含Hilbert核的奇異積分方程組

張軍好，胡軍浩

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

含Hilbert核的奇異積分方程及其解法在文[1]中有詳細(xì)的討論.本文在文[1]的基礎(chǔ)之上討論了含Hilbert核的奇異積分方程組.利用復(fù)變函數(shù)的方法將其轉(zhuǎn)化為周期Riemann邊值組問題,最后利用文[2]的方法給出了該問題的可解性條件,并得出了其解的一般表達(dá)式.

1 預(yù)備知識

據(jù)文[2]可知周期Riemann邊值組問題：

Φ+(t0)=G(t0)Φ-(t0)+g(t0),t0∈L0.

(1)

其中：

Φ(z)=(Φ1(z),Φ2(z),…,Φn(z))T,G(t0)=[Gij(t0)]n×n,g(t0)=(g1(t0),g2(t0),…，gn(t0))T且G(t0),g(t0)均以απ為周期同時屬于H類，G(t0)的行列式detG(t0)≠0,t0∈L0.

據(jù)文[2]的結(jié)果可知(1)式解存在的充分必要條件為g(t)滿足：

(2)

此時其解的一般表達(dá)式為：

(3)

Φ(+∞i)=-Φ(-∞i).

(4)

令z=±∞i分別代人(3)式中，則(1)式滿足(4)式的解所需的附加條件變?yōu)椋?/p>

即:

G∞p(-i)+p(+i) .

(5)

其中G∞=[X(+∞i)]-1·X(-∞i),E為n階單位矩陣.

2 含Hilbert核的奇異積分方程組及其求解

為了簡單起見，設(shè)L為一條封閉的光滑曲線，而且將它沿實軸方向平移aπ(a>0)單位時，得到的合同曲線與L不相交.求解含Hilbert核的奇異積分方程組：

fi(t0),t0∈L,i=1,2，…，n.

(6)

其中Aij(t0),Bij(t0),fi(t0)為已知的在L上滿足H條件的函數(shù)，ρi(t)為未知函數(shù).

引進(jìn)向量函數(shù)ρ(t)=(ρ1(t)，ρ2(t),…，ρn(t))T,f(t)=(f1(t)，f2(t),…，fn(t))T及n階方陣A(t0)=[Aij(t0)]n×n,B(t0)=[Bij(t0)]n×n,則方程組(6)可寫為：

(7)

為了求解上述方程組(6)及(7)式，據(jù)文[1]，類似于求解一般奇異積分方程的方法令：

(8)

ρ(t0)=Φ+(t0)-Φ-(t0).

(9)

故(7)式變?yōu)椋?/p>

Φ+(t0)=G(t0)Φ-(t0)+g(t0),t0∈L.

(10)

其中G(t0)=(A+B)-1·(A-B)=S-1·T，g(t0)=(A+B)-1·f(t0)=S-1f(t0).

反過來,類似文[1]中對帶Hilbert核的奇異積分方程的討論可知，如果Φ(z)是以aπ為周期的分區(qū)全純函數(shù)，以L為跳躍曲線，同時滿足邊值條件(10)式及附加條件(4)式，則(9)式所確定的ρ(t0)必為(7)式問題的解.綜合有以下定理1.

定理1 含Hilbert核的奇異積分方程組(6)式等價于周期Riemann邊值組問題(10)式及附加條件(4)式，其解以(9)式給出.

下面利用文[2]和[6]中的方法求解問題(6).

仍設(shè)κ1≥κ2≥…≥κm≥0≥κm+1≥…≥κn.由于當(dāng)(2)式成立時，(9)式有一般解為：

此時附加條件Φ(+∞i)=-Φ(-∞i)變?yōu)?

p(i)+G∞·p(-i).

(11)

故由(9)式可得方程組(7)式的一般解為：

{[X+(t0)]-1+[X-(t0)]-1}g(t0)+

(12)

其中p(ξ)須滿足附加條件(11)式，特別地，當(dāng)κ1<0時須滿足(5)式.

則解(12)式變?yōu)椋?/p>

(13)

此時可解條件變?yōu)椋?/p>

(14)

其中q(ξ)=(q-κ1+2,…，q-κn+n)T.

附加條件變?yōu)椋?/p>

(15)

特別地當(dāng)κ1<0時,據(jù)文[7]有：

(16)

故得以下定理2.

[1]路見可.解析函數(shù)邊值問題[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1987.

[2]張軍好，胡軍浩.周期Riemann邊值組問題[J].中南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010,29(4)：112-114.

[3]Bekya H П.奇異積分方程組及某些邊值問題[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1963.

[4]路見可.解析函數(shù)邊值問題中的一些想法[J].武漢大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1962(1)：1-8.

[5]路見可，鐘壽國，劉士強(qiáng).復(fù)變函數(shù)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，1992.

[6]Lu Jianke.Complex variable methods in plane elasticity[M].Singapore: World Scientific,1995.

[7]路見可.關(guān)于Hilbert核的奇異積分方程[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，1965,2(8):161-167.