考慮層間滑移效應(yīng)的組合梁解析計(jì)算

苗 林,陳德偉

(同濟(jì)大學(xué) 橋梁系, 上海200092)

組合梁界面的相對(duì)滑移對(duì)結(jié)合結(jié)構(gòu)受力性能的影響主要表現(xiàn)在兩方面:降低結(jié)構(gòu)剛度,使組合梁在使用荷載作用下的變形增大;降低截面的組合效應(yīng),使結(jié)合截面抗彎承載力減小.

國內(nèi)外對(duì)組合梁截面滑移引起撓度變化的計(jì)算方法進(jìn)行了大量的試驗(yàn)和理論研究工作,取得了不少研究成果, 主要有以下計(jì)算方法:①換算截面法:1912 年英國的E .S .Andrew s 提出了沿用至今的換算截面法, 是根據(jù)彈性模量的比例關(guān)系將鋼-混凝土結(jié)合截面換算成為同一種材料進(jìn)行計(jì)算.我國《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GBJ17 —1988)即采用此法;②基于換算截面法的內(nèi)插法:1975 年R .P .Johnson 根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果提出了部分剪力連接剛度計(jì)算采用完全剪力連接和零剪力連接剛度按照剪力連接程度的1/2 次冪內(nèi)插的計(jì)算方法[1].1994 年的美國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范[2]借鑒了R.P .Johnson 的研究成果, 給出了組合梁的等效抗彎剛度(E I)eff,其中,E為材料彈模,I為內(nèi)插法計(jì)算截面慣性矩;③折減剛度法:聶建國等[3-4]在建立相對(duì)滑移微分方程的基礎(chǔ)上, 得到不同荷載工況下組合梁因滑移引起的附加變形計(jì)算公式, 通過對(duì)理論公式的簡(jiǎn)化和修正, 提出了考慮滑移變形的組合梁撓度計(jì)算的折減剛度法.該方法被我國《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》 (GB50017 —2003)采用;④解析法:Lloyd C .P .Yam 根據(jù)平衡關(guān)系和變形協(xié)調(diào)條件推導(dǎo)了組合梁控制微分方程, 微分方程隨邊界條件和剪力連接程度而異[5];蔣麗忠、余志武等對(duì)均布荷載[6] 及集中荷載[7]作用下簡(jiǎn)支鋼-混凝土組合梁的滑移及其對(duì)組合梁變形撓度影響的理論計(jì)算進(jìn)行了研究, 推導(dǎo)了簡(jiǎn)支鋼-混凝土組合梁的界面滑移和撓度變形的理論計(jì)算公式.

本文將雙層組合梁層間的相對(duì)滑移u作為一個(gè)基本變量,利用Goodman 彈性夾層假設(shè)及彈性體變形理論,由變分法推導(dǎo)出組合梁滑移和撓度控制微分方程,引入“滑移附加彎矩” 表示界面滑移對(duì)結(jié)構(gòu)變形的影響, 并求解簡(jiǎn)支組合梁及懸臂組合梁在多種荷載作用下?lián)隙群徒孛婊频睦碚摴?利用相對(duì)滑移u的表達(dá)式可以方便求得層間滑移對(duì)結(jié)構(gòu)撓度及截面應(yīng)力的影響.

1 組合梁滑移及變形的理論分析與微分方程的建立

1.1 計(jì)算基本假設(shè)

組合梁在使用荷載作用下, 其鋼梁處于彈性工作階段, 混凝土翼緣的最大壓應(yīng)變也位于應(yīng)力-應(yīng)變曲線的上升段, 這已被大量實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果所證實(shí)[3].因此, 為了簡(jiǎn)化起見, 在分析滑移效應(yīng)時(shí)可以近似地將組合梁當(dāng)成彈性體來考慮, 并作如下假設(shè):①鋼梁與混凝土均為各向同性的彈性體;②變形前后,組合梁鋼梁和混凝土板截面分別符合平截面假定;③組合梁的豎向纖維無擠壓,不考慮組合梁的橫向應(yīng)變;④剪力連接件等效地用連續(xù)的彈性介質(zhì)[8] 代替,豎向?qū)娱g掀起力與相鄰層的豎向相對(duì)位移成正比;層間界面的水平方向剪力與相鄰層的水平相對(duì)位移差成正比,也即與滑移量成正比.

由上述基本假設(shè), 建立坐標(biāo)軸如圖1 所示,Ox軸與組合梁中性軸重合.圖中,M,V及N分別為截面彎矩、剪力和軸力;E為梁彈性模量;A為梁截面面積;ρv,ρh分別為夾層的豎向和水平的反應(yīng)模量;ω為梁撓度;ω′為梁撓度一階導(dǎo)數(shù);u為水平位移;下標(biāo)t和b分別表示上下層梁;C表示中性軸.組合梁彈性夾層中豎向反力qv和水平反力qh可以表示為

式中:ub,c與ut,c為梁截面中性軸處的水平位移,u=ub,c-ut,c;zt,b,zb,t分別為上下層梁中性軸至各自梁底、梁頂?shù)木嚯x.

在計(jì)算過程中不考慮上下層梁豎向脫離, 即認(rèn)為兩者豎向位移相同.根據(jù)基本假設(shè),在外荷載作用下,組合梁的應(yīng)變由兩部分組成:服從平截面假定的彎曲變形和上下層間各自保持平截面伸縮的相對(duì)滑移.截面的彎曲應(yīng)變?yōu)棣舖

式中:ω″為梁撓度二階導(dǎo)數(shù);z為截面上任意一點(diǎn)的豎向坐標(biāo).

圖1 微段梁變形模型Fig.1 Deformation of infinitesimal segments

層間產(chǎn)生相對(duì)滑移,同時(shí)上下層梁保持平截面伸縮.層間界面的水平方向剪力使組合梁整個(gè)截面的軸力自平衡, 由層間相對(duì)滑移引起的截面應(yīng)變?chǔ)舠

根據(jù)組合梁截面軸力自平衡方程, 得到上下層梁層間相對(duì)滑移引起的軸向應(yīng)變分別為, 式中:αE為下上層梁的彈性模量之比, αE=Eb/Et;u′為層間相對(duì)滑移應(yīng)變.上述應(yīng)變疊加, 可以得到組合梁的總應(yīng)變?chǔ)?εm+εs.截面應(yīng)變分布見圖2 .圖中,at,ab分別為上下層梁截面重心到換算截面重心的距離,a=a t+a b.

圖2 截面應(yīng)變分布Fig .2 Sectional strain distribution

1 .2 基本變分方程的建立

式中,L為計(jì)算梁長(zhǎng).對(duì)組合梁上下層梁材料及抗剪連接件引入線彈性本構(gòu)關(guān)系, 可以計(jì)算出上層梁正應(yīng)力σt(x,z),下層梁正應(yīng)力σb(x,z), 剪力連接件的剪力qh(x)

根據(jù)最小勢(shì)能原理, 在外力作用下,結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài).當(dāng)有任何虛位移時(shí), 體系總位能的一階變分為零,即

式中:V為體系的應(yīng)變能;Γ為外力勢(shì)能.

梁受彎曲時(shí)的外力勢(shì)能

組合梁上層梁的應(yīng)變能

組合梁下層梁的應(yīng)變能

彈性夾層滑移應(yīng)變能

將式(5)～(8)代入外力勢(shì)能及體系應(yīng)變能表達(dá)式(12)～(15), 由最小勢(shì)能原理δΠ=0 ,并作分部積分后得到下列微分方程組:

式中:A-o1=Ab-1+αEAt-1;I為截面慣性矩,Io =Ib +Aba2b+It/αE+Ata2t/αE即將組合梁換算成以下層梁材料為主的截面換算慣性矩.

邊界條件為:當(dāng)組合梁固結(jié)時(shí)u=0 ,δu=0 ;當(dāng)組合梁為非固結(jié)時(shí)

方程(19)的一般解形式為

式中,u*為與M′(x)分布有關(guān)的微分方程特解, 系數(shù)C1與C2由梁的邊界條件確定.

1 .3 組合梁滑移附加彎矩與截面應(yīng)力分布

由式(16)得到如下關(guān)系式:

式中,Ms(x)為滑移附加彎矩, 由層間相對(duì)滑移而產(chǎn)生, 與層間滑移分布曲線的切線斜率成正比,Ms(x)=EbAoau′(x).

由式(7)～(8)可以求得組合梁上下層梁截面的應(yīng)力分布

式中后2 項(xiàng)為考慮層間相對(duì)滑移的截面應(yīng)力修正項(xiàng),層間滑移導(dǎo)致截面應(yīng)力的重分布.

2 常見結(jié)構(gòu)形式微分方程的解析解

對(duì)懸臂梁、簡(jiǎn)支梁組合梁的滑移效應(yīng)采用變分法進(jìn)行求解,以便用于具體計(jì)算.以下公式適用于等截面的情況.

2.2.2 研發(fā)能力。三德科技建有完善的產(chǎn)品研發(fā)體系與機(jī)制，據(jù)介紹，該公司截至目前，先后承擔(dān)國家級(jí)科技計(jì)劃11次、申請(qǐng)專利413項(xiàng)(其中發(fā)明專利140項(xiàng))，均位居行業(yè)第一。同時(shí)，該公司也是行業(yè)唯一的“國家火炬計(jì)劃重點(diǎn)高新技術(shù)企業(yè)”和“國家級(jí)知識(shí)產(chǎn)權(quán)示范企業(yè)”，建有“湖南省企業(yè)技術(shù)中心”和“湖南省煤質(zhì)分析與檢測(cè)設(shè)備工程技術(shù)研究中心”兩個(gè)研發(fā)平臺(tái)，擁有近200人的研發(fā)和技術(shù)團(tuán)隊(duì)，制修訂國家/行業(yè)產(chǎn)品技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)6項(xiàng)?？紤]到煤炭入廠驗(yàn)收智能化建設(shè)有許多需要根據(jù)實(shí)際情況或個(gè)性化需求再設(shè)計(jì)的環(huán)節(jié)，較強(qiáng)的研發(fā)能力有利于該等需求的實(shí)現(xiàn)。

2 .1 懸臂梁承受端部集中荷載

如圖3 所示,懸臂梁自由端作用集中力P.組合梁彎矩與剪力函數(shù)為M(x)=P x,Q(x)=M′(x)=P.

將M(x)與Q(x)代入式(19)得u″-k2u=(an P)/(EbIo), 其微分方程通解為u(x)=an·P(EbIo)-1(C1sinhkx+C2coshkx-k-2).

圖3 懸臂梁自由端作用集中荷載Fig.3 Cantilever beam subjected to concentrated load at free end

2.2 簡(jiǎn)支梁承受均布荷載

如圖4所示簡(jiǎn)支梁作用均布荷載q.彎矩與剪力函數(shù)為M(x)=(q/2)(L-x)x,Q(x)=(q/2)(L-2x).將M(x)與Q(x)代入式(19)得,其微分方程通解為

圖4 簡(jiǎn)支梁承受均布荷載Fig .4 Simply-supported beam subjected to uniform distribution load

2 .3 集中荷載形式下簡(jiǎn)支梁變形及附加彎矩

如圖5 所示簡(jiǎn)支梁任一位置作用集中荷載P,其彎矩與剪力均為分段函數(shù).

圖5 簡(jiǎn)支梁承受集中荷載Fig.5 Simply-supported beam subjected to concentrated load

組合梁截面應(yīng)力分布, 可由滑移附加彎矩Ms(x)及外荷載M(x)代入式(23)～(24)求得.

3 算例

本文算例如圖6 所示:上層梁采用C30 混凝土,下層梁采用工字鋼.抗剪連接件采用雙排φ22 圓柱頭栓釘,軸向間距150 mm .梁長(zhǎng)L=4 .5 m,Et=3.00 ×107kPa,Eb=2 .06 ×108kPa;栓釘?shù)乃椒磻?yīng)模量,即栓釘抗剪承載力設(shè)計(jì)值[9]ρh=762.67 kN ·m-2.有限元模擬計(jì)算采用軟件 ANSYS[10],上層梁通過 8節(jié)點(diǎn)Solid45 實(shí)體單元, 下層梁采用4節(jié)點(diǎn)Shell4 3殼單元, 栓釘采用2 節(jié)點(diǎn)Combin39 彈簧單元,彈簧剛度按照單個(gè)栓釘抗剪設(shè)計(jì)承載力[9]取值, 用以考慮受力之后的滑移.上下梁層間界面除栓釘節(jié)點(diǎn)的縱向位移約束采用彈簧模擬外, 其他節(jié)點(diǎn)的位移采用耦合約束,有限元計(jì)算模型見圖7 .

圖6 截面幾何尺寸(單位:mm)Fig.6 Geometry of cross section (unit:mm)

圖7 有限元模型Fig .7 Finite element model

本文的理論計(jì)算值與有限元模擬值的對(duì)比見表1 及表2 ,其中σtop,σbot分別表示組合梁截面上下緣軸向應(yīng)力;ωslip為考慮組合梁層間滑移得到的撓度值;ωnom為不考慮層間滑移得到的撓度值.整體坐標(biāo)系如圖2 所示, 軸向應(yīng)力以拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負(fù).荷載與撓度的正方向與整體坐標(biāo)系正方向相同.

表1 簡(jiǎn)支梁承受均布荷載結(jié)果對(duì)比Tab.1 Results comparison for the simply-supported beam subjected to uniform load

表2 懸臂梁自由端作用集中荷載結(jié)果對(duì)比Tab.2 Results comparison for the cantilever beam subjected to concentrated load at free end

上表中不考慮層間滑移效應(yīng)撓度值ωnom,即組合梁按照彈性梁理論換算截面特性得到的撓度值.簡(jiǎn)支梁承受均布荷載,跨中截面上下緣軸向應(yīng)力、撓度的有限元計(jì)算值與本文理論計(jì)算值的比值為0 .998 ,不考慮層間滑移跨中撓度有限元與理論值比值為0 .998～1 .001 ;懸臂梁自由端作用集中荷載,固端截面上下緣軸向應(yīng)力、自由端撓度的有限元計(jì)算值與本文理論計(jì)算值的比值為0 .983 和0 .999 ,不考慮層間滑移自由端撓度有限元與理論值比值為1 .002 .不同荷載作用下, 簡(jiǎn)支梁與懸臂梁的撓度與滑移分布見圖8 及圖9 .綜上可以看出, 本文理論值與有限元計(jì)算值吻合較好.

圖8 不同均布荷載下簡(jiǎn)支Fig .8 Deflection distribution and slip distribution of the simply-supported beam subjected to different uniform distribution load

由圖8～9 中的滑移分布圖可以看出:①簡(jiǎn)支組合梁在均布荷載作用下, 跨中出現(xiàn)滑移的反彎點(diǎn),其余各點(diǎn)滑移值以跨中坐標(biāo)點(diǎn)呈現(xiàn)反對(duì)稱;跨中點(diǎn)滑移值較小,向端點(diǎn)兩側(cè)各點(diǎn)滑移值逐漸增大, 但滑移曲線斜率值u′在跨中處最大,端點(diǎn)處趨于平緩, 因此跨中處附加彎矩Ms達(dá)到最大值;②懸臂組合梁在自由端集中荷載作用下, 自由端滑移值最大, 向固定端方向各點(diǎn)滑移值逐漸減小;滑移曲線斜率u′在自由端處最小、固定端處達(dá)到最大值.

圖9 不同集中荷載下懸臂梁Fig .9 Deflection distribution and slip distribution of the cantilever beam subjected to different concentrated load at free end

4 結(jié)語

以組合梁層間相對(duì)滑移為基本未知量,得到層間滑移與結(jié)構(gòu)撓度的關(guān)系,從而引入滑移附加彎矩,考慮雙層組合梁層間滑移對(duì)結(jié)構(gòu)變形及截面應(yīng)力分布的影響.通過結(jié)構(gòu)平衡微分方程的解析解,對(duì)懸臂梁、簡(jiǎn)支梁組合梁的滑移效應(yīng)采用變分法進(jìn)行求解,得到常見結(jié)構(gòu)形式的滑移附加彎矩.本文理論值與有限元計(jì)算值吻合得較好,滑移附加彎矩理論計(jì)算公式適用于正常使用階段的懸臂梁、簡(jiǎn)支梁組合梁,可以簡(jiǎn)化計(jì)算層間滑移引起的組合梁剛度截面應(yīng)力重分布及撓度,同時(shí)可以得到梁長(zhǎng)范圍內(nèi)滑移的分布規(guī)律.

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