式可以改寫為

式中:fi是Fourier 變換后對應的某一頻點;Nf是Fourier 變換點數(shù)。

可以發(fā)現(xiàn)，無論是利用(18)式或利用(20)式進行空間譜搜索，本文方法均基于M ×1 維的導向矢量，而傳統(tǒng)聲矢量陣MUSIC 算法則基于3M ×1 維的導向矢量。由此可見，在計算量方面，本文算法不僅小于傳統(tǒng)的子空間多維搜索算法，而且還低于傳統(tǒng)聲矢量陣MUSIC 算法，這是本文算法的優(yōu)勢之一。

需要指出，在本文算法中M×M 維矩陣Q 的秩等于陣元數(shù)M，且包含了D 個未知信源方位，而當信源數(shù)大于陣元數(shù)時，矩陣Q 無法包含全部的信號信息，此時算法會失效，所以本文算法成立的必要條件是滿足信源數(shù)目D≤M.

3 存在陣元位置誤差的聲矢量陣陣型校正算法

本節(jié)中，假設每個陣元均為理想的聲矢量傳感器且陣元之間不存在幅相誤差，而僅考慮矢量陣元存在位置誤差的情況下利用本文算法實現(xiàn)聲矢量傳感器陣型校正。

當存在陣元位置誤差時，考慮窄帶信號數(shù)據(jù)模型，(2)式將變?yōu)?/p>

式中:

若以第一個陣元為基準，意味著Δη1=［0 0］T，即Ψi的第一個對角元素等于1.

可以發(fā)現(xiàn)，陣元位置誤差包含在相位誤差對角矩陣中。此時，若僅存在一個信源，(18)式則可以表示為

利用矩陣等式:

式中vec(·)表示取對角元素，則空間譜表達式為

其中:

針對上述的存在位置誤差下的空間譜估計問題，文獻［3］給出了實現(xiàn)優(yōu)化的迭代過程，并給出了誤差向量估計的閉式解

當存在兩個disjoint 信源的情況下，可以分別求得包含陣元位置誤差信息的矩陣估計和，在此基礎上結合(23)式，可得如下完備方程組:

式中:

它們表示陣元位置誤差矢量，此時陣元位置誤差的最小二乘估計為

需要指出，在上述迭代優(yōu)化過程中，初始值對算法的收斂性能影響較大，并且需要的計算量較大。鑒于單矢量傳感器本身具有測向能力［8］，本文將單矢量傳感器MUSIC 算法的方位輸出作為誤差向量閉式解中的方位輸入，這樣既可以較準確地求出誤差對角矩陣=diag)，同時又大大減少算法計算量。

下面給出聲矢量陣陣型校正算法實現(xiàn)的具體流程:

1)計算矢量陣接收數(shù)據(jù)z(n)的協(xié)方差矩陣R，并進行特征分解得到聲壓和振速對應的信號子空間Us，p，Us，vx和Us，vy;

5)根據(jù)(34)式求得陣元位置誤差矢量，并對導向矢量進行修正，最后利用VSF 算法進行方位估計。

4 算法仿真

為了驗證本文方位估計算法的性能，設計以下幾組實驗，并給出傳統(tǒng)的MUSIC 算法的仿真結果作為對比，實驗中蒙特卡洛實驗次數(shù)為100 次。

圖1給出了兩個遠場窄帶信號，分別從30°和60°方向入射時，本文算法和MUSIC 算法在陣元數(shù)目M 不同情況下實現(xiàn)多目標分辨的概率曲線，快拍數(shù)為100，采樣頻率為10 kHz.由圖中可以看出，在本文實驗條件下，本文算法的多目標分辨性能接近MUSIC 算法性能。

圖2給出了本文算法實現(xiàn)方位估計的性能曲線，實驗采用4 元均勻矢量線列陣，快拍數(shù)為100，采樣頻率為10 kHz.信號為一個窄帶遠場信號，入射方向為30°.從圖中可以看出，本文算法方位估計性能在信噪比為10 dB 時略低于MUSIC 算法，但隨信噪比的提高二者趨于一致。

圖1 兩種算法分辨性能比較Fig.1 Resolution performance of MUSIC and VSF versus SNR

圖2 兩種算法估計性能比較Fig.2 The performance of DOA estimation of MUSIC and VSF versus SNR

雖然估計性能略弱于MUSIC 算法，但是本文算法計算量卻明顯小于前者。表1給出了本文算法和MUSIC 算法完成100 次空間譜估計時MATLAB 軟件記錄的運行時間。實驗中，空間譜估計的搜索范圍25°～35°，搜索步長Δθ=0.01°，記錄的運行時間單位為秒，其他條件同上。從實驗結果可以看出，在不同陣元數(shù)M 和快拍數(shù)N 情況下，本文算法計算量均小于矢量陣常規(guī)MUSIC 算法。

表1 兩種算法計算時間比較Tab.1 Comparison of the computation times

接下來，討論存在陣元位置誤差情況時本文算法的陣型校正性能。實驗采用8 元均勻矢量線列陣，設聲速c=1 500 m/s，信號為f =500 Hz 的單頻信號，信噪比SNR=30 dB，采樣頻率為10 kHz，陣元間距為半波長d=1.5m，兩個disjoint 信源分別入射到矢量陣，每次數(shù)據(jù)快拍數(shù)10 000，并由軟件隨機生成一組滿足-1～1 m 之間的均勻分布陣元位置誤差矢量。表2給出了利用本文算法估計得到的陣元位置誤差。從表中的對比可以看出，本文算法可以有效地估計陣元位置誤差。

表2 陣列位置誤差估計Tab.2 Calibration results of the array position

圖3給出了3 種不同情況下的空間譜估計曲線。實驗中3 個遠場不相關窄帶信號分別從0°、45°和90°方向入射，其他條件同上。從圖中可以看出，采用基于子空間擬合矢量陣校正算法的空間譜曲線，其方位估計性能較接近MUSIC 算法的理論性能，從而說明了本文算法的有效性。

圖3 陣型校正算法的空間譜曲線Fig.3 Performance of spatial spectrum of the proposed algorithm compared with MUSIC

為進一步研究分析本文算法的陣型校正性能，定義如下誤差量以衡量算法的性能:

式中:Δη=［Δη1Δη2… ΔηM］;Δ^η 是Δη 的估計值。分別考察信源信噪比、采樣快拍數(shù)等因素對本文算法的影響，蒙特卡洛實驗次數(shù)為1 000 次。

圖4給出了在不同信噪比條件下本文算法的誤差性能曲線，實驗中快拍數(shù)10 000，其他條件同上。從仿真結果中可以看出，陣型校正算法的誤差隨著輔助信源信噪比提高而減小。

圖4 不同信噪比下陣型校正算法的性能Fig.4 Calibration errors versus SNR

圖5給出了在不同快拍數(shù)條件下本文算法的誤差性能曲線，實驗中信噪比SNR =30 dB，其他條件同上。從仿真結果中可以看出，陣型校正算法的誤差隨著采樣快拍數(shù)增加而減小。

圖5 不同快拍數(shù)下陣型校正算法的性能Fig.5 Calibration errors versus the number of snapshots

5 結論

本文將子空間擬合原理應用到矢量傳感器的聲壓和振速信息聯(lián)合處理上，提出了一種基于矢量傳感器陣列的高分辨方位估計算法。本文算法的方位估計性能與矢量陣MUSIC 算法性能接近，但是在計算量上較后者有所減少。同時，針對高分辨方位估計性能受陣元位置誤差影響嚴重的問題，在依賴兩個方位未知的disjoint 信源的情況下，本文提出了一種矢量陣陣型校正算法。仿真分析評價了算法的校正性能，結果表明:在仿真條件下，隨著輔助源信噪比的增大和采樣快拍數(shù)的增加，校正算法的性能也明顯提高。研究陣元間存在幅相誤差以及陣元是非理想矢量傳感器等情況下的矢量陣列信號處理方法將是今后工作的一個重點。

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