不確定狀態(tài)下再制造系統(tǒng)的最優(yōu)回收批量策略

湯雅青, 季建華

(上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟與管理學(xué)院， 上海 200052)

0 引 言

再制造(remanufacturing)是指對廢舊產(chǎn)品的回收、檢測和評估、加工的行為，適用于電子產(chǎn)品、汽車、家電等行業(yè).隨著法律制度的完善和人們環(huán)保意識的增強，再制造憑借著在環(huán)境保護、資源節(jié)約等方面的突出作用，越來越受到工業(yè)發(fā)達國家的重視.另一方面，許多研究表明再制造工程能為企業(yè)帶來顯著的經(jīng)濟利益[1-3].

近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者都對再制造做了大量研究.Atasuetal(2008)[4]、Dobos和Flori-ska(2008)[5]等學(xué)者研究了再制造的經(jīng)濟效益，Toktayetal(2000)[6]、Gregory(2006)[7]等學(xué)者研究了再制造企業(yè)的庫存管理，Danieletal(2003)[3]、Ismail和Elif(2006)[8]等學(xué)者對再制造系統(tǒng)中廢舊回收產(chǎn)品的定價以及再制造產(chǎn)品銷售的定價策略進行了研究.國內(nèi)的研究主要集中在制造/再制造混合系統(tǒng)中的最優(yōu)生產(chǎn)批量控制[9]、庫存最優(yōu)控制[10，11]、再制造系統(tǒng)的回收模式[12]等.

本文在Michael R. Galbreth和Joseph D. Blachburn(2010)[13]的基礎(chǔ)上對再制造系統(tǒng)產(chǎn)品回收的最優(yōu)策略進行了研究.在Michael和Joseph(2010)[13]的模型中，再制造企業(yè)回收的產(chǎn)品的質(zhì)量狀態(tài)是不確定的，假設(shè)回收成本與狀態(tài)無關(guān)，再制造成本是狀態(tài)變量的線性函數(shù).再制造企業(yè)的回收成本會隨著回收批量的增加而增加，但再制造成本隨回收批量的增加而減少，這是因為回收批量增加后，企業(yè)可以僅選擇狀態(tài)好的回收產(chǎn)品進行再制造，因此企業(yè)需要在回收成本和再制造成本之間權(quán)衡，得到使總成本最小的回收批量.但是此模型只考慮了單個生產(chǎn)周期、確定需求時的情況，回收的產(chǎn)品除去用于再制造外，其余的全部在當(dāng)期報廢，這對生命周期較長的回收產(chǎn)品(如打印機、汽車等)并不適用.對于生命周期較長的回收產(chǎn)品，往往有多個生產(chǎn)周期，不同周期回收的產(chǎn)品的質(zhì)量狀態(tài)可能會有較大的差異，再制造成本也會明顯不同.因此，本文在Michael和Joseph(2010)[13]模型的基礎(chǔ)上研究了多周期的情況，提出回收的廢舊產(chǎn)品除了用于再制造外、報廢處理外，還可以存儲至下一周期再決定去向，綜合考慮回收產(chǎn)品的存儲成本和不同周期回收的產(chǎn)品的狀態(tài)差異，以再制造系統(tǒng)總成本最小化為目標(biāo)，考察了需求確定和需求不確定時的最優(yōu)回收批量問題.

1 假設(shè)與符號說明

1.1 假設(shè)

再制造企業(yè)從供應(yīng)商(可以是專門的回收機構(gòu)，也可以是零售商或用戶)手中回收一定批量Q的狀態(tài)未知的廢舊產(chǎn)品，單位回收成本是常數(shù).回收后，通過對產(chǎn)品的檢測和評估，確定產(chǎn)品狀態(tài)和再制造成本，再制造成本是狀態(tài)變量的函數(shù).回收的廢舊產(chǎn)品有以下3種處理方式：(1)用于再制造；(2)直接做廢棄處理；(3)記入庫存，存儲至下一個周期再決定.

本文根據(jù)對問題的描述做出如下假設(shè)：(1) 認為對回收的廢舊產(chǎn)品的檢測結(jié)果是完全正確的；(2) 對回收批量沒有容量限制，但廢棄產(chǎn)品的庫存有容量限制；(3) 廢舊產(chǎn)品的回收成本與狀態(tài)無關(guān)；(4) 再制造成本是回收產(chǎn)品狀態(tài)的線性函數(shù)，即單位再制造成本為c+vm.在一個再制造周期中，我們考慮選擇合適的回收批量使該周期的再制造系統(tǒng)總的期望成本最低，總成本包括廢舊產(chǎn)品的回收成本、再制造成本、廢棄產(chǎn)品的報廢成本和庫存成本，當(dāng)需求不確定的時候還有可能存在再制造產(chǎn)品的庫存成本和缺貨損失.

1.2 符號說明

本文所用到的符號約定如下：D：再制造產(chǎn)品的需求量；m：回收產(chǎn)品的狀態(tài)變量，g(m)為密度函數(shù)；a：收購回收產(chǎn)品的固定成本；u：回收產(chǎn)品的單位收購成本;s：回收產(chǎn)品的單位報廢成本；h：回收產(chǎn)品的單位庫存成本；c：再制造的固定成本；v：再制造的變動成本；H：再制造產(chǎn)品的單位存儲成本；P：再制造產(chǎn)品的單位缺貨成本；w：回收產(chǎn)品的產(chǎn)出比率；Q：回收產(chǎn)品的批量，決策變量.

2 需求確定下的最優(yōu)策略

需求D確定時，再制造企業(yè)回收批量為Q，生產(chǎn)批量為D，根據(jù)回收產(chǎn)品的3種處理方式，在回收批量Q和上一周期的庫存Q-D中選擇狀態(tài)最好的D件回收產(chǎn)品進行再制造，狀態(tài)最差的Q-D件回收產(chǎn)品做廢棄處理，其余的Q-D件回收產(chǎn)品記入庫存.所以，再制造系統(tǒng)的總成本為：

f(Q)=a+uQ+(c+vm)D+s(Q-D)++h(Q-D)+

(1)

(2)

推理1：當(dāng)v

當(dāng)回收產(chǎn)品的最佳狀態(tài)和最差狀態(tài)的成本差小于單位回收成本、報廢成本和庫存成本之和時，最佳的回收批量就是需求量.

證明：

(3)

對(3)式求Q的一階導(dǎo)數(shù)得

(4)

(5)

以上只考慮了統(tǒng)計意義下狀態(tài)變量服從均勻分布的情況，忽略了每個回收產(chǎn)品狀態(tài)的不確定性.下面考慮每個回收產(chǎn)品的狀態(tài).

(7)

性質(zhì)2：考慮每個回收產(chǎn)品狀態(tài)的不確定性后，回收產(chǎn)品的狀態(tài)服從均勻分布且再制造成本是狀態(tài)分布的線性函數(shù)，則在需求D確定時，最優(yōu)的回收批量Q*為：

(8)

證明：

即

(9)

同樣地，對f(Q)求一階導(dǎo)數(shù)，可以得到

(10)

3 需求不確定下最優(yōu)策略

需求不確定時，此時的再制造批量無法根據(jù)需求確定.企業(yè)基于回收批量按一定的比例w進行再制造，即在回收批量Q和上一周期的庫存Q-wQ中選擇狀態(tài)最好的wQ件產(chǎn)品進行再制造，狀態(tài)最差的Q-wQ件回收產(chǎn)品做廢棄處理，其余的Q-wQ件回收產(chǎn)品記入庫存.

再制造系統(tǒng)的總成本包括回收產(chǎn)品的收購成本和再制造成本、再制造產(chǎn)品的存儲成本和缺貨成本、廢棄產(chǎn)品的報廢成本和庫存成本，即

f(Q)=a+uQ+(c+vm)wQ+H(wQ-D)++p(D-wQ)++s(Q-wQ)+h(Q-wQ)

(11)

性質(zhì)3：使(11)式的總成本最小的最優(yōu)回收批量Q*滿足如下表達式：

(12)

其中F(x)為需求的分布函數(shù).

證明：

(13)

對(13)式求Q的一階導(dǎo)數(shù)，得：

(14)

4 數(shù)值分析

參數(shù)設(shè)置見表1.

表1 數(shù)值分析的參數(shù)設(shè)置

表2 需求確定時不同需求下的最優(yōu)回收批量及產(chǎn)出率

根據(jù)公式(2)和公式(8)，得到不同需求下的最優(yōu)回收批量和相應(yīng)的產(chǎn)出率，結(jié)果見表2.

表3 需求不確定時不同產(chǎn)出率下的最優(yōu)回收批量

從表2可以看出：考慮每個回收產(chǎn)品狀態(tài)的不確定性后，產(chǎn)品的產(chǎn)出率隨著D的增加而減少，但變化趨勢非常緩慢，D較大時產(chǎn)出率恒定.

根據(jù)公式(12)得到不同需求分布和不同產(chǎn)出率下的最優(yōu)回收批量，見表3.正態(tài)分布均值為500，標(biāo)準(zhǔn)差為100，均勻分布參數(shù)設(shè)置為(400,600).

從表3可知：產(chǎn)出率對最優(yōu)回收批量有顯著的影響，回收批量隨產(chǎn)出率的增加而減小；需求服從不同的分布函數(shù)對回收批量的影響并不明顯.

5 結(jié)束語

本文基于回收產(chǎn)品狀態(tài)的不確定性，考慮再制造系統(tǒng)中回收產(chǎn)品的3種處理方式，以再制造系統(tǒng)的期望成本最小為目標(biāo)，分別研究了需求確定和需求不確定兩種情況下最優(yōu)的回收批量問題.在需求確定時，最優(yōu)回收批量是需求的近似線性函數(shù)；在需求不確定時，不同的需求分布函數(shù)對最優(yōu)回收批量的影響并不大.

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