也談反比例函數(shù)中的不變性問題

430030 湖北省武漢市華中科技大學(xué)同濟(jì)附中 李 鑫 王凱旋

也談反比例函數(shù)中的不變性問題

430030 湖北省武漢市華中科技大學(xué)同濟(jì)附中 李 鑫 王凱旋

文［1］提出反比例函數(shù)中的幾個(gè)不變性問題，筆者最近也在思考反比例函數(shù)的一些性質(zhì)，受此篇文章的影響，結(jié)合自己的所思，對(duì)文［1］提出的問題進(jìn)行了更一般性的總結(jié).

1 坐標(biāo)乘積不變性(反比例函數(shù)的基本不變性)

2 面積不變性

圖1

例2 如圖 2，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函數(shù)y=(k為常數(shù)，且k≠0)的圖象上，由坐標(biāo)乘積不變性可得：SAA1OA2

點(diǎn)評(píng) 坐標(biāo)乘積不變性和面積不變性可分別看作反比例函數(shù)的代數(shù)不變性和幾何不變性，它們反映了雙曲線的代數(shù)與幾何的統(tǒng)一性.也是雙曲線的核心性質(zhì).

3 定比平分不變性

圖2

圖3

證明 設(shè) B(a，b)，則 BC=a，AB=b，

即E點(diǎn)是BC的t等分點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)是AB的t等分點(diǎn).特別地，當(dāng)E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn).

4 位置不變性

證明 如圖4，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(x2，y2)，

圖4

點(diǎn)評(píng) 如圖5，當(dāng)點(diǎn)A，B在雙曲線的兩支上時(shí)，結(jié)論依然成立，證明方法相同.

5 線段長(zhǎng)度不變性

證明 (1)如圖4，由位置不變性知HE∥AB，則四邊形HEDB和四邊形HEAC是平行四邊形.

(2)如圖5，由位置不變性知HE∥AB，則四邊形CEHB和四邊形AEHD是平行四邊形.

圖5

6 乘積不變性

圖6

證明 過點(diǎn)M，N分別作ME⊥y軸于E，NF⊥x軸于F.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x1，y1)，

1 郭海軍.例談反比例函數(shù)中的幾個(gè)不變性問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)(下半月)2009.6

20111201)