具有均勻量化器的網絡控制系統(tǒng)的一致有界性

劉俊豪, 張 皓, 陳啟軍

(同濟大學 電子與信息工程學院, 上海201804)

在網絡控制系統(tǒng)中,傳感器采集到的信號和控制器產生的信號都需要通過網絡傳輸.對于連續(xù)被控對象,信號傳輸前必須進行采樣、量化、編碼,從而不可避免地帶來量化誤差;同時, 網絡中的丟包、時延、亂序、誤碼等因素也會對系統(tǒng)性能產生影響, 對這些網絡控制系統(tǒng)特有的性能的研究成為一個新的熱點研究方向[1-6].

目前,針對網絡控制系統(tǒng)量化的研究主要分為3種:一種是早期針對實際中使用的量化器進行的一些初步的研究.文獻[7] 將量化誤差分解為不同的部分,并詳細分析了量化誤差對信號的影響.文獻[8] 通過調節(jié)控制律巧妙地消除了量化誤差的影響,從而實現了系統(tǒng)的鎮(zhèn)定.文獻[9] 討論了在量化誤差影響下的非線性系統(tǒng)的有界性問題.文獻[10] 考慮量化誤差的影響,設計控制器使系統(tǒng)收斂在一定范圍內.然而,這些文獻都沒有考慮網絡控制系統(tǒng)中的時延、丟包等因素.另一種研究方法是文獻[11-12] 提出的將量化誤差轉換為與系統(tǒng)狀態(tài)相關的不確定性來處理的方法.通過這種轉換,可以將量化誤差問題轉化為傳統(tǒng)的魯棒控制問題, 從而實現對系統(tǒng)的鎮(zhèn)定、觀測及性能優(yōu)化等.然而,這種轉換需要量化器在平衡點處無限細化,從而在平衡點附近有無限級別, 這種量化器會產生無限長的編碼, 這在實際使用時無法實現.還有一種方法是Daniel Liberzon 等[13]、翟貴生等[14]提出的區(qū)域量化方法, 該方法將被量化信號分為若干個區(qū)域,通過不斷調節(jié)一個比例參數來實現系統(tǒng)的鎮(zhèn)定.為了有效地解碼, 這種方法要求該比例參數能夠及時、精確地從編碼端發(fā)送到解碼端,而實際網絡控制系統(tǒng)無法實現這點(因為比例參數傳輸前必須進行量化,必定會產生量化誤差;同時網絡的存在會產生時延、丟包等影響,無法實現實時傳輸).

根據上面的分析可以看出, 目前針對網絡控制系統(tǒng)量化的研究中,第1 種早期的研究方法沒有考慮網絡特性對系統(tǒng)的影響;另外2 種方法從理論上對網絡控制系統(tǒng)進行了一系列的研究, 然而無法在實際中實現.如果同時考慮實際應用中的量化方式以及網絡控制系統(tǒng)的特性,對系統(tǒng)的鎮(zhèn)定將很困難,這也是目前還沒有文獻將這2 個方面同時考慮的一個重要原因.在實際應用中系統(tǒng)往往允許存在一定的誤差,只要系統(tǒng)狀態(tài)能夠控制在一定的范圍內即可,不必要漸近收斂于平衡點.系統(tǒng)的一致有界性控制是指通過一定的控制策略將系統(tǒng)狀態(tài)控制在一個與初始時刻無關的范圍內.因此, 針對實際要求, 可以不實現系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定,轉而設計控制方法使網絡控制系統(tǒng)一致有界.這樣既滿足實際要求, 又可以使設計方法變得可行.本文實現了在不考慮量化條件下對網絡控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定以及考慮均勻量化情況下的一致有界性控制.通過仿真實例驗證了所提方法的有效性,分析了量化誤差對系統(tǒng)收斂的影響.

1 系統(tǒng)描述

網絡控制系統(tǒng)的結構主要包括被控對象、傳感器、采樣器、量化器、編碼器、解碼器、控制器以及執(zhí)行器,網絡中存在時延、丟包、亂序等特性.傳感器從被控對象采集到信號經過網絡傳輸到控制器.控制器根據從傳感器得到的信號確定控制策略,再經過網絡傳輸到執(zhí)行器, 從而實行對被控對象的控制.

假設:①傳感器為時間驅動, 控制器、執(zhí)行器為事件驅動;②控制回路時延(把丟包歸入時延中)為短時延,即控制回路總時延小于1 個采樣周期.

對于線性連續(xù)被控對象, 忽略量化的影響, 網絡控制系統(tǒng)模型建立為

式中:x(t)為被控對象狀態(tài),x(t)∈Rn;u(t)為控制信號,u(t)∈Rm;A ,B 為適維矩陣.

由于被控對象是連續(xù)對象, 而傳輸過程為離散過程.因此,采用離散化方法, 將模型(1)離散化為

式中:k為離散化時間變量;T為采樣周期;τ為控制回路總時延;

因此, 式(2)可表示為

控制器方程表示為

式中:K1,K2為適維的常數矩陣.

結合式(3),網絡控制系統(tǒng)可表示為

考慮實際中使用的均勻量化器[7-8].均勻量化器q(v)可用表示為

式中:v 為被量化的信號, v ∈Rn×1;Δ(v)為量化誤差, Δ(v)的第i維元素≤δi, δi＞0 為每一維的量化誤差上界.從而,

考慮從傳感器到控制器的量化誤差的影響, 式(4)可表示為

考慮從控制器到執(zhí)行器的量化誤差的影響, 被控對象離散化方程(2)可改寫為

結合式(7)、式(8),包含均勻量化器的網絡控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

2 網絡控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及一致有界性

根據文獻[15-16] 可得系統(tǒng)一致有界性定義.

定義1 若對?α＞0,存在β(k0,α)＞0,使得當‖z(k0)‖ ≤α時, 系統(tǒng)(9)的解‖ z(k,k0,z(k0))‖ ≤β(k0,α),k＞k0,則稱系統(tǒng)(9)等度有界;若β(k0,α)與k0無關,則稱系統(tǒng)(9)一致有界.

引理1[14]對于給定的對稱矩陣Y 及適維矩陣M, N, W,WTW ≤I,如 果滿足Y +MWN +NTWT·MT＜0 ,則存在一個常數ε＞0,使得

引理2 設矩陣,其中‖ · ‖為Frobenius 范數.r =[r1r2 …r n]T∈Rn,s =[s1s2 …s n]T∈Rn為任意的n維向量, 滿足,則‖Mr +Ns ‖ ≤‖M+N ‖· ‖l ‖.

定理1 對于網絡控制系統(tǒng)(5), 如果存在矩陣X ＞0 及常數ε＞0 滿足

則網絡控制系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定.

即

根據引理1,可得

上式等價于式(10).因此, 式(10)成立等價于V(z(k+1))-V(z(k))＜0 ,則系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定.

定理2 對于考慮均勻量化器的的網絡控制系統(tǒng), 假設整個系統(tǒng)采用相同的量化器, 即, 令.對于系統(tǒng)模型(9), 如果存在矩陣X ＞0,Q＞0 及常數ε＞0 滿足

則網絡控制系統(tǒng)(9)一致有界.并且,令初始時刻為k0、初始狀態(tài)為z(k0), 當k＞k0時,

式中:λmin(P), λmin(Q)表示矩陣P ,Q 的最小特征值,.利用引理2 ,得

證明:定義函數V(z(k))=zT(k)Pz(k),其中,P ＞0 .根據系統(tǒng)模型(9),使用類似定理1 的證明方法可得

如果式(12)成立,可得

根據式(13)及b＞0,可得

由于σ≥σ0,結合式(14)中關于σ0定義,得

同理遞推, 可得k＞k0時,V(z(k))≤σ2.從而

對?α＞0,‖z(k0)‖ ≤α時,存在與k0 無關的

使得系統(tǒng)(9)的解‖z(k,k0,z(k0))‖ ≤β(k0,α),k＞k0,根據定義1 可知系統(tǒng)(9)一致有界, 定理得證.

從定理2 可以看出, 考慮量化影響的網絡控制系統(tǒng)當滿足式(12)、式(13)條件時, 是一致有界的,定理2 給出了系統(tǒng)收斂的一個上界, 該上界與初始值和量化誤差有關.因此, 可以根據實際要求, 設計相應的量化級別,在確定信號的最大最小值后,便可以求出所需的量化誤差及編碼長度.在滿足實際要求的前提下, 增大量化誤差, 可以減少編碼長度, 從而減少網絡中傳輸的數據量, 以減少網絡擁塞和丟包,降低網絡時延.

3 仿真實例

根據定理1,可得

圖1a 繪制了被控對象狀態(tài)曲線, 從中可以看出被控對象是穩(wěn)定的.

圖1 被控對象狀態(tài)曲線Fig .1 State of networked control systems

取δ=0 .01 ,根據定理2,求得

‖z(k)‖ ≤0.445 0.可以驗證a/ λmin(P)=-0.421 8 ,式(13)成立.圖1b繪制了被控對象狀態(tài)曲線,可以看出系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂在一定的范圍內.從定理2 可以看出,被控系統(tǒng)收斂的情況與初值和量化誤差有關,圖2 繪制了δ=0 .01 和δ=0.10時被控對象狀態(tài)x1(t)的曲線,從中可以看出量化誤差越大,系統(tǒng)收斂情況越差,用同樣的方法觀察被控對象狀態(tài)x2(t),也可得到同樣的結論.

圖2 不同的量化誤差的被控對象狀態(tài)Fig.2 State of networked control systems with different quantized error

4 結論

針對網絡控制系統(tǒng)建立了模型, 在忽略量化誤差影響的情況下, 設計了使系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的控制方法.在實際使用中, 考慮到量化誤差的影響, 由于網絡控制系統(tǒng)時滯、丟包等因素的影響,系統(tǒng)的鎮(zhèn)定變得很困難, 本文根據實際使用中往往不需要系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到平衡點的情況, 在考慮均勻量化器的情況下,實現了系統(tǒng)一致有界控制.得出的收斂上界與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和量化誤差有關, 可以根據實際使用要求來設計通信中的量化級別和編碼長度.通過仿真驗證了所提方法的有效性, 并從仿真圖可直觀看出量化誤差對系統(tǒng)收斂的影響.

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