直線包絡(luò)方法加工凸曲線回轉(zhuǎn)工件的數(shù)學(xué)模型與效率研究

林彬，竹永奎，杜蕃，袁啟海

(天津大學(xué) 先進(jìn)陶瓷和加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072)

0 引言

近年來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，航空航天、軍事領(lǐng)域也獲得了較快的發(fā)展。凸曲線回轉(zhuǎn)工件廣泛應(yīng)用于這些領(lǐng)域，并要求較高的精度和表面質(zhì)量［1］。凸曲線回轉(zhuǎn)工件的成形大多采用軌跡法，依靠帶有圓弧的刀尖與加工表面以點(diǎn)接觸的方式來(lái)磨削成形。普遍采用的加工刀具為平行砂輪，由于平行砂輪圓角半徑較小，每次切削深度有限，加工效率很低。一些先進(jìn)的陶瓷加工實(shí)驗(yàn)室利用較大圓角半徑的杯形砂輪代替平行砂輪，改善了切削深度較小的問(wèn)題，但是由于依靠砂輪刀尖圓弧來(lái)去除材料和保證工件的外形精度，當(dāng)砂輪刀尖圓弧快速磨損以后，很難繼續(xù)保證加工精度，所以這種方法仍然無(wú)法滿(mǎn)足現(xiàn)代高效精密加工的需求。

文獻(xiàn)［2］提出了一種將端面磨削應(yīng)用到加工凸曲線回轉(zhuǎn)工件的方法，通過(guò)不斷改變砂輪回轉(zhuǎn)軸線的角度使砂輪端面始終與工件相切，最后由砂輪端面包絡(luò)出工件外形。從工件截面輪廓的幾何形態(tài)可以看出，這種方法屬于直線包絡(luò)方法，但是文中沒(méi)有給出符合這種加工方法成形機(jī)理的刀觸點(diǎn)計(jì)算模型，不能用于實(shí)際加工。因此，研究直線包絡(luò)方法的成型機(jī)理、推導(dǎo)出基于等殘留高度的刀觸點(diǎn)計(jì)算模型，對(duì)于凸曲線回轉(zhuǎn)工件的實(shí)際磨削加工具有指導(dǎo)意義，而且對(duì)于改善精度，提高磨削效率也具有探索意義。

1 成型機(jī)理和實(shí)現(xiàn)方法

1.1 原理分析

如圖1所示，軌跡成形方法是依靠刀尖處圓弧相對(duì)于工件以點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)的方式磨削出工件輪廓，實(shí)際的加工輪廓為多條凹形輪廓帶。兩相鄰凹形輪廓帶與工件理想輪廓間的區(qū)域?yàn)闅埩魠^(qū)。它的最大高度為最大殘留高度，是影響工件外形輪廓精度的主要因素。

如圖2所示，直線包絡(luò)法是依靠一組與工件截面輪廓相切的直線相對(duì)工件點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)來(lái)包絡(luò)出工件外形，實(shí)際的加工輪廓為多條錐形輪廓帶。兩相鄰錐形輪廓帶與工件實(shí)際輪廓間的區(qū)域?yàn)榧庸埩魠^(qū)。

圖1 軌跡法成型原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of method of loci

圖2 直線包絡(luò)法成型原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of lines enveloping method

1.2 實(shí)現(xiàn)方法

圖3所示為利用杯形砂輪，采用軌跡成型方法磨削加工凸函數(shù)回轉(zhuǎn)工件的運(yùn)動(dòng)原理圖。加工中工件作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，砂輪高速旋轉(zhuǎn)，砂輪回轉(zhuǎn)軸線角度保持不變，當(dāng)砂輪進(jìn)刀至一個(gè)刀位點(diǎn)時(shí)保持不動(dòng)，工件回轉(zhuǎn)進(jìn)給，依靠砂輪周邊圓弧進(jìn)行磨削。工件完成一圈加工后，砂輪再運(yùn)動(dòng)到下一刀位點(diǎn)，加工工件下一圈。最終靠帶有圓弧的刀尖與加工表面以點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)的方式來(lái)磨削成形。

圖3 杯形砂輪實(shí)現(xiàn)軌跡成形方法運(yùn)動(dòng)原理示意圖Fig.3 Schematic diagram of using cup wheel to grind parts by method of loci

圖4所示為利用杯形砂輪，采用直線包絡(luò)成型方法磨削加工凸函數(shù)回轉(zhuǎn)工件的運(yùn)動(dòng)原理圖。與軌跡法不同的是選用砂輪端面上的任意半徑圓弧(這個(gè)圓弧在截面上體現(xiàn)為一個(gè)點(diǎn)，如圖4中的A 點(diǎn))作為成形點(diǎn)，通過(guò)調(diào)整砂輪回轉(zhuǎn)軸線的轉(zhuǎn)角及位移使得砂輪底面始終與回轉(zhuǎn)工件截面輪廓線在選定的成形點(diǎn)處相切，最終靠砂輪底面包絡(luò)出工件外形［2］。這種加工方法在磨削過(guò)程中，砂輪進(jìn)行的是端面磨削，與普通磨削相比，具備高效、高精度的特點(diǎn)。

圖4 杯形砂輪實(shí)現(xiàn)直線包絡(luò)方法運(yùn)動(dòng)原理示意圖Fig.4 Schematic diagram of using cup wheel to grind parts by lines enveloping method

圖5所示為利用平行砂輪，采用直線包絡(luò)成型方法磨削加工凸函數(shù)回轉(zhuǎn)工件的運(yùn)動(dòng)原理圖。與杯形砂輪不同的是選用平行砂輪外圓面上距離端面任意距離的圓弧(這個(gè)圓弧在截面上體現(xiàn)為一個(gè)點(diǎn)，如圖5中的A 點(diǎn))作為成形點(diǎn)，最終由砂輪外圓面包絡(luò)出工件外形。這種加工方法在磨削過(guò)程中，可保證磨削區(qū)域的磨削速度相同，改善表面質(zhì)量。

圖5 平行砂輪實(shí)現(xiàn)直線包絡(luò)方法運(yùn)動(dòng)原理示意圖Fig.5 Schematic diagram of using parallel grinding wheel to grind parts by lines enveloping method

2 刀觸點(diǎn)計(jì)算

圖1與圖2所示，圓弧或直線與工件截面凸曲線相切的實(shí)際位置都是由工件截面凸曲線上刀觸點(diǎn)決定的，一個(gè)刀觸點(diǎn)就決定一條加工帶，而且兩刀觸點(diǎn)間的距離影響著殘留區(qū)域的高度。現(xiàn)在應(yīng)用比較廣泛的刀觸點(diǎn)計(jì)算方法主要有等步長(zhǎng)法、等參數(shù)法和等殘留高度法［3］。前兩種方法計(jì)算簡(jiǎn)便，但是都存在重復(fù)切削的問(wèn)題，影響加工效率。而基于等殘留高度的刀觸點(diǎn)計(jì)算方法不僅消除了重復(fù)切削，還可以人為控制殘留高度的大小。

圖6所示，A、B 是刀觸點(diǎn)，OA 和OB 分別是過(guò)點(diǎn)A 和點(diǎn)B 與工件截面凸曲線相切的直線，它們代表了實(shí)際加工中，工件截面區(qū)域相鄰刀觸點(diǎn)A、B處，砂輪成型面(杯形砂輪是端面，平行砂輪是外圓面)與工件的接觸情況。它們的交點(diǎn)O 到工件截面凸曲線的最大距離h 就是實(shí)際加工的殘留高度。由于實(shí)際加工中步長(zhǎng)相對(duì)較小，我們假設(shè)點(diǎn)A 和點(diǎn)B之間的工件截面凸曲線是一段圓弧，這段圓弧的半徑R 與AB 間的距離l 和OA 與OB 的夾角θ 有關(guān)，由(1)式求得。這種假設(shè)可以在步長(zhǎng)變大時(shí)，使得圓弧更精確地逼近原輪廓線。

圖6 直線包絡(luò)方法刀觸點(diǎn)計(jì)算示意圖Fig.6 Schematic diagram of calculating cutter-contact points for grinding convex curve rotating member by lines enveloping method

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得

式中:h 是最大殘留高度值;l 是兩刀觸點(diǎn)間的距離;θ 是外廓形線函數(shù)x =f(z)在相鄰刀觸點(diǎn)(z1x1)和(z2x2)處的法向量的夾角。

反過(guò)來(lái)，在圖4坐標(biāo)系中，對(duì)于任意的回轉(zhuǎn)工件外廓形線函數(shù)x = f(z)，給出第一個(gè)刀觸點(diǎn)A(z1x1)，最大殘留高度h，求下一個(gè)刀觸點(diǎn)B(z2x2).則(z2x2)滿(mǎn)足公式(2)式恒成立。(2)式中:l 可由(3)式求得，θ 可由(4)式求得。

式中n1和n2分別是刀觸點(diǎn)(z1x1)和(z2x2)處的法向量。

基于(2)式～(4)式重復(fù)計(jì)算，可以得出直線包絡(luò)方法的基于等殘留高度的所有刀觸點(diǎn)坐標(biāo)。直線需要轉(zhuǎn)過(guò)的角度由上一刀觸點(diǎn)處切線與Z 軸夾角和相鄰的下一刀觸點(diǎn)處的切線與Z 軸夾角之差求得。

同理，建立軌跡成形方法的基于等殘留高度的刀觸點(diǎn)求解模型。

圖7 軌跡方法的刀觸點(diǎn)計(jì)算示意圖Fig.7 Schematic diagram of calculating cutter-contact points for grinding convex curve rotating member by method of loci

如圖7所示，砂輪圓角與工件截面輪廓相切于刀觸點(diǎn)A、B，設(shè)刀尖圓弧半徑為r.經(jīng)計(jì)算，第二個(gè)刀觸點(diǎn)(z2x2)滿(mǎn)足(5)式恒成立。

式中L 表示相鄰兩刀觸點(diǎn)處砂輪圓角圓心間的距離，可由(6)式求得。θ 與(2)式中的意義和計(jì)算公式一樣。

3 效率比較

從幾何成型角度，比較軌跡法與直線包絡(luò)法的效率就是在達(dá)到同樣的最大殘留高度情況下，比較它們各需要多少條環(huán)形加工帶才能形成工件外廓，也就是比較計(jì)算出的凸曲線回轉(zhuǎn)件截面輪廓曲線上刀觸點(diǎn)的個(gè)數(shù)(一個(gè)刀觸點(diǎn)對(duì)應(yīng)一條環(huán)形加工帶)，個(gè)數(shù)越多效率越低。

在圖4坐標(biāo)系下，給出一個(gè)普通的截面凸曲線方程z= -3-x2，所要達(dá)到的最大殘留高度h=0.005 mm，第一個(gè)點(diǎn)的刀觸點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，0)，計(jì)算到坐標(biāo)點(diǎn)(-18，-3.87)停止。

分別采用直線包絡(luò)法和軌跡法的刀觸點(diǎn)計(jì)算公式，依次計(jì)算得到各個(gè)刀觸點(diǎn)坐標(biāo)、相鄰兩刀觸點(diǎn)坐標(biāo)的距離l(它反映了每次走刀環(huán)形加工區(qū)域的帶寬，l 越大帶寬越大，加工效率越高)和相鄰兩刀觸點(diǎn)處法向量間的夾角θ(它反映了工件外廓形線的曲率半徑大小，θ 值越小，此處的曲率半徑越大)。

圖8反映了這兩種方法的加工效率和θ 的關(guān)系?？梢钥闯觯本€包絡(luò)方法的加工效率隨著θ 角的增大而減小，也就是加工效率隨著工件截面凸曲線曲率半徑的增大而增大，特別是在曲率半徑很大(θ 值很小)的區(qū)域，加工效率比軌跡法提高了3～4 倍。

圖8 加工效率和θ 關(guān)系圖Fig 8 Diagram of connection between processing efficiency and θ

圖9 軌跡法加工效率與砂輪圓角半徑關(guān)系示意圖Fig.9 Diagram of connection between processing efficiency of method of loci and radius of cutter chamfer

對(duì)于軌跡成形方法，在任一刀觸點(diǎn)處，改變砂輪圓弧半徑，計(jì)算得到和下一刀觸點(diǎn)間的距離l.圖9反映了軌跡成形方法加工效率和砂輪圓角半徑的關(guān)系。由圖8可以看出軌跡成形方法的加工效率和工件截面凸曲線的曲率半徑變化關(guān)系不大。圖9可以看出l 的值隨著砂輪圓角半徑變化情況。說(shuō)明軌跡成型方法的加工效率隨著砂輪圓角半徑的增大而增大，但逐漸趨于平緩。因此，適當(dāng)增大砂輪圓角半徑可以提高軌跡法的磨削效率。

4 加工仿真

為了更直觀反映直線包絡(luò)法和軌跡法的加工效率，利用UG 軟件的加工模塊來(lái)進(jìn)行仿真加工。采用垂直于驅(qū)動(dòng)體模式模擬直線包絡(luò)方法，這種加工模式就是不斷改變旋轉(zhuǎn)軸線的角度來(lái)使得刀具底面始終保持與工件截面凸曲線相切與刀具中心。實(shí)例為加工一個(gè)球體，為了清晰顯示加工留下的殘留區(qū)域和走刀軌跡，選用較大的殘留高度h =0.5 mm.其中圖10 是采用軌跡成形方法的加工結(jié)果，可以看出，球面需要17 條加工帶才能完成。圖11 是采用垂直于驅(qū)動(dòng)體模式的加工結(jié)果，可以看出球面只需要5 條加工帶即可完成，加工帶數(shù)目減小了3～4 倍。與圖1和圖2比較可以看出，實(shí)際的加工輪廓與本文分析用的輪廓是一致的，直線包絡(luò)方法的錐形加工帶是一組相切直線包絡(luò)出的，而軌跡成型方法是砂輪圓角軌跡磨削而成，加工帶呈凹形。

圖10 軌跡法仿真圖Fig.10 Simulation diagram of method of loci

圖11 直線包絡(luò)法仿真圖Fig.11 Simulation diagram of lines enveloping method

5 結(jié)論

本文介紹了加工凸曲線回轉(zhuǎn)工件的直線包絡(luò)法的成形原理，描述了利用平行砂輪與杯形砂輪來(lái)實(shí)現(xiàn)加工的方式。通過(guò)假設(shè)兩任意點(diǎn)之間的工件截面凸曲線是一段半徑與工件截面凸曲線方程，兩點(diǎn)之間距離和兩點(diǎn)處凸曲線法向夾角有關(guān)的圓弧，建立了直線包絡(luò)方法和軌跡成形方法的基于等殘留高度的刀觸點(diǎn)計(jì)算模型。在達(dá)到相同最大殘留高度的條件下，對(duì)直線包絡(luò)方法和軌跡成形方法進(jìn)行了效率比較，得出當(dāng)工件截面凸曲線曲率半徑較大時(shí)，直線包絡(luò)方法的加工效率要比軌跡成形方法提高3～4 倍左右。

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