隱形的翅膀——“二次函數(shù)與一元二次方程”送教下鄉(xiāng)教學(xué)實錄與點評

224200 江蘇省東臺市實驗中學(xué)教育集團 李長春

1 引言

數(shù)學(xué)教學(xué)有兩條線，一條是數(shù)學(xué)知識教學(xué)的明線，一條是數(shù)學(xué)思想方法滲透的暗線.數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想方法的形成是基礎(chǔ)知識的升華，是將數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)引向深入.初中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了掌握必須的“雙基”，還要了解數(shù)學(xué)知識的生成背景和發(fā)生過程，深入體會其中的思想方法，從有形的數(shù)學(xué)知識中探尋無形的數(shù)學(xué)思想方法，讓數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化成“隱形的翅膀”，完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的智慧托舉.

筆者在最近一次送教下鄉(xiāng)活動中執(zhí)教了一節(jié)課——“二次函數(shù)與一元二次方程”(蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊第6.3節(jié))，現(xiàn)以該課的教學(xué)實錄為例，談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透.

2 教學(xué)片段實錄與點評

2.1 創(chuàng)設(shè)情境 發(fā)現(xiàn)問題

(課前，多媒體播放歌曲《隱形的翅膀》，不少學(xué)生跟著旋律哼唱.)

師：李老師來自東臺市實驗中學(xué).今天在時堰鎮(zhèn)中學(xué)和大家一起交流、學(xué)習(xí)，我有一種特別親切的感覺，為什么這么說呢?

(大屏幕上顯示：東臺市時堰鎮(zhèn)中學(xué)、東臺市實驗中學(xué))

師：大家一起將兩個校名讀一遍.

生(齊讀)：東臺市時堰鎮(zhèn)中學(xué)，東臺市實驗中學(xué).

師：哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)其中的奧妙?

生1：“時堰”和“實驗”讀音相同.

師：對了!“時堰”和“實驗”讀音相同，用數(shù)學(xué)的眼光看，“時堰”和“實驗”讀音不僅相似，而且全等.難道這就是傳說中的“緣分”?

師：我們剛剛學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，請大家思考，在本學(xué)期所學(xué)的內(nèi)容中，有哪個章節(jié)的內(nèi)容和“二次函數(shù)”特別有“緣分”，聯(lián)系較密切?

生(齊答)：一元二次方程!

師：下面和大家一起來學(xué)習(xí)第6.3節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程”.

點評通過兩校校名的讀音相同，引出課題：“二次函數(shù)與一元二次方程”，不僅能拉近師生之間的距離，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還滲透了類比的數(shù)學(xué)思想，暗示著本節(jié)課探究的這兩個“二次”之間也有著很深的淵源.

2.2 合作交流 探索問題

探究1求二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點坐標(biāo).

師：請同學(xué)們畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，仔細觀察拋物線與x軸的公共點情況，它與一元二次方程x2-2x-3=0的兩個實數(shù)根之間有什么聯(lián)系呢?

生2：令y=0，可得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.所以二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點坐標(biāo)是(-1，0)和(3，0).

經(jīng)過各位同學(xué)在準(zhǔn)備好的網(wǎng)格紙上的畫圖(如圖1)，得出結(jié)論：拋物線與x軸的公共點橫坐標(biāo)-1，3，即為一元二次方程x2-2x-3=0的兩個實數(shù)根.

圖1

點評“探究1”從“函數(shù)值為0”著手，溝通了二次函數(shù)與相應(yīng)的一元二次方程之間的關(guān)系，①從函數(shù)關(guān)系式看，當(dāng)二次函數(shù)y=x2-2x-3中的函數(shù)值y取特殊值0時即得到一元二次方程x2-2x-3=0;②從一元二次方程x2-2x-3=0的根的幾何意義看，一元二次方程x2-2x-3=0的兩實數(shù)根即為二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點的橫坐標(biāo)，滲透了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，也體現(xiàn)了對立統(tǒng)一的辯證思想.

2.3 理性概括 構(gòu)建新知

在老師指導(dǎo)下探究更一般的情形.

探究2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，那么二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有沒有公共點?如果有，那么有幾個公共點?并說出公共點的坐標(biāo).

生3：有兩個公共點，坐標(biāo)為A(x1，0)，B(x2，0).

注如圖2，老師適時地把圖1中的A，B兩點的橫坐標(biāo)換成圖2中的x1和x2，讓學(xué)生結(jié)合圖形進行歸納，既能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，又能體會到從特殊到一般的思維方式.

圖2

點評學(xué)生經(jīng)歷過“探究1”的特殊問題的探索，已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗，歸納出一般性的結(jié)論已經(jīng)水到渠成，通過探索，其重點放在引導(dǎo)學(xué)生體驗從具體到抽象、從特殊到一般的思維方法上.

師：反過來，如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個公共點A(x1，0)，B(x2，0)，那么，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況如何?

生4：有兩個不相等的實數(shù)根x=x1，x=x2.

師：對，這就是說“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個公共點A(x1，0)，B(x2，0)，就等價于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2”.而一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況又可以根據(jù)什么式子進行判斷呢?

生5：根的判別式.

師：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，則根的判別式的符號如何?

生6：大于 0.

師：正確，我們可以把它們之間的關(guān)系歸納如下表：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個公共點?一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根?根的判別式的符號b2-4ac＞0

點評把二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點、一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根以及b2-4ac＞0三者關(guān)系由特殊到一般進行分析，最后歸納，大有瓜熟蒂落之感!并且三者之間關(guān)系緊密，用“等價于”符號相連接，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

2.4 實踐應(yīng)用 類比創(chuàng)新

師：經(jīng)歷了上述探究過程，我們已經(jīng)基本學(xué)會了如何探索二次函數(shù)的圖象與x軸公共點的情況以及相應(yīng)的一元二次方程根的情況這兩者之間的關(guān)系.下面，請大家分組合作，完成探究，并把本小組討論的最后結(jié)果歸納到數(shù)學(xué)探究報告單上.

數(shù)學(xué)探究報告單(一)

數(shù)學(xué)探究報告單(二)

點評 由于在“探究1”、“探究2”中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了探究問題的方法，故后面的兩個問題可以放手讓學(xué)生分小組在合作過程中運用類比的方法繼續(xù)進行探究，老師對有困難的小組適時進行引導(dǎo)、點撥，并以數(shù)學(xué)探究報告單的形式按“由特殊到一般”、“類比”的數(shù)學(xué)思想方法進行歸納，然后以小組代表匯報的形式上臺進行陳述，老師及時補充、小結(jié)、鼓勵，使學(xué)生逐步形成技能.

2.5 歸納小結(jié)提煉升華

師：同學(xué)們，經(jīng)歷了前面三組問題的探究，我們已經(jīng)體會了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

生7：數(shù)形結(jié)合.

生8：分類討論.

生9：從特殊到一般.

生10：類比的思想.

師：這節(jié)課的課題是“二次函數(shù)與一元二次方程”，當(dāng)然蘊含函數(shù)思想和方程思想.通過上面的探究，你能把我們剛剛得到的成果完整地歸納一下嗎?

生11：拋物線與x軸的公共點個數(shù)與一元二次方程根的判別式Δ之間的關(guān)系(如圖3)：

(1)拋物線與x軸有兩個公共點?Δ＞0;

(2)拋物線與x軸只有一個公共點?Δ=0;

(3)拋物線與x軸沒有公共點?Δ＜0;

筆者拿出一根粗電線做成的“拋物線”，配合生11在黑板上進行拋物線的平移演示(主要目的是讓學(xué)生進一步體會拋物線與x軸的公共點的個數(shù))，然后帶著滿臉的疑惑問：如果拋物線的開口方向向下呢?

生12：同樣的只需要看其與x軸的公共點的個數(shù)就能知道相應(yīng)的一元二次方程的解的情況，也即知道根的判別式Δ與0的大小關(guān)系.

點評 讓學(xué)生對照圖形進行歸納，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，平移“拋物線”，演示其與x軸的不同位置還體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法;通過圖3中的拋物線開口向上的情況進行歸納，然后提問開口向下時有何結(jié)論，體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想方法，在這些數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)和滲透下，讓學(xué)生把探究的過程、形成的結(jié)論進行歸納，學(xué)生的感受當(dāng)然很“自然”.

圖3

師：同學(xué)們，課前大家欣賞的是什么歌曲?

生(齊答)：《隱形的翅膀》.

師：大家會唱這首歌嗎?

學(xué)生齊答會唱.

師：今天這一節(jié)課我們運用了不少的數(shù)學(xué)思想方法來解決問題，這些數(shù)學(xué)思想方法就像“隱形的翅膀”，能幫助我們解決問題，能使我們的思維自由飛翔.老師將歌曲中的兩句歌詞改動了兩個字.

(大屏幕上顯示“我看見，每天的‘習(xí)題’也會有變化，我知道，我一直有雙隱形的翅膀”，學(xué)生充滿激情地齊唱.)

師：大家唱得太好了!同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)得“本領(lǐng)”，應(yīng)該到了大顯身手的時刻了，讓我們試試數(shù)學(xué)思想這個“隱形的翅膀”，怎樣助你飛翔，請運用所學(xué)知識解決下列問題.練習(xí)(略)

3 教學(xué)內(nèi)容的簡略分析

新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教材，既保留了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與基本技能的系統(tǒng)學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，同時又充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的背景、知識的發(fā)生與發(fā)展過程，重視蘊含于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程中的思想方法.如何處理好“有形”的數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)與“無形”的數(shù)學(xué)思想方法的形成、發(fā)展之間的關(guān)系，讓學(xué)生真正地學(xué)會兩條腿走路，是目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)值得研究的課題!

在本課例中，函數(shù)與方程都是刻畫現(xiàn)實生活中數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.研究函數(shù)時，我們研究的是函數(shù)關(guān)系的表述、函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)的應(yīng)用;研究方程時，我們研究的是不同類型的方程的解法及其應(yīng)用，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生深刻體會到兩者之間實際上是互通的，是一般和特殊的關(guān)系，讓學(xué)生感受到兩者之間“對立統(tǒng)一”的辯證思想，從而達到三個教學(xué)目標(biāo)：

(1)體會二次函數(shù)與一元二次方程之間是一般和特殊的關(guān)系;

(2)理解二次函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)和一元二次方程的實數(shù)根的個數(shù)之間的關(guān)系;

(3)理解一元二次方程的實數(shù)根就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸公共點的橫坐標(biāo).

筆者對“二次函數(shù)與一元二次方程”這一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容處理上以其滲透的數(shù)學(xué)思想方法為主線，引導(dǎo)學(xué)生體驗從具體到抽象、從特殊到一般的思維方式，讓學(xué)生在合作中探究，在探究中升華.在具體教學(xué)過程中，注重從數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系兩個方面組織學(xué)生進行探究，引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系、一元二次方程是否有實數(shù)根、有怎樣的實數(shù)根的內(nèi)在聯(lián)系上來理解兩者之間的關(guān)系，帶領(lǐng)學(xué)生通過探索活動，從“發(fā)現(xiàn)”知識的過程中發(fā)展思維能力，掌握兩者關(guān)系.事實證明，這是一節(jié)設(shè)計和實踐都比較成功的課例.

4 教學(xué)方法的理論依據(jù)

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，給學(xué)生搭建數(shù)學(xué)實踐的平臺，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.”評價一堂數(shù)學(xué)課的質(zhì)量，首先要關(guān)注教學(xué)過程是否揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的精神.這里所說的本質(zhì)與精神，就是數(shù)學(xué)思想方法.由于數(shù)學(xué)思想是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體的對數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種本質(zhì)認(rèn)識，是一種隱性的知識，所以學(xué)生要領(lǐng)悟理解并掌握運用數(shù)學(xué)思想，就需要教師精心設(shè)計課堂教學(xué)內(nèi)容，并引領(lǐng)學(xué)生“下水”實踐，從而提煉歸納，形成技能，學(xué)為所用.

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計分三個層次：首先是引入;其次是引導(dǎo)，讓學(xué)生探索二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點、一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根以及b2-4ac＞0三者的關(guān)系，由特殊到一般進行分析、歸納，接著后面的兩個類似的問題，在類比思想的立意下，放手讓學(xué)生分小組在合作過程中運用類比的方法繼續(xù)進行探究，并以數(shù)學(xué)探究報告單的形式分小組陳述探究成果;最后是應(yīng)用，靈活運用所學(xué)知識解決實際問題.三個層次構(gòu)建了層層深入的探求鏈條，其中知識內(nèi)容是數(shù)學(xué)思想的教學(xué)載體，沒有載體，也就沒有思想;第二個探究活動是整個教學(xué)過程的核心，數(shù)學(xué)思想和方法在這個過程中也就如同宣紙上的水墨畫一樣慢慢浸潤生成.當(dāng)然在整個教學(xué)活動中，自始至終都是在凸顯隱形的數(shù)學(xué)思想和方法.充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的三大特點：隱喻性、過程性和概括性.

5 隨感隨想

這節(jié)送教下鄉(xiāng)課，課堂氣氛和諧，師生互動自由，學(xué)生學(xué)得輕松、用得自如，教學(xué)效果明顯.之所以能夠達成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，不外乎以下幾點原因：

(1)吃透教材

新課標(biāo)要求授課老師應(yīng)當(dāng)用教材“教”，而不是“教”教材.教師不能認(rèn)為讓教材再現(xiàn)就是完成了教學(xué)任務(wù)，必須根據(jù)具體內(nèi)容、具體學(xué)情，對教材進行再加工、再創(chuàng)造，為學(xué)生量身定做，使教材“新鮮出爐”，最大程度地把知識的教學(xué)滲透在培養(yǎng)態(tài)度、能力的過程之中.一節(jié)課的成功離不開教者對教材的“精心”處理.

(2)導(dǎo)課激趣

通過“時堰中學(xué)”和“實驗中學(xué)”的讀音相同，引出課題“二次函數(shù)與一元二次方程”，可謂獨具匠心，別出心裁.從課堂氣氛來看，這樣的設(shè)計能充分激發(fā)學(xué)生的好奇心，有效地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，為漸入課堂佳境做鋪墊，達到了預(yù)期的效果.(課本的處理是開門見山，直接提問：二次函數(shù)y=x2-2x-3與一元二次方程x2-2x-3=0有怎樣的關(guān)系?)

(3)精選例題

本節(jié)課補充的練習(xí)都具有很強的針對性和代表性.

(4)浸潤思想

在數(shù)學(xué)思想的指引下探究二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的公共點坐標(biāo)以及一元二次方程x2-2x-3=0的根，通過函數(shù)關(guān)系中自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，從而得出拋物線與x軸公共點的橫坐標(biāo)即一元二次方程的實數(shù)根，并依此推廣至一般情形，最后學(xué)以致用.縱覽全課，教者先后滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法以及對立統(tǒng)一的辯證唯物主義思想等.

1 教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001

2 楊裕前，董林偉.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(九年級上冊)［M］.南京：鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F，江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2007

3 涂榮豹，季素月.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編［M］.南京：江蘇教育出版社，2007

4 張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2009

5 沈文選，楊清桃.數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008

6 何志平，李海東.立意于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)［J］，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬刊)2011，3