學生從算術(shù)到方程思想形成的調(diào)查研究

430062 湖北大學數(shù)學與計算機科學學院 徐勝茂

1 問題提出

法國哲學家、數(shù)學家、解析幾何的創(chuàng)始人笛卡兒認為：“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，一切數(shù)學問題都可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，一切的代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程，于是，一切的問題均將迎刃而解.”

從數(shù)學科學本身看，方程是代數(shù)學的核心內(nèi)容，正是對于它的研究推動了整個代數(shù)學的發(fā)展.從代數(shù)中關(guān)于方程的分類看，一元一次方程是最簡單的代數(shù)方程，也是所有代數(shù)方程的基礎(chǔ).主要內(nèi)容包括：一元一次方程及其相關(guān)概念、解法及解決實際問題.，以方程為工具分析問題、解決問題，即建立方程模型是全章的重點，同時也是難點.

前不久，在一所大學附中聽了一節(jié)關(guān)于一元一次方程的新課：從算式到方程.課堂上老師先將章前圖作為先行組織者引入新課，然后把全班分成7個小組，分組討論一元一次方程章前圖所提出的行程問題.結(jié)果前四個小組匯報解答方法的同學采用的都是算術(shù)法，直到第五組才開始去思考用方程求解.第六組和第七組方法一樣，形式上似乎是方程的方法，實際上還是用算術(shù)法.

這節(jié)課里，明顯感覺到大部分學生都習慣用算術(shù)法，難以從算術(shù)法的思想中轉(zhuǎn)變過來.如何讓方程的思想變成學生的自覺行為，實現(xiàn)“從算式到方程”的轉(zhuǎn)變?筆者設(shè)計了一份調(diào)查問卷來研究學生初學一元一次方程時究竟是傾向于方程法還是算術(shù)法，并對一元一次方程的教學提出一點建議.

本調(diào)查著重解決以下兩個問題：(1)初中生在初學一元一次方程時，喜歡用算術(shù)法解應用題是否是一個普遍現(xiàn)象?學生對方程的理解又是怎樣的?(2)在用方程法解決應用題時，學生的困惑在哪里?究竟是列方程還是解方程?

2 設(shè)計意圖

調(diào)查問卷分為兩部分共10個題，前7個題目為選擇題，其中第4題是多項選擇題，其余6題均為單選題.選擇題主要是考查學生對用方程法解應用題的理解及實際運用的情況的調(diào)查.后面的大題分為三個大題，第8題是讓學生用適當?shù)姆椒ń鈶妙}，調(diào)查他們潛意識里是習慣用方程法還是算術(shù)法.第9題有3個小題，了解學生列方程時的主要困惑在于等量關(guān)系比較復雜還是題目所給數(shù)據(jù)太大.在題型方面設(shè)計了兩個可以直接設(shè)未知數(shù)的題目，一個間接設(shè)未知數(shù)的題目，考查學生設(shè)未知數(shù)這一步是否理解了.第10題了解學生用方程解應用題時，在分析題意/設(shè)未知數(shù)，列出方程/求解方程/作答的情況.

3 研究方法與分析

筆者選擇了兩所農(nóng)村初中(分別簡稱為乙校、甲校)學校各一個班，共75名學生與測試.在測試前，研究者向參與測試班級的數(shù)學任課老師了解學生學習進度并確認學生已經(jīng)完成了課本上相關(guān)內(nèi)容的學習.

3.1 選擇題調(diào)查結(jié)果與分析

前面7個選擇題的統(tǒng)計結(jié)果按以下方法統(tǒng)計.單選題則是統(tǒng)計A，B，C，D每個選項各有多少人選擇.對于第四題的多選題則是在統(tǒng)計A，B，C，D每個選項各有多少人的基礎(chǔ)上再統(tǒng)計只選了C，D的學生又有多少人.下面的表格分別為乙校(表1)和甲校(表2)的統(tǒng)計結(jié)果.

表1 乙校選擇題統(tǒng)計匯總表

表中的下劃線“/”表示沒有這一選項.

表1中84%的學生選擇遇到應用題時首先想到的是方程法，只有不足11%選擇用算術(shù)法.超過65%的人認為列方程解應用題的難點為解方程，26%的人認為列方程解應用題的難點是理解題意，大約8%的人認為難點是設(shè)未知數(shù).在甲校的調(diào)查中沒有學生認為找等量關(guān)系是難點.約有34%的學生認為列方程解應用題有些難度，8%左右的學生認為列方程解應用題很簡單，其他的學生保持中立的態(tài)度.

第4題則是考查學生對一元一次方程定義的理解.選項C是課本上的一個定義，選項D則上升了一個層次，領(lǐng)悟了方程的思想.81%的學生記住了課本上的概念和定義，對方程的理解沒有上升到方程是刻畫現(xiàn)實世界等量關(guān)系的數(shù)學模型，其中只有15.7%理解上升了一個層面.第5題的表明只有34%的學生有用方程解決數(shù)學問題的意識，第7題的調(diào)查結(jié)果與第二題的調(diào)查結(jié)果有些不相符合，64%的學生認為不喜歡做等量關(guān)系太復雜的應用題，而在第2題中沒有人認為找等量關(guān)系式是列方程解應用題的重點.約有13%的學生不喜歡題目太長的應用題，18%的學生不喜歡做數(shù)據(jù)太大的應用題.

表2 甲校選擇題統(tǒng)計匯總表

表2中62%的學生選擇遇到應用題時首先想到的是方程法，約有29%學生選擇用算術(shù)法，還有極少數(shù)學生用拼湊法和圖表法.超過64%的人認為列方程解應用題的難點為找等量關(guān)系，13%的人認為列方程解應用題的難點是解方程，大約22%的人認為難點是理解題意.在乙校的調(diào)查中沒有學生認為設(shè)未知數(shù)是難點.約有32%的學生認為列方程解應用題有些難度，11%左右的學生認為列方程解應用題很簡單，其他的學生保持中立的態(tài)度.對于第4題方程的概念的理解，94.5%的學生記住了課本上的概念和定義，37.8%的學生的理解上升了一個層面.雖然有54%的學生認為方程與實際生活聯(lián)系緊密，但還有許多學生沒有這種意識.第5題的調(diào)查結(jié)果表明只有21%的學生有用方程解決數(shù)學問題的意識.說明有的學生雖然有把生活與數(shù)學聯(lián)系起來的意識，但缺乏用方程解決數(shù)學問題的意識.

78%的學生不喜歡做等量關(guān)系太復雜的應用題，13.5%的學生不喜歡做數(shù)據(jù)太大的應用題，這一結(jié)果與第二題是相吻合的，第2題的調(diào)查結(jié)果表明大部分學生認為找等量關(guān)系是難點.

甲校的學生測驗時間比乙校要早一周，在很多問題上調(diào)查的結(jié)果也不盡相同.比如說針對列方程解應用題的難點，甲校的學生傾向于解方程為難點，而乙校認為找等量關(guān)系為難點.

3.2 主觀題調(diào)查結(jié)果與分析

第8題是讓學生用適當?shù)姆椒ń鈶妙}，統(tǒng)計時先區(qū)分算術(shù)法、方程法以及沒有做的各有多少份.然后在方程法里面分為三欄，不會列方程、不會解方程和沒有答的.第9題是統(tǒng)計三方面的內(nèi)容：不會做、不會列和全對的.但由于乙校有部分學生沒看清題意，把列方程看成了解應用題，所以有少數(shù)學生用表格法、列舉法和算術(shù)法來解答.第10題也是統(tǒng)計不會做、不會列和全對這三項，另外也有極少數(shù)學生沒看清題意，用算術(shù)方法進行解答.統(tǒng)計結(jié)果如表3和表4

表3 甲校主觀題匯總表

從表3中可以看出第8題中的第①題中有55.3%的學生選擇用方程法來解應用題，不會做的學生比較多，占44.7%，這些學生既不會用方程做也不考慮用算術(shù)方法來解答.在用方程法解應用題中，有2個學生不會列方程，有1個列了方程后不知道如何解方程.在第②題中52.6%的學生選擇用方程法來解答，其中有3個學生不會解方程，有2個學生沒有作答，只有15個學生做的是全對，有47.4%的學生沒有做.

第9題第①題的列方程不會做的占47.4%，不會列方程的占2.6%，全對的占50%.

后面兩題做得沒第①題好，第②題不會做的占68.4%，已經(jīng)超過了一大半，做全對的也僅僅只有23.7%.

第③題和第二題做的情況差不多.

第10題中的兩個小題和第9題的后兩題做的情況差不多，全對的僅23%，大部分學生不會做.

表4 乙校主觀題匯總表

從表4中可以看到乙校開始有少數(shù)學生用算術(shù)法來解答應用題，并且做的情況比甲校好一些.對于第8題只有少數(shù)學生不會做，其中第①題不會做的只有1個人，第②題不會做的只有2個人.用方程法做全對的前一題占55.3%，后一題占63.2%.不會列方程的前一題占23.7%，后一題占18.4%.第9題則有學生沒有認真讀題意，以為是解應用題，所以有學生用表格法、算術(shù)法及列舉法來做.第9題的這三個小題做全對的人數(shù)越來越少.第1題全對占59.5%，第2題全對的占40.5%，而第3題全對的只有24.3%.第8題考查學生潛意識里面是會用方程法還是算術(shù)法來解決所遇到的問題.在大學附中聽課時，本章章前圖所提出的問題，大部分學生首先想到的是算術(shù)法.而在甲校的調(diào)查結(jié)果表明沒有學生用算術(shù)法，會的就用方程法，有一部分學生沒做，推測原因可能是方程的意識還沒有形成，算術(shù)方法已經(jīng)忘記了.另一種原因就是學生剛剛學了一元一次方程，故以為這一題也要用方程法來解.大部分學生用方程解法如下：

解設(shè)平均每天用10元錢的有x天，則每天用5元錢的有(7－x)天.依題意可得如下方程10x+5(7－x)=50，解得x=3.其中有2個用算術(shù)法，一種是用拼湊法，有學生按如下方式解答：

解10×3=30，50－30=20，20÷5=4，3+4=7.所以用10元錢的有3天，用5元錢的有4天.

還有一個同學試圖用雞兔同籠的思想來解答這個題目，解答過程如下：

解50÷10=5，7－5=2，10×2=20，50－20=30，30÷10=3.

第二小題也有2個學生用算術(shù)法來解答.解答過程如下：

解①55－1÷3=18，18+1=19，55－19=36;

②55÷3－1=37.5≈38，38÷3+1≈14.

學生想用算術(shù)法來解答這個題目，把兒子的年齡看作一份，父親的則是兒子的3倍少一，學生在這里理解有誤，認為4倍的兒子的年齡應該為(55－1)，實際上少一歲，則應該是(55+1).學生頭腦里面的思維的可逆性不強，導致用算術(shù)法出現(xiàn)錯誤.

從第8題的調(diào)查結(jié)果來看，農(nóng)村初中的學生用算術(shù)法十分少有，不在我們的預料之內(nèi).

第9題主要是了解學生主要是在做應用題時哪一步時會出現(xiàn)錯誤，不會列方程的主要是用含x的式子表示相關(guān)的量時出現(xiàn)問題.

第10題考查學生對解方程的掌握情況，隨著學生對方程內(nèi)容學習的深入，掌握的情況會越來越好.

4 小結(jié)

本次調(diào)查的范圍是兩所農(nóng)村中學，教學資源與城市相比有較大差距.因此這次調(diào)查只能反映這個地區(qū)的情況.這兩所學校里，用算術(shù)法解應用題不是一個普遍現(xiàn)象，學生數(shù)學底子太薄，已經(jīng)忘記了用算術(shù)法應該怎么做.所以不會用算術(shù)法做，也不會用方程法來解答.學生在用方程解應用題時，主要是不會找等量關(guān)系，以及找完之后用含x的式子表示相關(guān)的量也有一定的困難.

5 建議

(1)起始課中，應從學生已有的認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，從算式開始，一步一步引導學生列出含未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量，并進一步依據(jù)相等關(guān)系列出含未知數(shù)的等式——方程.突出方程的根本特征——刻畫相等關(guān)系的數(shù)學模型，引出方程的定義，并使學生初步認識到方程是更方便、更有力的數(shù)學工具，從算術(shù)方法到代數(shù)方法是數(shù)學的進步.

(2)要把“如何根據(jù)實際問題列方程”作為貫穿全章的中心問題，引導學生建立方程的意識，強化數(shù)學建模的思想，學會分析題意，尋找相等關(guān)系，列出方程.

(3)落實求解一元一次方程的教學，使學生切實掌握一元一次方程的求解步驟，會用方程解決問題.