單水聽器被動(dòng)測(cè)距的信賴域最優(yōu)化方法

劉俊星，章新華，綦敦浩，張本輝

(海軍大連艦艇學(xué)院 水聲信息研究中心，遼寧 大連116018)

0 引言

水雷是海軍海上防御與對(duì)敵封鎖作戰(zhàn)的有戰(zhàn)略作用的水中常規(guī)兵器，具有隱蔽性好、打擊突然、威脅時(shí)間長(zhǎng)、敵清除困難、效費(fèi)比高的特點(diǎn)。在水雷引信中，聲引信有著廣泛的應(yīng)用。水雷對(duì)目標(biāo)進(jìn)行攻擊時(shí)需要估計(jì)目標(biāo)距離，一旦目標(biāo)進(jìn)入到水雷的作用區(qū)域，聲引信工作，引爆水雷摧毀目標(biāo)。單個(gè)水雷利用單個(gè)水聽器接收目標(biāo)信號(hào)，提取有用信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的跟蹤及預(yù)測(cè)，計(jì)算引爆水雷的最佳時(shí)間，所以單水聽器被動(dòng)測(cè)距是水雷發(fā)揮其作戰(zhàn)性能的關(guān)鍵技術(shù)。

文獻(xiàn)［1 -2］研究了多普勒最接近法，并將其運(yùn)用于被動(dòng)定向浮標(biāo)目標(biāo)定位，實(shí)現(xiàn)了單枚被動(dòng)定向浮標(biāo)對(duì)目標(biāo)的發(fā)現(xiàn)、定位、追蹤，但只能對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)有效，同時(shí)，必須準(zhǔn)確測(cè)出目標(biāo)過航路捷徑點(diǎn)的時(shí)間及特征頻率。文獻(xiàn)［3］改進(jìn)了多普勒最接近法，增強(qiáng)了測(cè)距實(shí)時(shí)性，但測(cè)距存在理論誤差。

本文在多普勒最接近法的基礎(chǔ)上，研究了基于最優(yōu)化信賴域算法的單水聽器被動(dòng)測(cè)距方法。目的是解決單水聽器對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的實(shí)時(shí)測(cè)距，并預(yù)測(cè)目標(biāo)距離等問題，以便更好應(yīng)用于水雷聲引信。

1 多普勒最接近方法

目前單個(gè)水聽器實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的測(cè)距主要是利用運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的多普勒頻移信息，具體實(shí)現(xiàn)流程圖如圖1所示。

圖1 測(cè)距流程圖Fig.1 Ranging flow chart

多普勒最接近法是比較常用且研究較多的方法，如圖2所示，當(dāng)目標(biāo)以速度v 從左向右運(yùn)動(dòng)。

圖2 水聽器目標(biāo)位置圖Fig.2 The location of hydrophone and target

根據(jù)多普勒頻移理論，水聽器檢測(cè)到的目標(biāo)特征線譜有從高到低的變化過程。其中D 為目標(biāo)航路捷徑點(diǎn)的距離(即CPA 點(diǎn)的距離)［1］。

根據(jù)多普勒頻移公式，水聽器檢測(cè)到目標(biāo)的線譜頻率為

式中:f 為測(cè)量的目標(biāo)頻率;f0為目標(biāo)的特征頻率;v為目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度;φ 為目標(biāo)航向到水聽器連線的夾角;c 為聲音傳播速度。在t1、t2時(shí)刻分別測(cè)量線譜頻率F1、F2.當(dāng)目標(biāo)由接近水聽器到離開水聽器，通過記錄線譜的變化，如圖3所示，根據(jù)線譜變化過程，求得線譜曲線的拐點(diǎn)(CPA 點(diǎn))位置，從而可以得到目標(biāo)到達(dá)CPA 點(diǎn)的時(shí)間TCPA及頻率fCPA［2］.記:

由(1)式可知:

圖3 理想的觀測(cè)頻率時(shí)間曲線Fig.3 The ideal frequency curve graph

對(duì)(4)式、(5)式兩邊平方、化簡(jiǎn)，并記:

t1，t2，y1，y2均已知，求解此方程組，即可求得v，D［4］.

多普勒最接近方法利用任意兩個(gè)時(shí)刻的目標(biāo)多普勒信息，加上目標(biāo)過CPA 點(diǎn)的時(shí)刻及頻率，可以估計(jì)出目標(biāo)的絕對(duì)速度和最接近距離，但不能實(shí)時(shí)給出目標(biāo)的距離［3］。

2 改進(jìn)多普勒測(cè)距法［5］

如圖4所示，以水聽器為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)目標(biāo)的初始位置為(x0，y0)，從目標(biāo)初始位置開始計(jì)時(shí)，如果目標(biāo)勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有

代入(1)式得

如果目標(biāo)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，初速度為v0，則有

圖4 水聽器目標(biāo)直角坐標(biāo)位置圖Fig.4 The location of hydrophone and target in rectangular coordinate

代入(1)式得

(11)式、(13)式為目標(biāo)時(shí)間與頻率的關(guān)系表達(dá)式，理論上來說，只要觀測(cè)幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)的頻率值，就能通過解方程組的方法求得運(yùn)動(dòng)參數(shù)，但這種方法要求觀測(cè)頻率值必須是無誤差的，不符合實(shí)際應(yīng)用情況。本文只要觀測(cè)一段時(shí)間內(nèi)的目標(biāo)頻率fd(t)，采用曲線擬合的優(yōu)化方法估計(jì)出目標(biāo)未知參數(shù)進(jìn)而計(jì)算水聽器與目標(biāo)的距離:

或

(14)式、(15)式中當(dāng)t 等于觀測(cè)時(shí)間就是對(duì)當(dāng)前目標(biāo)距離的估計(jì)，t 大于觀測(cè)時(shí)間就是對(duì)目標(biāo)距離的預(yù)測(cè)。所以任何時(shí)刻都能根據(jù)記錄的頻率估計(jì)目標(biāo)距離，體現(xiàn)了實(shí)時(shí)性。但由于每次測(cè)距都需要優(yōu)化，計(jì)算量較大，所以本文的實(shí)時(shí)性是建立在具有高速計(jì)算性能的硬件基礎(chǔ)上的。

2.1 信賴域最優(yōu)化方法

最優(yōu)化問題就是求一個(gè)多元函數(shù)在某個(gè)給定集合上的極值，對(duì)于非線性優(yōu)化參數(shù)估計(jì)的算法主要有Gauss-Newton 法、Levenberg-Marquardt 法及trustregion(信賴域)法［7］。本文選用信賴域算法，信賴域算法是求解無約束優(yōu)化問題的一類有效算法［5］:

其基本思想是設(shè)xk是第k 次迭代點(diǎn)。記fk=f(xk)，gk=Δf(xk)，d = x - xk，Bk是Hesse 陣Δ2f(xk)的第k 次近似，則f(x)在xk的泰勒二階展開為

式中:Δk是信賴域半徑;‖·‖是任何一種向量范數(shù)，通常取2 范數(shù)或∞范數(shù)，設(shè)子問題的最優(yōu)解為dk，定義Δfk為f 在第k 步的實(shí)際下降量，

Δqk為對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)下降量，

再定義它們的比值為

一般地，有Δqk＞0，因此，若rk＜0 則Δfk＜0，xk+dk不能作為下一個(gè)迭代點(diǎn)，需要縮小信賴域半徑重新求解子問題。若rk比較接近1，說明二次模型與目標(biāo)函數(shù)在信賴域范圍內(nèi)有很好的近似，此時(shí)xk∶=xk+dk可以作為新的迭代點(diǎn)，同時(shí)下一次迭代時(shí)可以增大信賴域半徑。對(duì)于其他情況，信賴域半徑可以保持不變［6］。將該方法應(yīng)用于本文的被動(dòng)測(cè)距，令(16)式中:

式中x=(f0，v，x0，y0)T，選取合適的搜索初值及信賴域半徑，找到使目標(biāo)函數(shù)f(x)最小的點(diǎn)便是所求的估計(jì)值［5］。

2.2 信賴域算法［8］

信賴域算法實(shí)現(xiàn)步驟如下:

步驟0 選取控制迭代的參數(shù)值，初始點(diǎn)x1∈Rn，0≤η1＜η2＜1，0 ＜γ1＜1 ＜γ2，0≤ε?1.取定＞0 為信賴域半徑的上限，初始信賴域半徑Δ1∈(0，］，令k∶=1.

步驟1 計(jì)算gk=Δf(xk)，若‖gk‖≤ε，停止迭代。

步驟2 求解子問題(18)式的解dk.

步驟3 按(21)式計(jì)算rk值。

步驟4 校正信賴域半徑:

步驟5 若rk＞η1，則令xk+1∶=xk+dk，更新矩陣Bk到Bk+1，令k∶=k+1，轉(zhuǎn)步驟1;否則xk+1∶=xk，令k∶=k+1，轉(zhuǎn)步驟2.

3 仿真及結(jié)論

3.1 仿真

針對(duì)新方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，使用Matlab 作為仿真計(jì)算軟件。利用Matlab 軟件提供的lsqcurvefit 優(yōu)化工具實(shí)現(xiàn)［9］，該工具的調(diào)用格式為［x，residual］=lsqcurvefit(myfun，x1，xdata，ydata，lb，ub)，式中x 為求取的估計(jì)參數(shù)向量，residual 為對(duì)fd(ti)擬合后的殘差序列數(shù)據(jù)Δf(ti)=f(ti，x)-fd(ti)，xdata、ydata 為觀測(cè)數(shù)據(jù)ti、fd(ti)(i=1，2，…，n)，myfun 為由(11)式或(13)式所描述的非線性函數(shù)表達(dá)式，x1、lb、ub 分別為搜索初值和上下限。系統(tǒng)默認(rèn)算法為信賴域法。迭代參數(shù)取值如下:Δ1=

仿真條件如下:目標(biāo)中心頻率f0=1 000 Hz，目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)速度為v =8 m/s，目標(biāo)初始位置坐標(biāo)(x0，y0)=(-800 m，100 m)，即航路捷徑點(diǎn)距離為100 m.水文環(huán)境為典型的淺海環(huán)境，弱負(fù)梯度，水中聲音傳播速度c=1 500 m/s，聲波按直線傳播，不考慮傳播能量衰減，水聲信道等的影響，水聽器靜止，頻率測(cè)量周期為1 s.測(cè)量目標(biāo)由起始位置到CPA 點(diǎn)之前的頻率，即觀測(cè)時(shí)間為100 s，設(shè)測(cè)量頻率附加0.2 Hz 的高斯白噪聲。圖5為信號(hào)整個(gè)過程的LOFAR 歷程圖。根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)搜索初始值x1 =［fd(tn)，5，-500，200］，最大值ub =［fd(tn)+10，50，-10，10 000］，最小值lb =［fd(tn)-10，0，-4 000，1］.

仿真計(jì)算結(jié)果為:經(jīng)過17 次迭代后得估計(jì)目標(biāo)中心頻率^f0= 999.896 9 Hz，估計(jì)目標(biāo)速度^v=8.163 3 m/s，估計(jì)目標(biāo)初始位置坐標(biāo)(-819.862 9 m，104.471 3 m).然后通過(14)式對(duì)目標(biāo)距離估計(jì)及預(yù)測(cè)，圖6為仿真圖。

假設(shè)目標(biāo)為勻加速直線運(yùn)動(dòng)模型，則設(shè)目標(biāo)加速度a=0.2 m/s2，初速度v0=3 m/s，測(cè)量目標(biāo)由起始位置到CPA 點(diǎn)之前的頻率，其余仿真條件不變。仿真結(jié)果如下:目標(biāo)中心頻率^f0=998.8 Hz，加速度=0.200 5 m/s2，初速度=2.391 m/s，目標(biāo)初始位置坐標(biāo)(-753.2 m，97.31 m)，仿真圖如下:

圖5 信號(hào)LOFAR 歷程圖Fig.5 The history plot of signal LOFAR

圖6 勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)實(shí)時(shí)測(cè)距及預(yù)測(cè)距離仿真圖Fig.6 The simulation diagram of real-time ranging and forecasting distance of uniform motion target

圖7 勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)實(shí)時(shí)測(cè)距及預(yù)測(cè)距離仿真圖Fig.7 The simulation diagram of real-time ranging and forecasting distance of uniformly accelerated motion target

由以上計(jì)算結(jié)果可知該算法的正確性，下面著重研究觀測(cè)時(shí)間、頻率測(cè)量周期、目標(biāo)初始位置及目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度對(duì)測(cè)距結(jié)果的影響。在仿真分析目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)測(cè)距性能的影響時(shí)，采用作50 次Monte Carlo 的方法，給出了距離真值、估計(jì)距離均值及均方差，距離真值和估計(jì)距離均值可以表征距離估計(jì)的無偏性，估計(jì)距離的均方差可以表征距離估計(jì)的有效性。

改變觀測(cè)時(shí)間，其余仿真條件不變，以估計(jì)目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻距離的真實(shí)值、估計(jì)距離平均值、均方差及估計(jì)航路捷徑點(diǎn)的距離(實(shí)際距離是100 m)作為比較測(cè)距性能優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)果見表1.

表1 不同觀測(cè)時(shí)間測(cè)距仿真分析Tab.1 The simulation analysis of different observation time

有時(shí)被動(dòng)目標(biāo)測(cè)距會(huì)給出測(cè)距過程的累積誤差，累積誤差是在指每個(gè)時(shí)刻的估計(jì)誤差將影響下個(gè)時(shí)刻參數(shù)估計(jì)的精度，并具有傳播性形成積累誤差，且累積誤差會(huì)隨著時(shí)間增加［10］。本文采用的是曲線擬合的參數(shù)估計(jì)方法，每個(gè)時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)都是利用之前所有觀測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合估計(jì)，與前一時(shí)刻的估計(jì)值不存在遞推關(guān)系，且由上表可知隨著時(shí)間增加，誤差越小，所以該算法完全消除了累積誤差。

再比較目標(biāo)不同的運(yùn)動(dòng)速度對(duì)測(cè)距結(jié)果的影響，改變目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度，觀測(cè)時(shí)間為目標(biāo)從起始位置開始運(yùn)動(dòng)到CPA 點(diǎn)為止，仿真重復(fù)50 次，其余仿真條件不變，以估計(jì)目標(biāo)在CPA 點(diǎn)的距離真實(shí)值、估計(jì)距離平均值及均方差作為比較測(cè)距性能優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)果如表2所示。

表2 不同目標(biāo)速度測(cè)距仿真分析Tab.2 The simulation analysis of different target speed

改變頻率測(cè)量周期，觀測(cè)時(shí)間為目標(biāo)從起始位置開始運(yùn)動(dòng)到CPA 點(diǎn)為止，其余仿真條件不變，仿真重復(fù)50 次，以估計(jì)目標(biāo)在CPA 點(diǎn)的距離真實(shí)值、估計(jì)距離平均值及均方差作為比較測(cè)距性能優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)果如表3所示。

表3 不同頻率測(cè)量周期測(cè)距仿真分析Tab.3 The simulation analysis of different frequency measurement period

3.2 仿真結(jié)論

由以上仿真結(jié)果可以得出以下結(jié)論:1)由圖6、圖7可知，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)至CPA 點(diǎn)附近，測(cè)距誤差變小，離CPA 點(diǎn)越遠(yuǎn)，測(cè)距誤差越大，因?yàn)镃PA 點(diǎn)附近的多普勒變化率最大;2)由表1可以看出，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)到CPA 點(diǎn)之前就可以估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，同時(shí)觀測(cè)時(shí)間對(duì)測(cè)距誤差影響明顯，觀測(cè)時(shí)間越長(zhǎng)，誤差越小，因?yàn)橛^測(cè)時(shí)間越長(zhǎng)，數(shù)據(jù)點(diǎn)就越多，觀測(cè)到得多普勒頻移量就越大;3)由表2可見，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度越快，測(cè)距誤差越小，因?yàn)樗俣仍娇?，多普勒頻移就越大;4)理論上，頻率測(cè)量周期越短，相同的觀測(cè)時(shí)間，數(shù)據(jù)點(diǎn)就越多，頻率附加0.2 Hz 的高斯白噪聲對(duì)測(cè)距結(jié)果影響也就越小，這符合表3給出的結(jié)果，但實(shí)際工程應(yīng)用上，測(cè)頻周期越短，頻率分辨率就越低，帶來的誤差也越大。

4 結(jié)束語

基于最優(yōu)化方法的單元被動(dòng)測(cè)距法，充分利用單個(gè)水聽器接收的多普勒信息，運(yùn)用最優(yōu)化方法的信賴域算法估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。該方法可以在航路捷徑點(diǎn)之前對(duì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)探測(cè)，不僅能直接獲得目標(biāo)當(dāng)前運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及預(yù)測(cè)目標(biāo)狀態(tài)，還適用于目標(biāo)勻加速運(yùn)動(dòng)模型。將其運(yùn)用于水雷聲引信上，將更好地發(fā)揮水雷作戰(zhàn)性能。

但該方法對(duì)頻率測(cè)量精度依賴性很大，如何解決頻率測(cè)量周期與頻率分辨率的矛盾是下一步需要研究的內(nèi)容。而且，本文研究的測(cè)距方法都是已知了目標(biāo)是勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在實(shí)際作戰(zhàn)中，不可能事先完全知道目標(biāo)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，目標(biāo)也不可能完全遵循勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以能否根據(jù)觀測(cè)量來判斷目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也是需要進(jìn)一步研究的。

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