構(gòu)造A-伸縮MRA小波集的一種新方法

李萬社, 史會(huì)婷

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062)

0 引 言

小波分析是近幾十年發(fā)展起來的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支,廣泛應(yīng)用于通信、圖像處理、信號(hào)處理等領(lǐng)域,并且取得了巨大的成就.但是我們又知道構(gòu)造一類實(shí)用的小波是非常困難的,尤其是構(gòu)造同時(shí)具有正交性、對(duì)稱性、緊支撐性等的小波.為了解決這一難題,20世紀(jì)90年代后期,Dai和Larson在文獻(xiàn)[1]中提出了小波集的概念:用來描述一個(gè)可測(cè)集合E?R,使得χE(χE為E的特征函數(shù))的IFT變換是二進(jìn)正交小波(這里的正交小波是指一個(gè)函數(shù)ψ∈L2(R)經(jīng)過連續(xù)的伸縮平移變換后成為L(zhǎng)2(R)的正規(guī)正交基).后來,文獻(xiàn)[2]把這樣的小波集推廣到了高維空間中,并研究了它的一些性質(zhì),許多文獻(xiàn)已經(jīng)證明非二進(jìn)伸縮因子的小波集是存在的,其中文獻(xiàn)[3,4]證明在n維空間中,伸縮因子為A(A為n×n的可擴(kuò)張矩陣)的小波集也是存在的.

經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展,小波集的理論有了較大的發(fā)展,尤其在一維空間中，利用小波集的思想構(gòu)造小波已經(jīng)取得了很大的成果,如Eugen和X.Dai等人分別在文獻(xiàn)[1,4]中研究了伸縮因子為實(shí)數(shù)時(shí)的小波集的構(gòu)造方法.在高維空間中,學(xué)者在小波集的構(gòu)造方面也有一定的研究,但都有一定的局限性,如X.Dai等人在文獻(xiàn)[3,5]中探討了高維空間中框架小波集的構(gòu)造方法,Marcin在文獻(xiàn)[6]中研究了Riesz小波的構(gòu)造方法,但是他們都沒有直接構(gòu)造高維空間中的小波集.后來,Marcin和Qing Gu分別在文獻(xiàn)[7,8]中構(gòu)造了高維空間中的小波集,但是文獻(xiàn)[7]中的構(gòu)造方法僅限于|det(A)|=2時(shí)的情形,對(duì)于其它的可擴(kuò)張矩陣A卻不一定適用.而文獻(xiàn)[8]報(bào)道了對(duì)多小波的構(gòu)造.

基于上述原因,本文在前人研究的基礎(chǔ)上,在高維空間中,對(duì)于任意的可擴(kuò)張矩陣A,利用映射的思想,探討了A-伸縮MRA小波集的構(gòu)造方法,再利用小波集的定義得到了小波.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

定義1：L2(Rn)空間中的MRA即為L(zhǎng)2(Rn)空間中一列嵌套的閉子空間{Vj∶j∈Z}滿足下列的性質(zhì)：

引理1[9]若T是Q=[-π,π]n到Rn的任一映射,且滿足對(duì)任意的x∈Q有At(T(x))≡x,則存在一個(gè)集合E?Rn和一個(gè)映射T′∶E→E,使得(T,T′)是集合E的A-補(bǔ)對(duì).

注： 該定理說明了對(duì)滿足條件(At(T′(x))≡x)的映射T,都存在一個(gè)可測(cè)子集E及一個(gè)映射T′,使得(T,T′)滿足集合E的A-補(bǔ)對(duì)定義,即證明了可測(cè)子集E及T的存在性.

引理3[7]可測(cè)集合E=Rn是小波集的充要條件為

(1)

2 A-伸縮MRA小波集的構(gòu)造

定理1若A為n×n的可擴(kuò)張矩陣,E為Rn的可測(cè)子集,E與2π是平移同余的,且余集為空集,E包含原點(diǎn)的鄰域且該鄰域的測(cè)度為零,設(shè)(T,T′)是集合E的A-補(bǔ)對(duì),則W=A′EE是一個(gè)MRA小波集.

(2)

對(duì)任意的x∈Rn,設(shè)y=(At)-1(x+2πj)∈ET(Q),則存在z∈T(Q)及m>0，使得y=T′m(z).

因此x≡AT(y)≡T′m-1(z),這表明存在k∈Zn,使得x+2πk∈E.

若(2)的左邊為零,則右邊也必須為零.否則,設(shè)x1,x2,…是E中形如x+2πk的一列完備點(diǎn)列,則T′(x1),T′(x2),…是ET(Q)中的不同元,且T′(x1),T′(x2),…的形式都為(At)-1(x+2πj).

若z是ET(Q)中形式為(At)-1(x+2πj)的任意一個(gè)元,則存在w≡x使得z=T′(w),則z必然是T′(x1),T′(x2),…中的某一個(gè),因(2)式中左邊的非零元與右邊的非零元是一一對(duì)應(yīng)的,故χE滿足容許性方程(1).

由于E在(At)-1下不變,故有E?(At)-1E,令W=At(E)E,易知

定理2設(shè)A是n×n的實(shí)可擴(kuò)張矩陣,則存在一個(gè)A-伸縮MRA小波集.

證明:易知很容易選擇一個(gè)可測(cè)集合Q?Rn(使其包含原點(diǎn)的鄰域且該鄰域的測(cè)度為零)和一個(gè)映射T∶Q→Rn是一一映射且滿足?x∈Q有At(T(x))≡x.

由定理1知,W=AtEE是A-伸縮MRA小波集.

總結(jié): 定理1及定理2表明,任意滿足條件的可測(cè)集合都可以通過A-補(bǔ)對(duì)構(gòu)造小波集,進(jìn)而構(gòu)造A-伸縮MRA小波.

在文獻(xiàn)[7]中也給出了n維空間中一類小波MRA的構(gòu)造方法,為了讀者的方便,我們將給出這些結(jié)論.

定理3若A是n×n的實(shí)可擴(kuò)張矩陣且|det(A)|=2,并且AZn?Zn,當(dāng)F是n維空間中一個(gè)包含零的鄰域的可測(cè)子集,如果F?AtF且F與Ω是2π平移同余的,且余集為空集，則E∶=AtFF是一個(gè)A-伸縮MRA小波集.

定理4若A是n×n的實(shí)可擴(kuò)張矩陣且|det(A)=2|,則存在一個(gè)A-伸縮MRA小波集.

文獻(xiàn)[8]中也給出了n維空間中,對(duì)任意的可擴(kuò)張矩陣,一類r-正則MRA小波的構(gòu)造方法,內(nèi)容如下:

定理6設(shè)A是n維空間中的任意一個(gè)可擴(kuò)張矩陣,且|det(A)|=b(b為實(shí)數(shù)),則對(duì)任意的可擴(kuò)張矩陣A都存在一個(gè)r-正則MRA及包含(b-1)個(gè)函數(shù)的r-正則小波類.

不難發(fā)現(xiàn),定理5及定理6給出了n維空間中MRA多小波的一種構(gòu)造方法,而且這類r-正則的正交多小波具有消失時(shí)刻,這個(gè)事實(shí)在文獻(xiàn)[8]中已經(jīng)得到證明,這3種構(gòu)造MRA小波的方法都具有各自的優(yōu)缺點(diǎn).本文之所以選擇利用映射的思想構(gòu)造MRA小波是因?yàn)橛成浔容^熟悉且容易構(gòu)造,尤其在某些時(shí)候我們可以直接利用所熟悉的映射構(gòu)造實(shí)際需要的小波.

3 構(gòu)造算例

本文定理1及定理2給出了構(gòu)造A-伸縮MRA小波集的方法,具體步驟如下：

(1) 選擇可測(cè)子集E,使其滿足E與Ω是2π平移同余的,且余集為空集，E包含原點(diǎn)的鄰域且該鄰域的測(cè)度為零.

(2) 令Q=[-π,π]n,取映射T∶Q→Rn, 使其滿足對(duì)任意的x∈Q,At(T(x))≡x,則由引理1知,存在一個(gè)E到E的映射T′(T′最簡(jiǎn)單的選擇就是令T′=(At)-1)使得(T,T′)是集合E的A-補(bǔ)對(duì).

(3) 令W=AtEE,由定理1知,可測(cè)子集W是一個(gè)MRA小波集.

下面我們利用定理1及定理2的方法,根據(jù)以上的具體步驟構(gòu)造一些簡(jiǎn)單的A-伸縮MRA小波集,最后再利用定理3的方法構(gòu)造一些簡(jiǎn)單的MRA小波集.

例1 在一維空間中用本文定理1及定理2的方法構(gòu)造A-伸縮MRA小波集.

在下面例子的構(gòu)造過程中,為了書寫的方便,用頂點(diǎn)坐標(biāo)表示二維空間中所形成的區(qū)域,如conv{(1,-1),(0,1),(1,0)}表示頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,-1),(0,1),(1,0)所形成的三角形區(qū)域.

再令A(yù)=conv{(-1,2),(-1,1),(0,1)},B=conv{(1,-2),(1,-1),(0,-1)},C=conv{(-1,1),(0,1),(1,0),(1,-1),(0,-1),(-1,0)}.

記作：

則2π(A′∪B′∪C)是空集,因此F2是2π平移同于Ω且余集為空集,簡(jiǎn)單計(jì)算后發(fā)現(xiàn)AtF=conv{(0,2),(-2,2),(0,-2),(2,-2)}, 因此AtF?F,AtFF是空集.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在前人研究的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步探討了高維空間中伸縮因子為可擴(kuò)張矩陣A時(shí),A-伸縮MRA小波集的構(gòu)造方法.該方法引進(jìn)A-補(bǔ)對(duì)的定義,首先構(gòu)造兩個(gè)滿足一定條件的映射T及T′,然后再利用映射的思想構(gòu)造滿足條件的可測(cè)子集E,并令W=AtEE，最后證明了W即為A-伸縮MRA小波集，但是這種構(gòu)造方法在子空間中是否依然成立還沒有得到論證.本文同時(shí)還引進(jìn)了兩種構(gòu)造A-伸縮MRA小波集的方法,并且對(duì)這3種方法加以比較.最后,本文利用這3種方法構(gòu)造了一些簡(jiǎn)單的A-伸縮MRA小波集.

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