標(biāo)新立異的三角形創(chuàng)新題

312050 浙江省紹興縣平水鎮(zhèn)中 黃紹軍 沈岳夫

標(biāo)新立異的三角形創(chuàng)新題

312050 浙江省紹興縣平水鎮(zhèn)中 黃紹軍 沈岳夫

創(chuàng)新型試題是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的最好題型之一，它既能考查學(xué)生適應(yīng)新問題、接受新知識、認(rèn)識新事物的能力，又能考查學(xué)生的自學(xué)能力，信息的收集、遷移和應(yīng)用能力.此類題型新穎別致，頗具魅力，已成為中考試題中的一朵奇葩，其中對新概念信息的提取和化歸轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，也是一個(gè)難點(diǎn).本文擬從2011年中考試題中，采擷幾束三角形創(chuàng)新型試題加以分類解析，與讀者共享.

1 理解概念，深度新應(yīng)用

例1 (2011年寧波市)閱讀下面的情景對話，然后解答問題：

(1)根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題?

(2)在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且 b＞a，若 Rt△ABC 是奇異三角形，求 a ∶b ∶c;

(3)如圖1，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)(不與點(diǎn) A，B 重合)，D 是半圓)ADB的中點(diǎn)，C，D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn) E，使得 AE=AD，CB=CE.

①求證：△ACE是奇異三角形;

②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù).

簡解 (1)真命題.

圖1

點(diǎn)評 此題呈現(xiàn)了新概念——“奇異三角形”.先是要求學(xué)生通過閱讀，理解對話的核心內(nèi)容，再運(yùn)用所學(xué)知識解決類似的相關(guān)問題.第(1)小題考查學(xué)生對新概念的認(rèn)識，在簡單運(yùn)用中加深了對概念特征的理解;第(2)，(3)兩小題在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同情境的運(yùn)用，讓考生在新情境中對信息進(jìn)行加工，培養(yǎng)了學(xué)生對信息理解、加工和利用信息的能力.同時(shí)，第(2)小題的研究又為第(3)小題的探究做了很好的鋪墊;第(3)小題又考查了分類的思想，讓對學(xué)生的考查又上了一個(gè)臺階.此類試題除了考查學(xué)生的閱讀理解能力以外，還考查合理猜想、推理判斷的能力以及分類討論思想的運(yùn)用.

2 作圖驗(yàn)證，實(shí)踐新知識

例2 (2011年南京)如圖2，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接 PA，PB，PC，在△PAB，△PBC 和△PAC 中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn).

(1)如圖3，已知 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點(diǎn).

(2)在△ABC 中，∠A＜∠B＜∠C.

①如圖4，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P(寫出作法并保留作圖痕跡);

②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

圖2

圖3

圖4

簡解 (1)根據(jù)題意易證∠BCE=∠ABC和∠BEC=∠ACB.

所以△BCE∽△ABC.

故E是△ABC的自相似點(diǎn).

(2)①作圖如圖5，作法如下

(ⅰ)在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A;

(ⅱ)在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC;BD交CE于點(diǎn)P.則P為△ABC的自相似點(diǎn).

圖5

點(diǎn)評 此題難度不大，整個(gè)問題呈現(xiàn)出“提出新概念 — →作圖驗(yàn)證 — →解決問題 — →新情景下運(yùn)用方法”的解題思路.要求學(xué)生在閱讀的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確理解“自相似點(diǎn)”的內(nèi)含和本質(zhì)，并能運(yùn)用舊知識對新概念進(jìn)行合理的解釋，進(jìn)而將陌生的概念轉(zhuǎn)化為熟悉的知識去理解和解答.此題設(shè)計(jì)了3個(gè)層層遞進(jìn)的問題，可以全面考查學(xué)生思維的全過程，既能考查學(xué)生對“自相似點(diǎn)”的掌握情況，又能考查學(xué)生的知識遷移能力和解決問題的能力，是一種新穎的中考試題考查模式.第(1)小題找準(zhǔn)三角形是關(guān)鍵;第(2)小題中的最后一個(gè)小題的解題突破口在于靈活運(yùn)用三角形內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)和相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)推出三個(gè)角之間的關(guān)系，再應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求解.

3 動(dòng)手操作，探究新圖形

例3 (2011年寧德)定義：三邊長和面積都是整數(shù)的三角形稱為“整數(shù)三角形”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)從32根等長的火柴棒(每根長度記為1個(gè)單位)中取出若干根，首尾依次相接組成三角形，進(jìn)行探究活動(dòng).

小亮用12根火柴棒，擺成如圖6所示的“整數(shù)三角形”;

小穎分別用24根和30根火柴棒擺出直角“整數(shù)三角形”;

小輝受到小亮、小穎的啟發(fā)，分別擺出三個(gè)不同的等腰“整數(shù)三角形”.

(1)請你畫出小穎和小輝擺出的“整數(shù)三角形”的示意圖;

(2)你能否也從中取出若干根，按下列要求擺出“整數(shù)三角形”，如果能，請畫出示意圖;如果不能，請說明理由.

①擺出等邊“整數(shù)三角形”;

②擺出一個(gè)非特殊(既非直角三角形，也非等腰三角形)“整數(shù)三角形”.

圖6

簡解 (1)小穎擺出如圖7，圖8所示的“整數(shù)三角形”;小輝擺出如圖9所示三個(gè)不同的等腰“整數(shù)三角形”.

圖9

(2)①不能擺出等邊“整數(shù)三角形”.理由如下：

所以不存在等邊“整數(shù)三角形”.

②能擺出如圖10所示一個(gè)非特殊“整數(shù)三角形”.

點(diǎn)評 此題定義了“整數(shù)三角形”，其實(shí)質(zhì)就是對常見“勾股數(shù)”的變式運(yùn)用，它源于教材、高于教材、活于教材.試題從基礎(chǔ)入手，以最常見的直角三角形(勾三股四弦五)為載體，通過模仿(擺直角“整數(shù)三角形”)→嘗試(擺等腰“整數(shù)三角形”)→論證(擺等邊“整數(shù)三角形”)→拓展(擺非特殊“整數(shù)三角形”)，在問題設(shè)計(jì)上層層深入，每一步都為下一步的思維活動(dòng)打下基礎(chǔ)，是一個(gè)蘊(yùn)涵了讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、猜測驗(yàn)證、合情推理、有條理論證的數(shù)學(xué)化思維過程，考查了基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)問題形成的一般思路及探究能力，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生注重基礎(chǔ)、拓展思維、變式推理的能力.解答此題的難點(diǎn)在最后一問，要學(xué)生通過前面的鋪墊受到啟發(fā)，運(yùn)用類比思想，歸納發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)全等的直角三角形可以拼成一個(gè)等腰三角形，由此進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，要拼出一個(gè)非特殊“整數(shù)三角形”需要兩個(gè)不全等的直角三角形，同時(shí)這兩個(gè)直角三角形要有一條直角邊是相等的.

圖10

4 通過閱讀，詮釋新結(jié)論

圖11

(1)如圖12，已知在 Rt△ABC 中，∠A=30°，求 λA，λc;

(2)在每個(gè)小正方形邊長為1的4×4方格紙上(如圖13)，畫一個(gè)△ABC，使其頂點(diǎn)在格點(diǎn)(格點(diǎn)即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上，且λA=2，面積也為2;

圖13

圖12

(3)判斷下列三個(gè)命題的真假.(真命題打√，假命題打×)

①若△ABC中，λA＜1，則△ABC為銳角三角形;

②若△ABC中，λA=1，則△ABC為直角三角形;

③若△ABC中，λA＞1，則△ABC為銳角三角形;

簡解 (1)如圖14，作CD⊥AB，垂足為D，

(2)如圖15所示.

(3)①×;②√;③√.

圖14

圖15

點(diǎn)評 此題是一個(gè)新穎的情景題，給學(xué)生提供了閱讀理解的平臺，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)考試的公平性，試題難度也呈梯度上升，集閱讀、操作、數(shù)學(xué)思考于一體，考查學(xué)生的閱讀理解能力、知識運(yùn)用能力.其過程就是經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的思維過程.問題的設(shè)計(jì)由淺入深，層次性強(qiáng)，考查了學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)遷移能力.充分體現(xiàn)出設(shè)計(jì)者的獨(dú)具匠心，不失為一道設(shè)計(jì)巧妙的亮點(diǎn)試題.試題起點(diǎn)低，從第(1)小題中的求解“λA，λc”;然后提出第(2)個(gè)問題;再到第(3)個(gè)問題的命題真假判斷.給學(xué)生指出求解的方向，可以有的放矢，不走冤枉路.讓學(xué)生在思考中體驗(yàn)知識的形成過程，讓學(xué)生始終處于“思考—→收獲 — →再思考 — →再收獲”的這樣一種情感體驗(yàn)之中.

5 領(lǐng)悟方法，解決新問題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且 ED=EC，如圖16，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由.

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

(1)特殊情況，探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖17，確定線段AE與BD的大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論：

AE________DB(填“＞”，“＜”或“=”)

(2)特例啟發(fā)，解答題目

圖16

圖17

圖18

題目中，AE與BD的大小關(guān)系是：AE________DB(填“＞”，“＜”或“=”).

理由如下：如圖18，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，(請你完成以下解答過程)

(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).

簡解 (1)由題意，可求得∠D=∠DEB=30°，則能推知DB=BE=AE，故應(yīng)填“=”.

(2)由(1)知，猜想答案應(yīng)填“=”.

證明略.

(3)CD的長是1或3.思路如下：

方法1 (構(gòu)造30°的直角三角形) 當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上時(shí)，如圖19所示，易求CD=DB+BC=2+1=3;當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時(shí)，如圖20所示，易求CD=2CF=1.

方法2 (構(gòu)造相似三角形) 可在圖19中，分別過點(diǎn)A，點(diǎn)E作CD的垂線，垂足依次為M，N.

同理，在圖20中，過點(diǎn)A作CD的垂線，垂足為M，

過點(diǎn)E作CD的垂線，垂足為N，則△ABM∽△EBN，

圖19

圖20

方法3 (直接應(yīng)用前面的結(jié)論) 根據(jù)圖19，圖20，若直接引用第(2)小題的結(jié)論“AE=BD”，得出的結(jié)果則更快一點(diǎn).

點(diǎn)評 此題以等邊三角形為載體，通過改變條件“點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)”→“點(diǎn)E在AB上”→“點(diǎn)E在直線AB上”為手段，在三角形中利用添加輔助線構(gòu)成全等形，完成從合情推理到演繹推理的轉(zhuǎn)變.主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.此題以范例的形式給出，并在解決問題的過程中暗示解題思路，要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行遷移運(yùn)用，再以活動(dòng)中獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與知識解決新問題.這種采用分層遞進(jìn)的方式探究相關(guān)線段間的大小，實(shí)現(xiàn)特殊到一般的思想的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟，較好地考查學(xué)生的知識遷移能力和解決問題的能力.這類試題突出了對數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想方法的考查，讓學(xué)生思維有更廣闊發(fā)揮的空間和較大選擇的自由度，能很好地培養(yǎng)學(xué)生的探究精神、創(chuàng)新意識和發(fā)散思維.

20111202)