低相關(guān)區(qū)屏蔽序列偶集的構(gòu)造

史仍輝,趙曉群,李立志

(同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院, 上海201804)

在準(zhǔn)同步CDMA (quasi-synchronous code division multiple access ,QS-CDMA)系統(tǒng)中,系統(tǒng)的同步可以適當(dāng)放寬, 允許其同步誤差控制在1 個碼片或幾個碼片的范圍內(nèi).這樣就要求作為區(qū)分用戶的地址碼在同步誤差范圍內(nèi)(1 個或幾個碼片周期)具有理想的相關(guān)特性.范平志等學(xué)者提出了零相關(guān)區(qū)(zero correlation zone,ZCZ)序列集[1-2]的概念, 并將其應(yīng)用在QS-CDMA 系統(tǒng)中.在QS-CDMA 系統(tǒng)中, 采用ZCZ 序列集作為其擴(kuò)頻序列集, 可以降低或消除系統(tǒng)中如共信道干擾等一些干擾.唐小虎等將零相關(guān)區(qū)概念推廣到低相關(guān)區(qū)(low correlation zone, LCZ)[3],LCZ 序列集的相關(guān)函數(shù)在零時(shí)延附近的一定區(qū)域內(nèi)取極小值而不是等于零,利用LCZ 序列集可以實(shí)現(xiàn)低共信道干擾.顯然,LCZ序列集的范圍更廣, ZCZ 序列集是LCZ 序列集的特例.

零、低相關(guān)區(qū)序列都可作為QS-CDMA 系統(tǒng)的地址碼.但是這些序列的設(shè)計(jì)仍然在一定程度上受到相關(guān)性、理論界的限制.趙曉群等提出了序列偶(陣列偶)相關(guān)的概念[4],相應(yīng)的研究成果有最佳二進(jìn)陣列偶[4]、差集偶[5]、準(zhǔn)最佳二進(jìn)陣列偶[6]、最佳屏蔽二進(jìn)陣列偶[7]、ZCZ 陣列偶[8]等,這進(jìn)一步擴(kuò)大了地址碼的可選范圍.

本文在序列偶的基礎(chǔ)上,將偽隨機(jī)屏蔽序列偶應(yīng)用到LCZ 序列偶集的構(gòu)造中,通過使用交織技術(shù)[9],構(gòu)造了一類LCZ 屏蔽序列偶集,對構(gòu)造方法進(jìn)行了理論證明并舉例說明.由于LCZ 序列偶集的存在范圍更加廣闊,可為實(shí)際的工程應(yīng)用提供更多的選擇.

1 基本定義和引理

定義1 設(shè)序列x=(x0 ,x1,…,xL-1)和y=(y0,y1,…,yL-1)分別是周期為L的2 個序列, 則序列x和y構(gòu)成1 個序列偶, 記為(x,y), 若其中xi∈{+1 ,-1},y i∈{+1 ,-1},i=0,1,2,…,L-1,則稱序列偶(x,y)為二進(jìn)(二元)序列偶, 序列偶(x,y)的周期自相關(guān)函數(shù)R(x,y)(τ)定義為[4]

式中,τ為序列的時(shí)延,(i+τ)=(i+τ)modL,當(dāng)τ=0 時(shí),R(x,y)(0)稱為自相關(guān)函數(shù)的主峰,當(dāng)τ≠0 時(shí),R(x,y)(τ)稱為自相關(guān)函數(shù)的副峰.

定義2L長序列x=(x0,x1,…,x L-1)的p-屏蔽序列y=(y0,y1,…,y L-1)定義為

其中,p為序列x的屏蔽位數(shù),若x i∈{+1 ,-1},則p-屏蔽序列y稱為p-屏蔽二進(jìn)序列,序列偶(x,y)稱為屏蔽二進(jìn)序列偶[10].

定義3 若L長屏蔽二進(jìn)序列偶(x,y)的周期自相關(guān)函數(shù)滿足

則稱序列偶(x,y)為偽隨機(jī)屏蔽序列偶[10];若屏蔽二進(jìn)序列偶(x,y)的周期自相關(guān)函數(shù)滿足

則稱序列偶(x,y)為廣義偽隨機(jī)屏蔽二進(jìn)序列偶[11].

定義4L長p個屏蔽位屏蔽二進(jìn)序列偶的能量效率η定義為[11]

定義5 任意2 個L長序列偶(x,y)與(u,v)的周期互相關(guān)函數(shù)定義為[8]

式中,j=0 ,1,2,…,M-1 ,k=0,1,2,…,M-1,δ為一個較小的值, 則稱該序列偶集合為一個低相關(guān)區(qū)序列偶集, 簡稱為LCZ(N,M,LCZ,δ)序列偶集;當(dāng)M=1 時(shí),稱為LCZ(N,1 ,LCZ,δ)序列偶.當(dāng)C中序列偶為屏蔽序列偶時(shí),稱為LCZ 屏蔽序列偶集.

定義7 交織序列[9,13]:設(shè)一長為L N的序列u=(u0 ,u1,…,uLN-1),可由一個L ×N 矩陣表示

若uL×N中的每一列等于一個L長序列x的移位序列,則稱u為一個(L,N)交織序列.若用uj表示上面矩陣的第j列,則有u j=L ej(x), 0 ≤j＜N,其中,L ej(x)表示序列x的左循環(huán)e j移位,e=(e0 ,e1 ,…,e N-1)稱為移位序列, 0 ≤e j＜L,u=I(L e0(x),L e1(x), …,L eN-1(x))表示交織序列.

定義8 給定L長序列x和y,x=(x0,x1,…,x L-1)和y=(y0,y1,…,yL-1),N長移位序列e=(e0 ,e1,…,eN-1), f =(f0 ,f1,…,f N-1),通過交織方法可以生成2 個(L,N)交織序列a 和b ,它們的矩陣表示形式分別為

引理1[9,13]對于由上述定義8 生成的交織序列a 和b ,令τ=Nτ1+τ2,0 ≤τ2＜N,則序列a 和b的互相關(guān)函數(shù)滿足下式:

2 基于偽隨機(jī)屏蔽序列偶的LCZ 屏蔽序列偶集的交織構(gòu)造

給定周期為L的偽隨機(jī)屏蔽序列偶(x,y),N長移位序列e,以及N×N階正交矩陣HN,x=(x0,x1,…,x L-1),y=(y0,y1,…,y L-1),e=(e0,e1,…,e N-1),通過交織方法可以生成LN長序列偶(a ,b).通過利用HN中的的第i 行hi分別與a 和b 相乘,可以得到序列偶集D=(D0,D1,…,D N-1), 其中,Di=(X i,Y i)=(h ia ,h ib),h ia 表示如下:

h ib 表示與h ia 類似, 則D為一個LCZ 屏蔽序列偶集,顯然, 集合D內(nèi)各屏蔽序列偶的能量效率與偽隨機(jī)屏蔽序列偶(x,y)的能量效率相等.當(dāng)選取不同的移位序列時(shí), 可以得到不同低相關(guān)區(qū)長度的LCZ 屏蔽序列偶集,移位序列的選擇可以由定理1～3 得到.

設(shè)(x,y)為周期為L的偽隨機(jī)屏蔽序列偶, 其周期自相關(guān)函數(shù)滿足式(3),e=(e0,e1,…,e N-1)為N長移位序列,運(yùn)用交織方法生成LN長序列偶(a ,b).

定理1 若gcd (N,L)=1,且et=N-1·t(modL),則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-1 ,N)屏蔽序列偶.

證明 若gcd(N,L)=1 ,且e t=N-1t(modL),則由式(8)可得

(1)當(dāng)0 ＜τ=Nτ1 +τ2 ＜L時(shí),Nτ1 +τ2 ≠0(modL),又因gcd(N,L)=1,所以τ1+N-1τ2≠0(modL),R(a,b)(τ)=N(-1)=-N.

(2)當(dāng)τ=Nτ1+τ2=L時(shí), τ1+N-1τ2=0(modL),R(a,b)(τ)=NR(x,y)(0)=NE.

由以上結(jié)果和定義6 可知,序列偶(a,b)的低相關(guān)區(qū)長度LCZ=L-1,δ=N,(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-1 ,N)屏蔽序列偶.

定理2 若N|L,且et=(L/N)t(modL), 則(a ,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

證明 若N|L,且e t=(L/N)t(modL), 則由式(8)可得

(1)當(dāng)0 ＜τ=Nτ1+τ2≤L-2 時(shí), 0 ≤τ1＜(L/N)-1 ,或τ1=(L/N)-1 ,0 ≤τ2＜N-1 ,所以(L/N)τ2+τ1≤L-2 ,且當(dāng)τ1=(L/N)-2,τ2=N-1時(shí)等號成立, 即當(dāng)0 ＜τ=Nτ1 +τ2 ≤L-2 時(shí),R(a,b)(τ)=-N.

由以上結(jié)果和定義6 可知,序列偶(a,b)的低相關(guān)區(qū)長度LCZ =L-2,δ=N,(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

定理3 若L|N,且et=t(modL),則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

證明 若L|N,且e t=t(modL),則由式(8)可得

由以上結(jié)果和定義6 可知,序列偶(a,b)的低相關(guān)區(qū)長度LCZ=L-2,δ=N,(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

同理可證, 當(dāng)-L＜τ＜0 時(shí), 上述定理也成立.當(dāng)將此LCZ 屏蔽序列偶與N階正交矩陣各行相乘后就可以得到序列偶數(shù)為N的LCZ 屏蔽序列偶集,且該LCZ 屏蔽序列偶集中各屏蔽序列偶的能量效率與用來產(chǎn)生交織序列偶的偽隨機(jī)屏蔽序列偶(x,y)的能量效率相等.

若(x,y)為周期為L的廣義偽隨機(jī)屏蔽二進(jìn)序列偶,其周期自相關(guān)函數(shù)滿足式(4),e=(e0 ,e1,…,e N-1)為N長移位序列, 運(yùn)用交織方法生成LN長序列偶(a ,b),則有推論1～3 成立.

推論1 若gcd (N,L)=1,且et=N-1·t(modL),則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-1 ,N)屏蔽序列偶.

推論2 若N|L,且et=(L/N)t(modL), 則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

推論3 若L|N,且et=t(modL), 則(a,b)為LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

推論1～3 的證明與定理1～3 的證明過程類似,在此省略.

定理4 設(shè)(x,y)為周期為L的偽隨機(jī)屏蔽序列偶(或?yàn)閺V義偽隨機(jī)屏蔽二進(jìn)序列偶),e=(e0,e1,…,eN-1)為N長移位序列,H N為N×N階正交矩陣,運(yùn)用交織方法生成L N長交織序列偶(a,b),將H N的的第i行分別乘以a 和b,可以得到一個擴(kuò)展的序列偶集合D,其中:

(1)若gcd(N,L)=1,且e t=N-1t(modL),則D為LCZ(LN,N,L-1 ,N)屏蔽序列偶集.

(2)若N|L,且e t=(L/N)t(modL),則D為LCZ(LN,N,L-2 ,N)屏蔽序列偶集.

(3)若L|N,且e t=t(modL), 則D為LCZ(LN,N,L-2 ,N)屏蔽序列偶集.

證明 對于D中的任意2 個序列偶D i=(X i,Y i)和D j=(X j,Y j)的互相關(guān)函數(shù)為

當(dāng)τ=0 時(shí), 如 果i≠j,由于h i,h j正交, 則R(Di,Dj)(0)=0 .

當(dāng)|τ|＞0 時(shí),由定理1～3 及推論1～3 可知,在序列偶(a ,b)的低相關(guān)區(qū)內(nèi), 集合D內(nèi)序列偶的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)滿足低相關(guān)區(qū)序列偶集的定義.該LCZ 屏蔽序列偶集中的各屏蔽序列偶的能量效率與屏蔽序列偶(x,y)的能量效率相等.

以上為采用行交織方法得到的LCZ 屏蔽序列偶集, 此方法還可以推廣為列交織或者行列均交織的方法,通過選擇適當(dāng)?shù)囊莆恍蛄泻蛡坞S機(jī)屏蔽序列偶可以生成體積更大的LCZ 屏蔽序列偶集.

3 構(gòu)造實(shí)例

例1 8 長偽隨機(jī)屏蔽序列偶(x,y),x=(1,1 ,-1 ,1 ,-1 ,-1 ,-1 ,-1),y=(1,1 ,-1,1,0,0 ,-1 ,0), 其周期自相關(guān)函數(shù)主峰值為5,副峰值為-1 ,能量效率為62 .5 %.H4為一個4 ×4 階正交矩陣,移位序列為e=(0 ,2,4,6), 根據(jù)定理2 和定理4 ,可得LCZ 屏蔽序列偶集D={Di}={(X i,Y i)},其中,“ +” 表示1 ,“-” 表示-1 ,i=0 ,1 ,2 ,3 .

計(jì)算集合D內(nèi)各序列偶的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù),限于篇幅下面只列出D0的自相關(guān)函數(shù)值及D0與D1,D0與D2,D0與D3的互相關(guān)函數(shù)值,可以驗(yàn)證D為LCZ(32 ,4,6,4)屏蔽序列偶集, 能量效率為62 .50 %.

例2 12 長廣義偽隨機(jī)屏蔽二進(jìn)序列偶(x , y),x =(1 ,1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 , 1 , -1 , 1 , -1), y =(1 ,1 , -1 , -1 ,0 , -1 , -1 , 0 ,1 , -1 , 0 , -1),R(x,y)(τ)=(9 , -1 , 1 ,1 , 1 , -1 , -1 ,1 , 1 , -1 , 1 ,1),τ=0 , 1 ,2 , …,11 ,其周期自相關(guān)函數(shù)滿足式(4), 能量效率為75 %.H4為一個4 ×4 階正交矩陣, 移位序列為e =(0 ,3 , 6 , 9), 根據(jù)推論2 和定理4 , 可得LCZ(48 , 4 ,10 ,4)屏蔽序列偶集,能量效率為75 .00 %.

例3 :16 長廣義偽隨機(jī)屏蔽二進(jìn)序列偶(x , y),x =(1 ,1 , -1 , -1 ,1 ,1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 ,1 , -1 ,1 , -1), y =(0 , 1 , -1 , -1 , 1 , 1 , 0 , -1 , -1 ,-1 , -1 , 0 ,1 , -1 , 1 , -1), R (x , y)(τ)=(13 ,1 , -1 ,-1 , 1 ,1 , -1 ,1 ,1 , -1 , -1 , -1 ,1 ,1 , -1 , -1), τ=0 ,1 , 2 , …,15 ,其周期自相關(guān)函數(shù)滿足式(4), 能量效率為81 .25 %.使用一個8 ×8 階正交矩陣H8和8 長移位序列e =(0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14), 可得LCZ(128 ,8 ,14 ,8)屏蔽序列偶集, 能量效率為81 .25 %.

4 結(jié)語

給出了基于偽隨機(jī)屏蔽序列偶的低相關(guān)區(qū)屏蔽序列偶集的構(gòu)造方法, 基于偽隨機(jī)屏蔽序列偶和正交矩陣,通過選擇不同的移位序列, 經(jīng)過交織變換可以生成具有一定長度、序列偶數(shù)目和低相關(guān)區(qū)長度的LCZ 屏蔽序列偶集.該方法可同樣基于廣義偽隨機(jī)屏蔽二進(jìn)序列構(gòu)造LCZ 屏蔽序列偶集.生成的LCZ 屏蔽序列偶集的能量效率與用來產(chǎn)生交織序列偶的屏蔽序列偶能量效率相等.由于LCZ 序列偶集存在的范圍更加廣闊, 可為實(shí)際的工程應(yīng)用提供更多的選擇.

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