具有脈沖出生及垂直傳染的SIS傳染病模型的全局穩(wěn)定性

曹文軍

(中北大學(xué)數(shù)學(xué)系， 山西 太原 030051)

0 前 言

控制傳染病一直是當(dāng)今世界迫切需要解決的一個重大問題，尤其對于瀕臨滅絕的動物種群來說更為重要.傳統(tǒng)的傳染病模型[1,2]總是假設(shè)種群個體的出生是連續(xù)的，而實(shí)際中對于像鱷類等野生動物來說其出生是集中在某個季節(jié)進(jìn)行的，采用具有脈沖出生的模型[3-5]來研究更為符合實(shí)際.

本文主要針對此類種群建立了一類具有脈沖出生并同時考慮垂直傳染(母體將病先天傳染給新生兒)的SIS模型.

(1)

其中，S和I分別表示易感者和染病者的個體數(shù)量，參量β表示有效接觸率，d表示自然死亡率，γ表示恢復(fù)率，α表示因病死亡率，b表示種群的出生率，p(0

種群中個體總數(shù)記為N，即N=S+I.從系統(tǒng)(1)可知：

(2)

考慮到模型的生物學(xué)意義，易知Ω={(S,I)|S≥0,I≥0}是系統(tǒng)(1)的正向不變集.

1 無病周期解的存在性

疾病不存在時，即I(t)=0.此時，易感者滿足方程

(3)

在區(qū)間nT

(4)

2 無病周期解的局部穩(wěn)定性

易得λ2<1當(dāng)且僅當(dāng)基本再生數(shù)R0<1.

3 無病周期解的全局穩(wěn)定性

證明 為了研究方便，我們利用N=S+I將系統(tǒng)(1)化為下述形式：

(5)

根據(jù)脈沖微分不等式[7]得到

(6)

對于系統(tǒng)

利用脈沖微分不等式，對于t∈[T1+nT,T1+(n+1)T]可得

(7)

(8)

(9)

因?yàn)?/p>

(10)

4 數(shù)值模擬

下面將利用Matlab給出系統(tǒng)(1)基本再生數(shù)R0<1和R0>1時一些數(shù)值模擬，兩組圖中(a)和(b)分別表示易感者和染病者的時間序列，(c)表示S-I相圖，其中參數(shù)A=0.02、β=0.6、d=0.029、γ=0.4、α=0.002、b=0.3及p=0.7.圖1 中易感者和染病者的初值分別為S(0)=0.896 6，I(0)=0.001，且取周期為T=280，基本再生數(shù)R0=0.997 1<1.圖2中易感者和染病者的初值分別為S(0)=0.913 0，I(0)=0.001，且取周期為T=100，基本再生數(shù)R0=1.065 5>1.由圖可以看出當(dāng)R0<1疾病最終會消除,而R0>1時疾病持續(xù).

圖1 當(dāng)R0<1時系統(tǒng) (1) 的解軌線

圖2 當(dāng)R0>1時系統(tǒng) (1) 的解軌線

5 結(jié)論

本文建立了一類具有脈沖出生及垂直傳染的SIS傳染病模型，利用頻閃映射得到其無病周期解的存在性，通過Floquet乘子理論及脈沖微分不等式得到無病周期解當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時是局部并且是全局漸近穩(wěn)定的，最后利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果，并且由該部分結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)R0>1時無病周期解不穩(wěn)定，疾病將會持續(xù).該模型主要適用于數(shù)量在不斷下降但可以有外界的補(bǔ)充來保證其不會滅絕且具有脈沖出生的種群，例如瀕臨滅絕的種群，像我國的揚(yáng)子鱷，由于自然環(huán)境惡劣及人類的濫殺濫捕導(dǎo)致他們的數(shù)量急劇下降，為了保證其不走向滅絕，國家采取人工繁殖飼養(yǎng)對其數(shù)量進(jìn)行補(bǔ)充；或者也適用于生活在某個環(huán)境比較惡劣(比如食物缺乏等等)的地區(qū)的種群，而它們又有比較便利的條件來攝取少許資源以維持自己種群不致滅絕，如所生活地區(qū)鄰近資源豐富地區(qū)或可選擇替代的食物等等.

參考文獻(xiàn)

[1] 靳 禎,馬知恩.具有連續(xù)和脈沖預(yù)防接種的SIRS傳染病模型[J].華北工學(xué)院學(xué)報(bào),2003，24(4):235-243.

[2] 靳 禎,馬知恩,原三領(lǐng).總?cè)丝谠谧兓腟IR流行病模型[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003,20(3):93-98.

[3] M.G.Roberts, R.R.Kao. The dynamics of an infectious disease in a population with birth pulses[J]. Math. Biosci., 1998,(149):23-36.

[4] Shujing Gao, Lansun Chen, Lihua Sun. Dynamic complexities in a seasonal prevention epidemic model with birth pulses[J]. Chaos,Solitons and Fractals, 2005,(26):1 171-1 181.

[5] Wenjun Cao, Jin Zhen. The dynamics of the constant and pulse birth in a SIR epidemic model with constant recruitment[J]. Journal of Biological Systems, 2007,15(2):203-218.

[6] 靳 禎.在脈沖作用下的生態(tài)和流行病模型的研究[D]. 西安：西安交通大學(xué)博士論文,2001.

[7] 馬知恩,周義倉,王穩(wěn)地,等.傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].第一版,北京:科學(xué)出版社,2004:303-306.