用數(shù)值方法檢驗(yàn)彈簧彈力的沖量模式

何崇榮 李紅榮

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué),湖北武漢 430300)

有些初等物理問(wèn)題的模型也須認(rèn)真建模,決不能簡(jiǎn)單了事.當(dāng)存在某些不易定性或定量的問(wèn)題,可以用數(shù)值方法加以檢驗(yàn).

圖1

題目.如圖1所示,一輕質(zhì)彈簧與質(zhì)量為 m的物體組成的彈簧振子,物體在一條豎直線上的 A、B兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),點(diǎn) O為平衡位置,C為O、B之間的一點(diǎn),已知振子的周期為 T,某時(shí)刻物體恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn) C且向上運(yùn)動(dòng),則從該時(shí)刻起的半個(gè)周期內(nèi),以下說(shuō)法正確的是

(A)物體的動(dòng)能的變化量一定為零.

(B)彈簧的彈性勢(shì)能的減小量一定等于物體重力勢(shì)能的增加量.

參考答案給出的解析:

(A)、(B)選項(xiàng)的分析沒(méi)有什么問(wèn)題,但對(duì)(D)選項(xiàng)的分析,參考答案認(rèn)為彈簧彈力沖量的方向是向上的,缺乏依據(jù).

正確分析:設(shè)彈簧振子的振幅為 A,彈簧的勁度系數(shù)為k,C距平衡位置O的距離為x,彈簧原長(zhǎng)處重力勢(shì)能為零,某時(shí)刻物體恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且向上運(yùn)動(dòng)的速度為v,在平衡位置O對(duì)物體有

物體由B到C,根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得

整理得規(guī)定向下為正方向,在給定的半個(gè)周期內(nèi),對(duì)物體運(yùn)用動(dòng)量定理得

所以

彈簧振子給定,則它的周期是確定的,由動(dòng)量定理知,重力的沖量是一定的,經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度大小取決于振幅及C點(diǎn)的位置,也就是說(shuō),如果振幅比較大,可以使得彈力的沖量有以下可能:

定量研究:令 m=0.1 kg,k=100 N/m,g=10 m/s2,A=0.05 m,0≤x＜A,則 x0=0.01 m,0≤x＜0.05.利用Mathcad軟件作出彈力的沖量I彈隨C點(diǎn)偏離平衡位置O的距離x的函數(shù)關(guān)系,如圖2所示.

圖2

圖3

當(dāng)彈簧振子在 A、B兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí),彈簧始終處于壓縮狀態(tài),那么彈簧的彈力的沖量方向一定向上嗎?

由圖4可知,當(dāng)振子的振幅逐漸減小時(shí),彈簧的彈力沖量方向慢慢變得確定;即當(dāng)振幅 A≤0.0155 m,在給定的半個(gè)周期內(nèi)彈力的沖量方向始終是向上的.同時(shí)也說(shuō)明,并不是當(dāng)彈簧始終處于壓縮狀態(tài)時(shí),彈簧彈力的沖量的方向才是向上的.

圖4

圖5

由圖5可知,當(dāng)振子的振幅逐漸減小時(shí),彈簧彈力的沖量大小與T的關(guān)系慢慢變得確定,即當(dāng)振幅0.0155 m＜A≤0.031 m時(shí),盡管彈簧彈力的沖量的方向不確定,但大小始終小于T.當(dāng)0＜A≤0.0155 m時(shí),彈簧彈力的沖量方向確定始終向上且大小始終小于T.

由以上分析得出,彈簧彈力的沖量方向和大小既與振幅有關(guān),還與C點(diǎn)位置有關(guān).不是彈簧始終處于壓縮狀態(tài)時(shí),彈簧彈力的沖量方向是向上的.