代沙格定理逆定理的一種證明方法

晉 珺，牛建紅

(1.晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 榆次 030600；2.晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 榆次 030600)

代沙格定理逆定理的一種證明方法

晉 珺1，牛建紅2

(1.晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 榆次 030600；2.晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 榆次 030600)

三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線。文章證明了高等幾何中代沙格定理的逆定理，并用其證明了歐拉線，比初等幾何證明方法更簡便。

歐拉線；代沙格定理；逆定理

代沙格定理是高等幾何最重要的定理之一，它與它的逆定理應(yīng)用非常廣泛，特別是在證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題上。歐拉在1975年他的著作《三角形幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心，重心，垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線。文章給出了代沙格定理的逆定理的一種證明，并用其證明了歐拉線，比普通的初等幾何的證明方法簡便得多。

代沙格定理：兩個ΔABC和ΔA'B'C'中，若對應(yīng)頂點(diǎn)的連線 AA'，BB'，CC'共點(diǎn)于點(diǎn) 0，則對應(yīng)邊的交點(diǎn) L=BC×B'C'，M=CA×C'A'，N=AB×A'B'共線。

證明：見參考文獻(xiàn)[1]中第四章第一節(jié)，這里不在詳述。

代沙格定理的逆定理：兩個ΔABC和ΔA'B'C'中，若對應(yīng)邊的交點(diǎn) L=BC×B'C'，M=CA×C'A'，N=AB×A'B'共線，則對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA'，BB'，CC'共點(diǎn)。

證明：如圖1，設(shè)三雙對應(yīng)邊的交點(diǎn)共線于I，設(shè)直線 AB，A'B'，BC，B'C'，CA，C'A' 分別為 a，a'，b，b'，c，c'，這也表示它們的坐標(biāo)向量，由于 I過 a，a'的交點(diǎn)，那么I可表示為a，a'的線性組合：

同樣有：I=βb+β'b'.I=γc+γ'c'。

比較這三式得：BB'=αa-βb=-(α'a'-β'b')，CC'=βb-γc=-(β'b'-γ'c')，AA'=γc-αa=-(γ'c'-α'a')。

上面第一式 αa-βb=-(α'a'-β'b')，由左端觀之，它是過兩直線a，b交點(diǎn)B的直線，由右端觀之，它是過兩直線a'，b'交點(diǎn)B'的直線，所以它代表直線BB'，其余類推。

由于三直線AA'，BB'，CC'坐標(biāo)向量有明顯的線性關(guān)系式：

所以三直線 AA'，BB'，CC'共點(diǎn)，證畢。

圖1

定理：(用代沙格定理之逆證明歐拉線)ΔABC的外心O，重心D，垂心E三點(diǎn)共線。

證明：如圖2，設(shè) F，G分別為 CB，CA邊上的中點(diǎn)，連接 OF，F(xiàn)G，GO，AE，EB。

圖2

在ΔABE和 ΔFGO中，AB平行 FG，BE平行GO，AE平行OF，即ΔABE和ΔFGO的對應(yīng)邊交點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，從而在一條無窮遠(yuǎn)直線上，根據(jù)代沙格定理的逆定理可知，ΔABE和ΔFGO對應(yīng)頂點(diǎn)的連線EO，BG，F(xiàn)A應(yīng)共點(diǎn)，而 BG，F(xiàn)A為中線，相交于D，所以O(shè)，D，E共線.

[1]朱德祥.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1987.

[2]吳子匯，徐旭峰.高等幾何教程[M]徐州：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，1999.

The Prove of Euler Line in the Higher Geometry

Jin Jun1，Niu Jian-hong2
(1.school of Mathematics Jinzhong College，Yuci Shanxi 030600；2.school of Mathematics Jinzhong College，Yuci Shanxi 030600)

Triangle circumcenter，center of gravity，orthocenter located in the same line，the line we called the Euler line.In This paper，I proved the converse theorem of Desargues in the geometry of higher，and using it proved the Euler line，easier than the methods of elementary geometry.

Euler line；Desargues；converse theorem

O185.1

A

1673-2014(2012)02-0110-02

2012—03—01

晉 珺(1981—)，女，山西洪桐人，碩士，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)(代數(shù)學(xué))的研究。牛建紅(1982—)，男，山西大同人，碩士，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)(代數(shù)學(xué))的研究。

(責(zé)任編輯 單麥琴)