工程機(jī)械液壓泵和馬達(dá)模型的非線性改進(jìn)

王安麟,岳濱楠,周鵬舉,劉 赫

(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 上海201804)

工程機(jī)械產(chǎn)品當(dāng)中行走液壓傳動的應(yīng)用日趨廣泛.在工程機(jī)械動力匹配問題方面, 液壓泵和液壓馬達(dá)的效率對于工程車輛的性能影響不可忽視.通常液壓件生產(chǎn)商為主機(jī)廠商提供試驗測試得出的各工況的效率分布曲線供選用參考.然而,工程機(jī)械與其他采用液壓傳動的設(shè)備相比具有工況復(fù)雜、載荷變化劇烈的特點(diǎn).傳統(tǒng)的設(shè)計選型過程中,一般僅根據(jù)產(chǎn)品樣本資料進(jìn)行簡易估計和靜態(tài)匹配,無法進(jìn)行動態(tài)量化模型計算, 因此工程機(jī)械行走液壓傳動系統(tǒng)在極端工況下容易出現(xiàn)匹配不合理的問題.為了實現(xiàn)合理的動力匹配, 解決廠商對于泵和馬達(dá)最關(guān)心的各工況效率問題, 需進(jìn)行工程機(jī)械的動力學(xué)建模, 其中液壓泵和液壓馬達(dá)的模型必須能夠描述不同工況下的效率變化, 以準(zhǔn)確反映工程機(jī)械在不同工況下的性能.

大多數(shù)文獻(xiàn)對于泵和馬達(dá)的研究主要集中于斜盤動態(tài)特征的數(shù)學(xué)描述[1-3],但對于各工況效率的描述方面的研究較少.文獻(xiàn)[4] 中提到了一些傳統(tǒng)的效率計算模型, 但一般屬于線性描述,且其中的系數(shù)沒有較好的確定方法,應(yīng)用較為困難.主流的鍵合圖法建模[5]當(dāng)中對于效率的處理方式是采用阻性元件分別表示機(jī)械摩擦和內(nèi)泄漏反映其效率,但因液壓元件具備復(fù)雜非線性特征, 這種線性建模方法面臨參數(shù)確定困難和精度不足的問題.因此本文將集中研究精確描述效率的模型改進(jìn)方法,建立優(yōu)化算法,以優(yōu)化并合理確定模型各參數(shù), 使改進(jìn)后模型能更精確地描述液壓元件的特性.

1 傳統(tǒng)模型的效率描述

對于泵和馬達(dá)的模型, 目前主要采用鍵合圖方法,鍵合圖如圖1 所示[5],轉(zhuǎn)化為框圖形式如圖2 所示.圖中,S f,Se分別為鍵合圖理論中的流源和勢源;0 ,1 分別為鍵合圖理論中的共勢結(jié)和共流結(jié);TF為鍵合圖理論中的變換器;m為變換器模數(shù);R為阻性元件;Cf,Cv分別為摩擦系數(shù)和泄露系數(shù);T i,ωi分別為機(jī)械端轉(zhuǎn)軸的扭矩和轉(zhuǎn)速;Po,Qo分別為液壓端壓力和流量;T f為機(jī)械摩擦力矩;QV為泄露流量.

圖1 泵和馬達(dá)的鍵合圖模型Fig .1 Bond graph of pump and motor' s characteristic model

圖2 泵和馬達(dá)的模型框圖Fig.2 Diagram of pump and motor' s model

因此, 模型主要參數(shù)為m及C f,Cv.其中變換器系數(shù)由泵的排量確定,以下列舉阻性元件的方程式.機(jī)械摩擦力矩與轉(zhuǎn)速關(guān)系為T f=ωi C f,內(nèi)泄漏流量與工作壓力關(guān)系為Qv=Po Cv.以上C f及C v屬于需要確定的模型參數(shù).

泵和馬達(dá)的鍵合圖中, 變換器兩邊的阻性元件可分別表示機(jī)械摩擦和內(nèi)泄漏, 從而反映出其機(jī)械效率和容積效率在不同工況下的變化.根據(jù)機(jī)械摩擦與轉(zhuǎn)速的關(guān)系以及內(nèi)泄漏流量與工作壓力的關(guān)系,可繪制出泵或馬達(dá)產(chǎn)品各工況下效率分布圖.

傳統(tǒng)模型中阻性關(guān)系采用線性關(guān)系, 即機(jī)械摩擦力矩與轉(zhuǎn)速成正比;內(nèi)泄漏流量與工作壓力成正比.因此如將其繪制為各工況下效率分布圖的形式,則等效率曲線, 呈現(xiàn)為直線形式.而現(xiàn)有的泵和馬達(dá)產(chǎn)品的樣本效率圖顯示其等效率曲線, 呈現(xiàn)曲線形式.這說明實際的泵和馬達(dá)具備非線性特性, 這使得線性模型在高壓、低轉(zhuǎn)速等極端工況下不夠準(zhǔn)確,只能適用于較小的工況范圍內(nèi).

2 改進(jìn)模型的提出

對傳統(tǒng)鍵合圖模型進(jìn)行非線性改進(jìn), 采用平方關(guān)系代替一次關(guān)系, 即機(jī)械摩擦力矩與轉(zhuǎn)速的平方成正比;內(nèi)泄漏流量與工作壓力的平方成正比;并在機(jī)械部分加入庫倫摩擦力矩.對圖2 中的框圖進(jìn)行改進(jìn), 如圖3 所示.圖中,Tf0為庫倫摩擦力矩;Cf2,Cv2分別為二次摩擦系數(shù)和二次泄露系數(shù).

圖3 泵和馬達(dá)改進(jìn)后模型框圖Fig .3 Diagram of improved pump and motor' s model

機(jī)械摩擦力矩與轉(zhuǎn)速關(guān)系為Tf=ω2iCf2;內(nèi)泄漏流量與工作壓力關(guān)系為Qv=P2oCv2.

加入庫倫摩擦力矩Tf0,即認(rèn)為初始力矩需要克服泵或馬達(dá)內(nèi)部的靜摩擦啟動工作, 在泵或馬達(dá)正常工作階段,Tf0也可作為模型動摩擦力的一部分.

式中:Ti為轉(zhuǎn)軸力矩;T3為有效轉(zhuǎn)化力矩;Tf0為庫倫摩擦力矩.

可見改進(jìn)后模型需要確定的參數(shù)為Cf2,Cv2及Tf0.

因平方關(guān)系可使得等效率曲線具備圓弧曲線形式,同時考慮了啟動所需的摩擦力矩,因此改進(jìn)后的模型應(yīng)比原始線性模型更加符合實際情況.以下將對2 種模型進(jìn)行對比.

3 改進(jìn)模型與傳統(tǒng)模型的對比分析

3 .1 參數(shù)確定優(yōu)化算法的提出

在實際工程應(yīng)用中, 模型中參數(shù)確定是難點(diǎn).因種種原因, 廠商通常不能提供鍵合圖模型中所需的參數(shù)Cf及Cv.但模型的參數(shù)變化與各工況下泵和馬達(dá)的效率有關(guān), 通常廠商可提供實驗得出的全工況效率分布圖,以Sauer-Danfoss 的51 型柱塞馬達(dá)為例, 其效率分布圖如圖4[4].

圖4 Sauer-Danfoss 51 系列柱塞馬達(dá)的等效率曲線分布Fig .4 Distribution of Sauer-Danfoss 51 series piston motor' s equal efficiency curve

模型中參數(shù)Cf及Cv與機(jī)械效率和容積效率相關(guān),而這兩者的乘積即為總效率, 所以模型中參數(shù)與總效率的分布有關(guān).廠商提供的效率分布圖為實驗臺測試得出,可作為試驗數(shù)據(jù)來評價模型的精確性.因此提出以下方法:以樣本效率分布圖中的實驗數(shù)據(jù)為評價基準(zhǔn), 效驗不同模型參數(shù)下各工況的計算理論效率值,并優(yōu)化模型參數(shù),使得模型在各工況下計算得出效率的誤差最小化.優(yōu)化程序如圖5 所示.

圖5 模型參數(shù)優(yōu)化流程Fig .5 Optimization process of models' parameters

也可選取Cf2,Cv2及Tf0為優(yōu)化參數(shù),如此不僅可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定參數(shù)Cf及Cv,也可解決新模型的參數(shù)Cf2,Cv2及Tf0的確定問題.

為與產(chǎn)品樣本進(jìn)行科學(xué)的對比, 必須對2 種模型的參數(shù)均進(jìn)行優(yōu)化, 分別得出其與實際情況最為符合的參數(shù)設(shè)定,再進(jìn)行誤差的分析對比[6-7].以下模型對比過程中將首先采用優(yōu)化程序?qū)? 種模型的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.

3.2 2 種模型的對比

以一種典型產(chǎn)品對象為例對2 種模型進(jìn)行對比, 以證明改進(jìn)模型的優(yōu)越性.這里以Sauer-Danfoss 的51 系列110 柱塞馬達(dá)為例,產(chǎn)品參數(shù)如表1 所示[4].

表1 Sauer-Danfoss 51 系列110 型柱塞馬達(dá)參數(shù)Tab.1 Parameters of Sauer-Danfoss 51 series 110 piston motor

為優(yōu)化模型參數(shù),以效率分布圖(圖4)中的等效率曲線上的點(diǎn)作為試驗采樣點(diǎn)作為以下分析中優(yōu)化的試驗數(shù)據(jù)依據(jù).取點(diǎn)越密集則優(yōu)化結(jié)果越精細(xì),本示例中共取了137 個點(diǎn)進(jìn)行計算, 其中74 .5 %效率曲線上取29 個點(diǎn), 84 .5 %效率曲線取32 個點(diǎn),90 .5 %效率曲線取30 個點(diǎn), 93 .5 %效率曲線取30個點(diǎn), 94 .5 %效率曲線取16 個點(diǎn).

對比將采用如下步驟進(jìn)行:①采用優(yōu)化程序優(yōu)化模型參數(shù);②根據(jù)優(yōu)化后參數(shù)繪制效率分布圖;③根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)分析其誤差比例分布;④計算誤差比例統(tǒng)計數(shù)據(jù).根據(jù)以上分析結(jié)果, 即可量化反應(yīng)改進(jìn)后模型在精度方面的提高.

3 .2.1 模型參數(shù)優(yōu)化

針對2 種模型, 根據(jù)樣本的實驗數(shù)據(jù)與模型計算數(shù)據(jù)進(jìn)行對比, 建立運(yùn)算程序優(yōu)化摩擦系數(shù)和內(nèi)泄系數(shù)2 個參數(shù)使效率的均值和方差達(dá)到最小.對2種模型分別進(jìn)行優(yōu)化參數(shù), 得到的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果如表2 所示.

表2 2 種模型參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization results of two models' parameters

3 .2.2 等效率曲線圖對比

根據(jù)以上參數(shù), 可分別計算不同工況的效率值,繪制效率分布圖如圖6 所示.

從圖6 中可以看到,傳統(tǒng)模型的等效率線呈直線形態(tài),與圖4 相似性很低, 這是由模型的線性特征決定的.而改進(jìn)后模型的等效率線與圖4 對比具有明顯的相似性, 可見改進(jìn)模型的描述更加精確.為量化說明問題, 以下將對2 種模型的誤差進(jìn)行分析.

3 .2.3 誤差比例分布對比

對樣本中實驗數(shù)據(jù)的效率值與模型計算的效率值進(jìn)行對比,并分別繪制2 種模型的誤差比例分布,如圖7 所示.

實際工作的極端工況中, 泵或馬達(dá)的最大功率相對穩(wěn)定, 當(dāng)液壓端壓力呈現(xiàn)高壓力時,轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)為低轉(zhuǎn)速,而當(dāng)液壓端轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)高轉(zhuǎn)速時,壓力呈現(xiàn)為低壓, 因此泵或馬達(dá)的產(chǎn)品極端工況表現(xiàn)為高壓力、低轉(zhuǎn)速工況和低壓力、高轉(zhuǎn)速工況.根據(jù)工程實際應(yīng)用,廠方提供的產(chǎn)品效率分布圖通常只表述高壓力、低轉(zhuǎn)速工況,如0～30 %轉(zhuǎn)速工況.

圖6 2 種模型的等效率曲線理論分布Fig .6 Theoretical distribution of two models' equal efficiency curve

圖7 2 種模型的誤差比例在各轉(zhuǎn)速工況的分布Fig.7 Distribution of two models' tolerance proportion in various speeds

由圖7 可見,傳統(tǒng)模型在高轉(zhuǎn)速區(qū)段誤差較小,但在高壓力、低轉(zhuǎn)速(0～30 %)的極端工況下誤差較大,而改進(jìn)后模型在這些極端工況下誤差明顯減小.這說明改進(jìn)后模型的工況適用范圍較好, 在較復(fù)雜工況的設(shè)備建模中更能體現(xiàn)優(yōu)勢.

3.2.4 誤差比例統(tǒng)計

將圖7 中數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析, 得到2 種模型的誤差比例均值和方差如表3 所示.

表3 2 種模型的誤差比例統(tǒng)計Tab.3 Statistic of two models' tolerance proportions

統(tǒng)計顯示改進(jìn)后模型的誤差均值和方差都更小,說明模型精度在整體上得到了提升.

3.2.5 結(jié)果討論

根據(jù)以上模型對比分析, 可得出以下結(jié)論:

(1)模型得出的工況效率分布圖(圖6)與實驗圖線(圖4)對比表明, 改進(jìn)后模型明顯比傳統(tǒng)模型具備更好的相似性.

(2)誤差比例分布表明, 傳統(tǒng)模型在高壓、低轉(zhuǎn)速等極端工況下誤差較大,而新模型的誤差則較小.

(3)與試驗數(shù)據(jù)對比誤差分析證明, 傳統(tǒng)模型誤差均值比例為3 .55 %, 方差比例為0 .005 298 0 ;改進(jìn)后模型誤差均值比例為1 .18 %, 方差比例為0 .000 487 5 ,可見改進(jìn)后模型精度得到了提升.

此外, 已有的一些其他泵和馬達(dá)產(chǎn)品樣本的效率分布圖顯示, 等效率曲線形態(tài)與本文中的Sauer51型馬達(dá)的等效率曲線形態(tài)具備相似性, 因此, 雖然本文尚未對其他廠或其他型號的泵和馬達(dá)應(yīng)用本模型進(jìn)行研究, 但泵和馬達(dá)的鍵合圖模型在結(jié)構(gòu)上具備一定的普適性, 區(qū)別在于模型的各參數(shù)數(shù)值不同以及模型描述產(chǎn)品的準(zhǔn)確度有所差別.只要通過采用優(yōu)化程序進(jìn)行參數(shù)調(diào)節(jié),本模型均可實現(xiàn)對其較為準(zhǔn)確的描述.但鑒于實際問題的復(fù)雜性,模型的適用性仍然需要更進(jìn)一步的研究.

4 結(jié)論

與傳統(tǒng)模型相比,改進(jìn)后模型得出的工況效率分布圖與實驗圖線明顯具備更好的相似性.與試驗數(shù)據(jù)對比誤差分析證明, 傳統(tǒng)模型誤差均值比例為3 .55 %,方差比例為0 .005 298 0 ;改進(jìn)后模型誤差均值比例為1 .18 %,方差比例為0 .000 487 5 ,可見改進(jìn)后模型精度得到了提升.

[1] Zhang X, Cho J, Nair S S, et al.Reduced order modeling of the dynamics of an indexing valve plate pump[C] ∥Proceedings of the American Control Conference.Chicago:[s.n.],2000:3595-3599.

[2] Manring Noah D.T he control and containment forces on the swash plate of an axial piston pump utilizing a secondary swashplate angle [C] ∥Proceedings of the American Control Conference.Anchorage:[s .n.],2002:4837-4842.

[3] DU Hongliu.Pressure control with power limitation for hydraulic variable displacement piston pumps[C] ∥Proceedings of the American Control Conference. Anchorage:[s.n.],2002:940-945.

[4] 姚懷新.工程車輛液壓動力學(xué)與控制原理[M] .北京:人民交通出版社, 2006.YAO Huaixin.Hydraulic dynamics and control principles of engineering machinery [M] .Beijing:China Communications Press, 2006.

[5] 王中雙.鍵合圖理論及其在系統(tǒng)動力學(xué)中的應(yīng)用[M] .哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社, 2007.WANG Zhongshuang.Bond graph theory and its application in system dynamics[M] .Harbin:Harbin Engineering University Press, 2007.

[6] 李曉田, 王安麟, 慈健.變沖擊系數(shù)的幾何參數(shù)化變矩器特性模型[J] .農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報, 2009(7):15.LI Xiaotian, WANG Anlin, CI Jian.Parametric torque converter dynamic model with variable shock loss coefficient [J] .Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2009(7):15.

[7] 李曉田, 王安麟, 慈健, 等.基于參數(shù)敏感度分析的管片散熱器再設(shè)計方法[J] .同濟(jì)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2009(10):1498.LI Xiaotian, WANG Anlin, CI Jian, et al.Aredesign method based on parameter-sensitivity analysis for plate fin-and-tube radiators[J] .Journal of Tongji University:Natural Science, 2009(10):1498.